第二章 隨機(jī)變量及其分布

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1一維隨機(jī)變量2.1.1一維隨機(jī)變量的相關(guān)定義(1)在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)于試驗(yàn)的某些性質(zhì)，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(基本事件)需要用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示，顯然這些實(shí)數(shù)是隨著試驗(yàn)結(jié)果而變化的，我們把這個(gè)變量稱(chēng)為一維隨機(jī)變量,記為.例如：隨機(jī)試驗(yàn)：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況.試驗(yàn)結(jié)果有：四種,其中表示正面，表示反面.顯然對(duì)于出現(xiàn)正面次數(shù)這類(lèi)性質(zhì)，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)有：.(2)用以表述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律稱(chēng)為概率分布.注：根據(jù)隨機(jī)變量所屬類(lèi)型的不同，概率分布取不同的表現(xiàn)形式.離散型隨機(jī)變量以表格為概率分布的最好表現(xiàn)形式；連續(xù)型隨機(jī)變量以概率密度函數(shù)為概率分布的表現(xiàn)形式.2.

2、1.2一維離散型隨機(jī)變量及其分布(1)一維離散型隨機(jī)變量及其分布律的定義如果一維隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)值，則稱(chēng)為一維離散型隨機(jī)變量.設(shè)一維離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為()，取各個(gè)可能值的概率稱(chēng)為的分布律.其表格形式如下表：(2)一維離散型隨機(jī)變量及其分布律的性質(zhì)，；.(3)泊松分布一維離散型隨機(jī)變量及其分布有很多，比如：0-1分布，二項(xiàng)分布，幾何分布，超幾何分布，泊松分布等，但泊松分布應(yīng)該是最引人注目的分布之一.泊松分布的定義如果隨機(jī)變量得概率分布為,，則稱(chēng)服從參數(shù)為()的泊松分布，簡(jiǎn)記作.泊松分布的推導(dǎo)泊松分布多出現(xiàn)在當(dāng)表示在一定的時(shí)間或空間內(nèi)出現(xiàn)的事件個(gè)數(shù)這種場(chǎng)合.“在一定時(shí)

3、間內(nèi)某交通路口所發(fā)生的事故個(gè)數(shù)”是一個(gè)典型的例子.泊松分布的產(chǎn)生機(jī)制可以通過(guò)如下例子來(lái)解釋.為方便記，設(shè)所觀察的這段時(shí)間為,取一個(gè)很大的自然數(shù)，把時(shí)間段分為等長(zhǎng)的段：.我們做如下兩個(gè)假定：(a)在每段內(nèi)，恰發(fā)生一個(gè)事故的概率，近似的與這段時(shí)間的長(zhǎng)成正比，可設(shè)為；(b)各段是否發(fā)生事故是獨(dú)立的.把在時(shí)段內(nèi)發(fā)生的事故數(shù)視作在個(gè)劃分之后的小時(shí)段內(nèi)有事故的時(shí)段數(shù)，則按照上述兩個(gè)假定，應(yīng)服從二項(xiàng)分布.于是有:，當(dāng)取極限時(shí)，又有：，因此.由推導(dǎo)得出：當(dāng)二項(xiàng)分布()中的很大又很小且適中時(shí)，泊松分布的概率可近似二項(xiàng)分布的概率.實(shí)際表明，在一般情況下，當(dāng)時(shí)，這種近似是很好的，甚至不必很大都可以.比如：當(dāng)，時(shí)，這

4、種近似程度已經(jīng)很好了，數(shù)據(jù)如下表.00.98010.980210.01980.19620.00010.00022.1.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布(1)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)雖然分布函數(shù)在離散型隨機(jī)變量中也可以使用，但離散型隨機(jī)變量用表格來(lái)表達(dá)要比分布函數(shù)更加直觀.分布函數(shù)的真正的作用其實(shí)是在連續(xù)型隨機(jī)變量中.注：二維隨機(jī)變量類(lèi)似.一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念設(shè)是一維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，又稱(chēng)隨機(jī)變量服從分布.隨機(jī)變量的分布函數(shù)就是在區(qū)間內(nèi)取值這一件事(即事件)的概率.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，()，有：，因此，若已知的分布函數(shù)，我們就知道落在任一區(qū)間上的概率，從這個(gè)意義上說(shuō)，

