高中數(shù)學(xué)：1.3.2《函數(shù)的奇偶性》學(xué)案（新人教A版必修1）

1、第4課時 函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)過關(guān)1奇偶性： 定義：如果對于函數(shù)f (x)定義域內(nèi)的任意x都有 ，則稱f (x)為奇函數(shù)；若 ，則稱f (x)為偶函數(shù). 如果函數(shù)f (x)不具有上述性質(zhì)，則f (x)不具有 . 如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f (x) . 簡單性質(zhì)：1） 圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 對稱.2） 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于 對稱.2與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：已知條件中如果出現(xiàn)、或（、均為非零常數(shù)，），都可以得出的周期為 ；的圖象關(guān)于點中心對稱或的圖象關(guān)于直線軸對稱，均可以得到周期 典型例

2、題例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定義域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）方法一 易知f(x)的定義域為R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域為R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（3）由|x-

3、2|0，得x2.f（x）的定義域x|x2關(guān)于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).變式訓(xùn)練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由0，得定義域為-2，2），關(guān)于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).（2）由得定義域為（-1，0）（0，1）.這時f（x）=.f（-x）=-f（x）為偶函數(shù).（3）x-1時，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1時，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1時，f（x）=0，-1-x1,f（-x）=0=f（x）.對定義域內(nèi)的每個x都有f（-x

4、）=f（x）.因此f（x）是偶函數(shù).例2 已知函數(shù)f(x),當x,yR時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值.（1）證明： 函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱.f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).（2）解：方法一 設(shè)x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x

5、）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是減函數(shù).又f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是減函數(shù).f（-2）為最大值，f(6)為最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.方法二 設(shè)x1x2,且x1,x2R.則f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.f（-2）為最大值，f（6

6、）為最小值.f（1）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在區(qū)間-2，6上的最大值為1，最小值為-3.變式訓(xùn)練2：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x(-,0)時，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：f（x）是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.當x0時，-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x) （x0）.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).例3 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+2)=-f(x)

7、.（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)為奇函數(shù)，且當0x1時，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的個數(shù).（1）證明： f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），f（x）是以4為周期的周期函數(shù).（2）解： 當0x1時，f(x)=x,設(shè)-1x0,則0-x1,f（-x）=（-x）=-x.f(x)是奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）,-f（x）=-x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1x1) 又設(shè)1x3,則-1x-21,f(x-2)=(x-2), 又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-f（x），-f

8、（x）=（x-2），f（x）=-（x-2）（1x3）. f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.f（x）是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)=-的所有x=4n-1 (nZ). 令04n-12 009,則n,又nZ，1n502 （nZ）,在0，2 009上共有502個x使f(x)=-.變式訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,aR.（1）試判斷f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f(x)的最小值.解：(1)當a=0時，函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時,f(x)為偶函數(shù).當a0時，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此時，f(x) 為非奇非偶函數(shù).（2）當xa時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函數(shù)f(x)在（-，a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在（-，a上的最小值為f(a)=a2+1.當xa時，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函數(shù)f(x)在a，+）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在a，+)上的最小值為f(a)=a2+1. 綜上得，當-a時，函數(shù)f(x)的最小值為a2+1.小結(jié)歸納1奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對一個函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì). 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或