第3章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)

1、tcbazztcbayytcbaxx,n （3-1）ttcbazuttcbayuttcbaxuzyx,222222tzatyatxazyx，拉格朗日法物理概念清晰，但由于流體質(zhì)點的運動拉格朗日法物理概念清晰，但由于流體質(zhì)點的運動軌跡非常復(fù)雜，應(yīng)用該法描述流動，數(shù)學(xué)上存在困難，軌跡非常復(fù)雜，應(yīng)用該法描述流動，數(shù)學(xué)上存在困難，而實用上也無須知道個別質(zhì)點的運動情況，所以除了而實用上也無須知道個別質(zhì)點的運動情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運動）外，在工程流體力學(xué)中很少少數(shù)情況（如波浪運動）外，在工程流體力學(xué)中很少采用，采用， 絕大部分流動都用歐拉法進行描述。絕大部分流動都用歐拉法進行描述。)(tzyxu

2、uxx、)(tzyxuuyy、)(tzyxuuzz、觀看錄像觀看錄像其中空間坐標其中空間坐標x、y、z和時間和時間t稱為稱為歐拉變量歐拉變量。使用歐拉變量。使用歐拉變量著眼于全場物理量的描述，而不去關(guān)注特定流體質(zhì)點的行為，著眼于全場物理量的描述，而不去關(guān)注特定流體質(zhì)點的行為，被稱為被稱為歐拉觀點歐拉觀點。由于數(shù)學(xué)處理非常方便，因此歐拉觀點在。由于數(shù)學(xué)處理非常方便，因此歐拉觀點在流體力學(xué)研究中被廣泛使用。流體力學(xué)研究中被廣泛使用。)(tzyxpp、(3-2)同樣同樣（3-3）zuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzzu

3、uua)(tn寫成矢量形式：寫成矢量形式：xudtdxyudtdyzudtdz（3-4a）（3-4b）tuuu)(圖 3-10ttptu注意：嚴格的恒定流只可能發(fā)生在層流，在紊流中，由于注意：嚴格的恒定流只可能發(fā)生在層流，在紊流中，由于流動的無序，其流速或壓強總有脈動，但若取時間平均流流動的無序，其流速或壓強總有脈動，但若取時間平均流速（時均流速），若其不隨時間變化，則認為該紊流為恒速（時均流速），若其不隨時間變化，則認為該紊流為恒定流。定流。 非恒定流：非恒定流：又稱非定常流，是指流場中的流體流動空間點上又稱非定常流，是指流場中的流體流動空間點上各水力運動要素中，只要有任何一個隨時間的變化而

4、變化的各水力運動要素中，只要有任何一個隨時間的變化而變化的流動。流動。觀看錄像觀看錄像1 2 3 n二元流：二元流：流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向的流動可忽略不計，即的流動可忽略不計，即流動流體的運動要素是二個空間坐標流動流體的運動要素是二個空間坐標（不限于直角坐標）函數(shù)（不限于直角坐標）函數(shù)。觀看錄像觀看錄像1 觀看錄像觀看錄像2 圖 3-2圖 3-3zyxudzudyudxn 寫成投影形式則為：寫成投影形式則為：kjisdzdydxdkjiuzuuuzyx0usd（3-5a）（3-5b）dtudzudyudxzyx【例例3 1】已知流速

5、場已知流速場ux =kx，uy = - ky , uz = 0，其中，其中y0，k 為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求(1)流線方程流線方程; (2) 跡線方程。跡線方程?！窘饨狻繐?jù)據(jù)uz = 0和和y0可知，流體運動僅限于可知，流體運動僅限于xoy 的半平面內(nèi)。的半平面內(nèi)。（1）由）由流線微分方程流線微分方程(3 5b) 有有kydykxdx積分上式得積分上式得 xy=C該流線為一族等角雙曲線，如圖該流線為一族等角雙曲線，如圖 3 4 所示。所示。圖 3-4dtkydykxdx積分上式得跡線方程積分上式得跡線方程x=C1ekt，y=C2e-kt改寫上式得改寫上式得 xy=C1 C2ekt e-kt=C