5、分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量得統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)(a)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)；(b)，且，；(c),即是右連續(xù)的.(2)一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)概念設(shè)一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均有，則稱(chēng)為一維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱(chēng)為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度.一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)(a)；(b).【例2.1】已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度()求分布函數(shù)；()若令，求的分布函數(shù).解：()當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即有()令，由于及為的單調(diào)不減連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由因?yàn)?，所以區(qū)間應(yīng)劃分為和兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

6、，綜上得(3)指數(shù)分布和正態(tài)分布指數(shù)分布和正態(tài)分布是一維連續(xù)型隨機(jī)變量的兩個(gè)十分重要的分布.指數(shù)分布可以用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔等等；自然界、人類(lèi)社會(huì)、心理和教育中大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的高低，學(xué)生成績(jī)的好壞等.指數(shù)分布(a)指數(shù)分布的定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱(chēng)為服從參數(shù)為()的指數(shù)分布，記為.的分布函數(shù)為(b)指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”對(duì)于任意，有：.如果是某一元件的壽命，那么上式表明：無(wú)論元件已經(jīng)使用多長(zhǎng)時(shí)間，只要還沒(méi)有損壞，它能再使用時(shí)間的概率與從開(kāi)始時(shí)算起它至少能使用時(shí)間的概率相同,這就是指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”.顯然，指數(shù)分布的這種特性，

7、與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過(guò)程的實(shí)際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過(guò)程.所以，指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式.但是，它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機(jī)器或系統(tǒng)的失效分布模型，特別是在部件或機(jī)器的整機(jī)試驗(yàn)中得到廣泛的應(yīng)用.正態(tài)分布(a)正態(tài)分布的定義若隨機(jī)變量的概率密度為()，其中和均為常數(shù)，且，則稱(chēng)服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為.其概率密度局部圖如圖2.1.圖2.1的分布函數(shù)為,.當(dāng)，時(shí)，稱(chēng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其概率密度和分布函數(shù)分別用和表示，即有：（）；().(b)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似(證明參見(jiàn)3.3.2)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布（即）

8、，其中，則對(duì)任意有：，即當(dāng)充分大時(shí)，近似服從或近似服從.于是當(dāng)充分大時(shí)有：2、.注：雖然原則上上述兩式適用于任何給定的和充分大的，不過(guò)當(dāng)較大時(shí)或較小時(shí)近似效果較差，應(yīng)用時(shí)最好滿(mǎn)足.【例2.2】設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度()，求的概率密度.解：分別記,的分布函數(shù)為,.由于，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有：.將關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，即得的概率密度為：注：若,則的概率密度為此時(shí)稱(chēng)服從自由度為1的卡方分布.2.2二維隨機(jī)變量前面已經(jīng)討論了一維隨機(jī)變量的情況，但是在統(tǒng)計(jì)學(xué)中很多情況用一維隨機(jī)變量不能準(zhǔn)確地描述真實(shí)結(jié)果，比如：研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童發(fā)育情況，你只通過(guò)他們的身高來(lái)描述肯定沒(méi)有通過(guò)身高和重量一起描述更準(zhǔn)確.當(dāng)然有些情況需要

9、三維及以上隨機(jī)變量來(lái)描述，但二維隨機(jī)變量是基礎(chǔ)，其很多結(jié)論都可以推廣到多維隨機(jī)變量.2.2.1二維隨機(jī)變量的定義在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)于試驗(yàn)的某些性質(zhì)，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(基本事件)需要用兩個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示，顯然這些實(shí)數(shù)是隨著試驗(yàn)結(jié)果而變化的，我們把這兩個(gè)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)變量,記為.2.2.2二維離散型隨機(jī)變量及其分布(1)二維離散型隨機(jī)變量及其分布的定義如果二維隨機(jī)變量全部可能取到的不相同的值是有限對(duì)或無(wú)窮可列多對(duì)，則稱(chēng)是二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為()，如果取值的概率()稱(chēng)為的分布律，或稱(chēng)為隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布.其表格形式如下表：其中()是關(guān)于的邊緣概率分布律；()是關(guān)于的

10、邊緣概率分布律.(2)二維離散型隨機(jī)變量及其分布的性質(zhì),；.(3)二維離散型隨機(jī)變量的條件概率分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的，若，則稱(chēng)()為在條件下隨機(jī)變量的條件分布律.同樣地，對(duì)于固定的，若，則稱(chēng)()為在條件下隨機(jī)變量的條件分布律.2.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布(1)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念設(shè)是二維隨機(jī)變量，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，二元函數(shù)：()稱(chēng)為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).如果將二維隨機(jī)變量看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)在處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)落在如圖2.2所示以點(diǎn)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.如

