同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、同濟(jì)大學(xué)一-高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)一.函數(shù)及極限(-)3 數(shù)1. 函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性.單調(diào)性、奇偶性、周期性);2. 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3.初等函數(shù)：冨函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)、反三角函數(shù)；3 / 8函數(shù)/G)在兀o連續(xù)1)列極限lim /(x) = /(x0)XTr第一類(lèi)：左右極限均存在.可去間斷點(diǎn)、問(wèn)脈間斷點(diǎn)i第二類(lèi)：左右極限.至少有一個(gè)不存在.無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界性及最大值最小值定理.零點(diǎn)定理.介值定理及其推論.(二) 極限lim x二a O Vw0, BN gN, V/? N, xn -a 002)函數(shù)極限lim /

2、(x) = AO V09 33 0, Vx,當(dāng)Ov 卜一 5時(shí)， f(x)-A f(x) = f(XQ)2. 極限存在準(zhǔn)則1)夾逼準(zhǔn)則：1 )兒 0 )1 2) lim 兒=lim 乙二 a lim x? = a2)單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限3、無(wú)窮小(大)量1)定義：若恤Q = 則稱(chēng)為無(wú)窮小量；若恤a =g則稱(chēng)為無(wú)窮大量2)無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小.同階無(wú)窮小.等價(jià)無(wú)窮小.k階無(wú)窮小Thla 卩 O0 = Q + o(a)；Jh2a &,0 0；lim存在，則lim = lim a9aa9(無(wú)窮小代換)4、求極限的方法1)單調(diào)有界準(zhǔn)則；2)夾逼準(zhǔn)則；3)極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4)兩

3、個(gè)重要極限：a) b) lim(l + x)x = lim (1 + ) v =e5)無(wú)窮小代換：(x0)a) x - sinx tanx arcsinx arctanxb)b) ex - x( ax - xn a )同濟(jì)大學(xué)一-高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)c) ln(l + x) x ()d) (1 + x)a 1 otx二導(dǎo)數(shù)及微分（_）導(dǎo)數(shù)1.走義”滬旣豊鏟左7笨鏟 右導(dǎo)數(shù)”它羋鏟函數(shù)/（X）在兀0點(diǎn)可導(dǎo)O人（X。）= f；（兀）2.幾何意義：廣（X。）為曲線y = /（x）在點(diǎn)仇，/（勺）處的切線的斜率.可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系:4、求導(dǎo)的方法1)導(dǎo)數(shù)定義;2)基本公式；3)4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）;5

4、)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6 / 8參數(shù)方程求導(dǎo)；5、7)對(duì)數(shù)求讎高階導(dǎo)數(shù)1）定義：2 ） Leibniz 公式:（尸二R=0（二）微分1）定義：Ay = /O（）+山）一/（勺）=AAx + o（Ax）.其中 A及Ar 無(wú)關(guān).2 ）可微及可導(dǎo)的關(guān)系:可微O可導(dǎo).且心=廣（勺）心=fxdx三.微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.Rolle羅爾定理:若函滿(mǎn)足:1) fM e Ca,b ；2 ) f(Q e D(a,b) ；3 ) f(a) = f(b)；則北上),使佗)= 0.2.Lagrange拉格朗日中值定理*:若函!/滿(mǎn)足:1) fM e Ca,b ；2 ) fM e D(a,b)；則年(aM 使他/) =

5、3. Cauchy柯西 中值走理：若函數(shù)fM.F(x)滿(mǎn)足：1)/(x),F(x)eCa,Z?J ； 2 )/(x),F(x) e D(t/,Z?) 3)Fr(x) 0,xe(a,Z?)則 3e(a,b 使廣F(b)-F(a)（二）洛必達(dá)法則（三）Taylor公武（四）單調(diào)性及極值1. 單調(diào)性判別法：fMeCa.b r f(x)eD(a,b),則若廣(x)0 ,則同濟(jì)大學(xué)一-高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)/U）單調(diào)増加；則若廣（勸0 ,則/（X）單調(diào)減少.2. 極值及其判定定理：a）必要條件：在可導(dǎo)，若心為/（Q的極值點(diǎn).則廣（）= 0b）第一充分條件：/（兀）在心的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且廣氏）=0 則g當(dāng)從兀0 時(shí)