6、1C2=C與流線方程相同，表明恒定流動時流線和跡線在幾何上完與流線方程相同，表明恒定流動時流線和跡線在幾何上完全重合。全重合。思考一下：在一流場中同一時刻不同思考一下：在一流場中同一時刻不同流體質(zhì)點組成的曲線是否都是流線？同流體質(zhì)點組成的曲線是否都是流線？同一流體質(zhì)點在各個時刻的位置連成的曲一流體質(zhì)點在各個時刻的位置連成的曲線是否是跡線？線是否是跡線？觀看錄像一觀看錄像一 錄像二錄像二 觀看動畫觀看動畫 否；是否；是n流束：流束：流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束(圖圖 3 5b)。(圖圖 3 5a)圖3-5圖3-6n流量：流量：單位時間通過某一過流斷面的流體量。有體積流

7、量單位時間通過某一過流斷面的流體量。有體積流量和質(zhì)量流量。和質(zhì)量流量。觀看錄像觀看錄像n元流流量：元流流量：dQ=udA （3-6）n總流流量：總流流量： （3-7）AudAAQAAudAQ 斷面平均流速：斷面平均流速：總流過流斷面上各點的流速是不相同的，所以總流過流斷面上各點的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點的實際流速，稱斷面平均流速常采用一個平均值來代替各點的實際流速，稱斷面平均流速v。 （3-8）圖 3-7n觀看錄像觀看錄像n非均勻流：反之。非均勻流：反之。非均勻流中流場中相應(yīng)點的非均勻流中流場中相應(yīng)點的流速大小或方向或同時二流速大小或方向或同時二者沿程改變者沿程改變，即沿

8、流程方向速度分布不均。例：流體在收縮管、擴散管，即沿流程方向速度分布不均。例：流體在收縮管、擴散管或彎管中的流動。（非均勻流又可分為急變流和漸變流）或彎管中的流動。（非均勻流又可分為急變流和漸變流）n 觀看錄像觀看錄像 漸變流漸變流特征：特征：(1)漸變流過流斷面近似為平面漸變流過流斷面近似為平面;(2) 恒定漸變流過流斷面上流體動壓強近似地按靜壓強分布，恒定漸變流過流斷面上流體動壓強近似地按靜壓強分布，即同一過流斷面上即同一過流斷面上 觀看錄像觀看錄像1 2急變流特征：急變流特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過流斷面不是

9、一個平面。急變流的加速度較大，流線是曲線，過流斷面不是一個平面。急變流的加速度較大，因而慣性力不可忽略。因而慣性力不可忽略。 觀看錄像觀看錄像1 2圖 3-8Cpzdxxuuxx21dxx21流速：密度：dxxuuxx21dxx21N點：流速：密度：n所以所以 單位時間內(nèi)單位時間內(nèi)x方向流出流進的質(zhì)量流量差：方向流出流進的質(zhì)量流量差：dxdydzxudydzdxxuudxxdydzdxxuudxxmxxxxxx)()21)(21()21)(21(n同理，單位時間內(nèi)在y ， z 方向流進、流出控制體的流體質(zhì)量差分別為：dxdydzyumyy)(dxdydzzumzz)(n因流體是連續(xù)介質(zhì)，根據(jù)質(zhì)

10、量守恒定律，單位時間內(nèi)流進、流出控制體的流體質(zhì)量差應(yīng)等于控制體內(nèi)流體因密度變化所引起的質(zhì)量增量，即dxdydztmmmzyx0)()()(zuyuxutzyx（3-9a）0)(ut（3-9b）矢量形式：矢量形式： 對于恒定流：對于恒定流：（3-10a）0)(u（3-10b）矢量形式：矢量形式：0)()()(zuyuxuzyx0t對于均質(zhì)不可壓縮流，密度為常數(shù)，則上式可化簡為對于均質(zhì)不可壓縮流，密度為常數(shù)，則上式可化簡為0zuyuxuzyxn物理意義：不可壓縮流體單位時間內(nèi)流入單位空間的流體物理意義：不可壓縮流體單位時間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量）與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。體積（質(zhì)