11、圖2.3，易知隨機(jī)點(diǎn)落在矩形域的概率為：. 圖2.2 圖2.3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(a)是變量和的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)，.；(b)，且對(duì)于任意固定的，；對(duì)于任意固定的，；.；(c)關(guān)于和均右連續(xù)，即.二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù).而和都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為，依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù).邊緣分布函數(shù)可以由的分布函數(shù)來(lái)確定，即有：；.注：由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)一般是不能確定.只有當(dāng)，相互獨(dú)立時(shí)，由兩邊緣分布才能確定的分布.(2)二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)

12、概念設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.如果存在非負(fù)的函數(shù)使得對(duì)于任意，有，則稱(chēng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量.稱(chēng)函數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，或稱(chēng)為隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)(a)；(b).二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度設(shè)函數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，若對(duì)于固定的，邊緣概率密度，則稱(chēng)為在的條件下的條件概率密度，記為：.同樣地，則稱(chēng)為在的條件下的條件概率密度，記為：.(3)二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的概念如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：，則稱(chēng)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記為:，其中均為常數(shù)，且，.二維正態(tài)分布的局部圖如圖2.4.二維正態(tài)分布的性質(zhì)設(shè)，則(

13、a)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布：的分布和的分布都是一維正態(tài)分布，即，.(b)兩個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量與的任意線性組合(為任意實(shí)數(shù)，且不全為0)仍服從正態(tài)分布，且：當(dāng)與獨(dú)立時(shí)，；當(dāng)與不獨(dú)立時(shí)，.(c)兩個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充分必要條件是相關(guān)系數(shù)(相關(guān)系數(shù)詳見(jiàn)3.3.1).2.2.4二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性(1)二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性的定義設(shè)及，分別是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對(duì)于任意的，都有，即:.則稱(chēng)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.(2)二維隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是，即.對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是，其中為，的連

14、續(xù)點(diǎn).2.2.5兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的概念設(shè)，為隨機(jī)變量，是二元函數(shù)，則以隨機(jī)變量，作為變量的函數(shù)也是隨機(jī)變量，稱(chēng)之為隨機(jī)變量，的函數(shù).(2)二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布為：()，則：也是離散型隨機(jī)變量，其分布律為：()，如果有若干個(gè)相同，則合并諸項(xiàng)為一項(xiàng)，即將相應(yīng)的概率相加為取值為的概率.如果，則為二維離散型隨機(jī)變量，求聯(lián)合分布律：()，如果有若干個(gè)相同，則合并諸項(xiàng)為一項(xiàng)，即將相應(yīng)的概率相加為取值為的概率.(3)二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為.如果是離散型隨機(jī)變量（很少出現(xiàn)），其分布律為：(

15、). 如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，先求出其分布函數(shù)：再求出其密度函數(shù).如果，則分布的方法如下：(a)若為二維離散型隨機(jī)變量（很少出現(xiàn)），其分布律為：(b)若為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，先求出其分布函數(shù)：再求出其密度函數(shù).(4)幾個(gè)簡(jiǎn)單常用的二維隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為.則仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為：.證明：由于的分布函數(shù)為，如圖2.5所示，這里積分區(qū)域是直線及其左下方的半平面.將二重積分轉(zhuǎn)化成累次積分，得，固定和對(duì)積分作變量變換，令，得：，所以，對(duì)求導(dǎo)得.同理. 圖2.5 圖2.6和的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為.(a)仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為.證明：如圖2.6所示，的分布函數(shù)為：固定和對(duì)積分作變量變換，令，得：，同理，對(duì)求導(dǎo)得.(b)同樣地，仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為:.及的分布設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，與的分布函數(shù)分別為和，則及的分布函數(shù)分別為：，注：設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為()，則與的分布函數(shù)分別為：，.【例2.3】已知二維隨機(jī)變量的概率密度為：()試求的邊緣概率密度，并問(wèn)與是否獨(dú)立；()令，求的概率密度.解：()同理因?yàn)?，所以與不獨(dú)立.()方法1：分布函數(shù)法的