6、廣（兀）0 當(dāng)兀 勺時(shí).廣（x） 0 ,則勺為極大值點(diǎn)；若當(dāng)兀V兀。時(shí),r0 f當(dāng)?！皶r(shí).廣（兀）0.則勺為極小值點(diǎn)；饌在勺的 兩側(cè)廣（兀）不變號(hào),則X。不是極值點(diǎn).C）第二充分條件：/（X）在處二階可導(dǎo)f且廣g） = o r廠（勺）工0 則 若廠（勺）0 ,則兀。為極大值點(diǎn)；若八）0 則心為極小值點(diǎn).3. 凹凸性及其判斷拐點(diǎn)1） /W在區(qū)間/上連續(xù)若色“2 w/，/（氣,則稱(chēng)/（對(duì)在 區(qū)間I上的圖形是凹的；若小e I, /（主嚴(yán)） 小丄；/也 刖稱(chēng)心）在 區(qū)間I上的圖形是凸的.2 ）判定定理:/W在山,切上連續(xù)r在上）上有一階.二階導(dǎo)數(shù).則a）若V兀w（a,b）,廣仏）0則幾兀）在以上的圖形

7、是凹的;b）若辦w 0 則畑在a,b上的圖形是凸的.3 ）拐點(diǎn)：設(shè)y = /（x）在區(qū)間/上連續(xù)f心是f （兀）的內(nèi)點(diǎn),如果曲線y = fM經(jīng) 過(guò)點(diǎn)（勺J（x。）時(shí).曲線的凹凸性改變了 ,則稱(chēng)點(diǎn)（觀J（G）為曲線的拐點(diǎn).（五）不等式證明1. 利用微分中值定理;2. 利用函數(shù)單調(diào)性;7 / 8同濟(jì)大學(xué)一-高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)利用極（六）方程根的討論1. 連續(xù)函數(shù)的介值定理;2、Rolle 定理；3. 函數(shù)的單調(diào)性；4. 極值.最值；5. 凹凸性.（七）漸近線1. 鉛直漸近線：恤= oo .則x = “為一條鉛直漸近線；X“2. 水平漸近線：輒/（X）二“.則），=b為一條水平漸近線；不定積分1.回?cái)?shù)：

8、在區(qū)間/上,若函數(shù)F（x）可導(dǎo),且FXx） = /（x）,則尸（兀）稱(chēng)為fM的一個(gè)原函數(shù).2.不定積分：在區(qū)間/上,函數(shù)/（x）的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為/（%）在區(qū)間/上的不定積分.3. 基本積分表（P188 , 13個(gè)公式）;4. 性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法1. 第一類(lèi)換元法（凄微分）:“0（兀）0（勸血=f（u）du u=（pM2、第二類(lèi)換元法（變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等）：f（p（t）（pt）dt /=滬（v）（三）分部積分法：= （反對(duì)黑指三，前U后W）有理函數(shù)積分2.變量代換（三角代換.倒代換.根式代換等）.五、定積分（_）駝及腿：1. 定義:f=i=l2、性質(zhì)：（7條）性質(zhì)7 （積分中值定理）函數(shù)幾兀）在區(qū)間心上連續(xù).則北士，切,使 f（x）dx = f（）（b-a）（平均值:）（二）微積分基本公式（N-L公式）1. 變上限積分:設(shè)（Q = ft則6） = f（x）推廣：肚5沏如）叫）一曲勿咖2. N-L 公式：若 F(x)為 f(x)的一個(gè)原函數(shù)則 f fMdx = F(b) - F(d)（三）換元法和分部積分1.換元法：=2.分部積分法: 小 =uvl - vdu12 / 8!1!）反常積分1.無(wú)窮積分:f(x)dx= lim f(x)dxf(x)dx= lim f(x)d