11、量）與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。0 u（3-11b）矢量形式：矢量形式：（3-11a）【例例3-2】假設(shè)不可壓縮流體的流速場為假設(shè)不可壓縮流體的流速場為ux=f(y,z)，uy=uz=0。試判斷分析該流動是否存在？若存在，則屬于何種流動？試判斷分析該流動是否存在？若存在，則屬于何種流動？解解 判斷流動是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。判斷流動是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。0zuyuxuzyx0zuyuxuzyx所以：所以：故流動存在故流動存在因流體的當(dāng)?shù)丶铀俣纫蛄黧w的當(dāng)?shù)丶铀俣?tu，故該流動為恒定流，故該流動為恒定流因流速因流速u=f(y,z)與與x坐標無關(guān)，故該

12、流動為二元流坐標無關(guān)，故該流動為二元流因流體的遷移加速度因流體的遷移加速度0)(uu，故該流動為均勻流，故該流動為均勻流解解 將將axxux2)(ezdxyuy代入代入不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程 ezxadzuz)2(得得積分上式，得積分上式，得uz = (d - 2a )xz + ez2/2 + f(x ,y)式中式中f ( x,y) 是是x 、y 的任意函數(shù)。由題中已知條件有的任意函數(shù)。由題中已知條件有f ( x,y) =0 ， 故坐標故坐標z 方向的分速度為方向的分速度為uz = (d - 2a )xz + ez2/2 圖3-100)(VVdVdVtu由于控

13、制體不隨時間變化，上式中第一項可改寫成由于控制體不隨時間變化，上式中第一項可改寫成VdVt根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯（根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯（C.F.Gauss）定理，第二項的體積分）定理，第二項的體積分可改寫成面積分，即可改寫成面積分，即 dAudVAnV)( u0dAudVtAnV流體運動的連續(xù)性積分方程的一般形式流體運動的連續(xù)性積分方程的一般形式 :其中其中A為控制體的封閉曲面，為控制體的封閉曲面，un為速度在為速度在dA外表面的投影，外表面的投影，由于流速與流線壁面不相交，只有在過流斷面上由于流速與流線壁面不相交，只有在過流斷面上 un0，上式就，上式就可化簡為：可化簡為：0dAuAn式中式中

14、A1、A2分別為總流進、出口過流斷面面積。第一項取分別為總流進、出口過流斷面面積。第一項取負號是因為流速負號是因為流速u1與與dA1的外法線方向相反。應(yīng)用積分中值的外法線方向相反。應(yīng)用積分中值定理，可得定理，可得對于恒定對于恒定 流流0VdVt不可壓縮不可壓縮(=常數(shù)常數(shù)) 所以有：所以有： 0212211AAdAudAuQAA2211（3-12）圖3-10物理意義：物理意義：對于不可壓縮流體，斷面平均流速與過流斷面對于不可壓縮流體，斷面平均流速與過流斷面面積成反比，即流線密集的地方流速大面積成反比，即流線密集的地方流速大 ，而流線疏展的地方，而流線疏展的地方流速小。流速小。若沿程有流量流進或

15、流出，則總流的連續(xù)性方程在形式上若沿程有流量流進或流出，則總流的連續(xù)性方程在形式上需作相應(yīng)的修正。需作相應(yīng)的修正。 231QQQ（3-13）【例例3-3】圖圖3-12為一三通管。已為一三通管。已知流量知流量Q=140L/s，兩支管直徑分，兩支管直徑分別為別為d2=150mm和和d3=200mm，且，且兩者斷面平均流速相等。試求兩兩者斷面平均流速相等。試求兩支管流量支管流量Q2和和Q3。解解 由由式（式（3-13），），得得23322232144ddQQQ因因2=3，故，故smddQ/85. 2)20. 015. 0(414. 310140)(42232322132兩支管流量：兩支管流量：sLQ

16、/3 .5015. 0414. 385. 222Q3=Q1-Q2=140-50.3=89.7 L/sdtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1（3-14a）dtdpfu1（3-14b）zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1zuuyuuxuutuypfyzyyyxyy1zuuyuuxuutuzpfzzzyzxzz1（3-15a）uu)(1tupf（3-15b）或或dtduuvxpfxxx21dtduuvypfyyy21dtduuvzpfzzz21uuu)(12tuvpf（3-16a）（3-16b）或或式中，式中，2222222zyx稱為拉普拉斯（稱為拉普拉斯（Lapla

17、ce）算子，）算子，為流體的運動粘度。為流體的運動粘度。（1）恒定流，此時）恒定流，此時0tptututuzyxdpdzzpdyypdxxp故有故有（2）流體為不可壓縮的，即）流體為不可壓縮的，即= 常數(shù)。常數(shù)。（3）質(zhì)量力有勢。設(shè)）質(zhì)量力有勢。設(shè)W 為質(zhì)量力勢函數(shù)，由為質(zhì)量力勢函數(shù)，由式式(2 - 6) 知，對知，對于恒定的有勢質(zhì)量力于恒定的有勢質(zhì)量力 fxdx + fydy+ fzdz=dW xudtdxyudtdyzudtdzdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)()2(12udduuduuduudpdWzzyyxx0)2(2u

18、pWd常數(shù)22upW（3-17）常數(shù)22upgz常數(shù)gupz22或或（3-18）對于同一流線上的任意兩點來說：對于同一流線上的任意兩點來說：gupzgupz2222222111（3-19）應(yīng)用條件：理想不可壓縮流體；恒定流動；只受重力；沿流線。應(yīng)用條件：理想不可壓縮流體；恒定流動；只受重力；沿流線。ppz gu22gupz22ppz gu22gupz222222211122whgupzgupz注意：元流列方程，流速是瞬時流速注意：元流列方程，流速是瞬時流速u，而不是平均流速，而不是平均流速 hw為由過流斷面為由過流斷面11運動到運動到22的機械能損失，稱為水頭損失的機械能損失，稱為水頭損失（3

19、-20）圖 3-13dlgupzddldhJw)2(2（3-21）dspzdJp)(3-22)()2(2pzdgupzd)()(AABBppzpzhz1,p1z2,p202BB2AApzgupzpghpzpzgu2)()(2AABB（3-23）考慮到實際流體黏性作用引起的水頭損失和測速管對流動的考慮到實際流體黏性作用引起的水頭損失和測速管對流動的影響，用式（影響，用式（3-23）計算）計算A點流速時尚需進行修正，即點流速時尚需進行修正，即pghu2（3-24）若皮托管采用液體差壓計量測測壓管水頭差若皮托管采用液體差壓計量測測壓管水頭差pphgu)1(2（3-25）dQhdQgupzdQgupz

20、w22222111)2()2(dQ=u1dA1=u2dA2，所以通過總流兩過流斷面的總能量之間的關(guān)系：，所以通過總流兩過流斷面的總能量之間的關(guān)系：QwAAdQhdAugupzdAugupz22222211211121)2()2(或或QwAAAAdQhdAgudAupzdAgudAupz2322222131111122112)(2)(AudApz)(-單位時間過流斷面流體勢能總和單位時間過流斷面流體勢能總和QpzpzudApzudApzAA)(A)()()(3-27)AdAgu23-單位時間過流斷面流體動能總和單位時間過流斷面流體動能總和QgaAgadAguA222233(3-28)AgAgud

21、AvuAQdAa322)(123(3-29)QwdQh-過流斷面之間機械能損失過流斷面之間機械能損失QhdQhwQw(3-30)whgapzgapz222222221111（3-31）whgvapzHgvapz222222221111（3-32）（3）應(yīng)用恒定總流的伯努利方程解題的幾點補充說明）應(yīng)用恒定總流的伯努利方程解題的幾點補充說明 pg22gpz22pz gpzH22dldhdldHJwpzHpdldHJpp水流由等徑斜管的高處水流由等徑斜管的高處A流向低處流向低處B（不考慮水頭損（不考慮水頭損失）。選擇：失）。選擇： 1 pApB； 2 pA=pB；3 pA觀看動畫觀看動畫注意：無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點注意：無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點本身是否旋轉(zhuǎn)，而與是否恒定流或均勻本身是否旋轉(zhuǎn)，而與是否恒定流或均勻流無關(guān)，也不涉及微團的軌跡形狀流無關(guān)，也不涉及微團的軌跡形狀。 0)(21zuyuyzx0)(21xuzuzxy0)(21yuxuxyzzuyuyzxuzuzxyuxuxy觀看錄像觀看錄像