數(shù)學(xué)物理方法第十一章PPT課件

1、1復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：拉普拉斯方程拉普拉斯方程 分離變數(shù)結(jié)果分離變數(shù)結(jié)果球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系( )xcos( )sinmm 11( )/llrR rr l-階連帶階連帶勒讓德方程勒讓德方程cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-階階貝賽爾方程貝賽爾方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-階虛階虛宗量貝賽爾方程宗量貝賽爾方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 u第1頁(yè)/共40頁(yè)222221(1)0d RdRmRx dxdxx貝塞耳方程：貝塞耳方程：虛宗量貝塞耳方程：虛宗量貝塞耳方程：22221(1)0d RdRmRx dxdx

2、x222() (1)0ddRrk rl lRdrdr球貝塞耳方程：球貝塞耳方程：(1) 階貝塞耳方程階貝塞耳方程22222()0d RdRxxxRdxdx 整數(shù)整數(shù)201( )( 1)()! (1) 2kkkxJxkk 階階貝塞耳函數(shù)貝塞耳函數(shù) 另一個(gè)解另一個(gè)解 階階貝塞耳函數(shù)貝塞耳函數(shù)201( )( 1)()! (1) 2kkkxJxkk 通解：通解：12( )( )( )y xc Jxc Jxx 第2頁(yè)/共40頁(yè)310( )txxe tdt其中其中 - -函數(shù)函數(shù)定義為定義為它有它有遞推關(guān)系遞推關(guān)系：(1)( )xxx當(dāng)當(dāng) x 為為 正整數(shù)正整數(shù)(1)!xx201( )( 1)()!()!

3、 2kmkmkxJxk mk(2) m 階貝塞耳方程階貝塞耳方程(0) ()m 求和只能從求和只能從 開(kāi)始開(kāi)始。km21( )( 1)()! (1) 2kmkmk mxJxkmk 201( 1)()()! (1) 2lmmllxlml( )mJx201( 1)( 1)()!()! 2mlmllxl lm ( 1)( )mmJx 12( )( )( )mmy xc Jxc Jx不再是通解不再是通解( )mJx( )mJx與與相互不獨(dú)立。相互不獨(dú)立。klm 第3頁(yè)/共40頁(yè)4諾依曼函數(shù)諾依曼函數(shù)( )cos( )( )sinJxJxNx 階貝塞耳方程的通解階貝塞耳方程的通解又可以又可以寫作寫作12

4、( )( )( )mmy xc Jxc Nx12( )( )( )y xc Jxc Nxm 階貝塞耳方程的通解階貝塞耳方程的通解只能只能寫作寫作2( )lim( )(ln)( ).2mmmvmxNxNxC Jx為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)0/0型型第一種和第二種第一種和第二種漢克爾函數(shù)漢克爾函數(shù)12HxJxiNxHxJxiNx ( )( )( )( )( )( )( )( )1212( )( )( )( )( )y xC HxC Hx 貝塞耳方程的通解貝塞耳方程的通解第一類柱函數(shù)：貝塞耳函數(shù)第一類柱函數(shù)：貝塞耳函數(shù)第二類柱函數(shù)：諾依曼函數(shù)第二類柱函數(shù)：諾依曼函數(shù)第三類柱函數(shù)：漢克爾函數(shù)第三類柱函數(shù)：漢克爾

5、函數(shù) 220( 1)( )! (1)kk mxmkJxkkm( )cos( )( )sinmmmJxmxJxNxmx( )( )( )mmmHxJxiNx第4頁(yè)/共40頁(yè)5246810-0.4-0.20.20.40.60.81圖圖05JJ0 x 01,0JJ 0,.(0)NN x142( )(/ )i xHex 242( )(/ )i xHex 24cos(/ )Jxx 24sin(/ )Nxx 0內(nèi)解問(wèn)題：只要零階和正階貝塞爾函數(shù)內(nèi)解問(wèn)題：只要零階和正階貝塞爾函數(shù)研究圓柱外部問(wèn)題：兩個(gè)線性獨(dú)立特解都要保留研究圓柱外部問(wèn)題：兩個(gè)線性獨(dú)立特解都要保留.J 第5頁(yè)/共40頁(yè)66010!2( )1,

6、( )( )mxmmJxJx 21124( )cos()mxJxxm 0 x x第6頁(yè)/共40頁(yè)77202(1)!20( )ln( )( )xmmmxNxNx 21124( )sin()mxNxxm 0 x x第7頁(yè)/共40頁(yè)822011112( )()()( )! ()kkkkJxddxdxdxkkx 221121112()( )! ()kkkkkxkk 121210111122()( )()! ()lllllxll 1kl 1 21 201111112()( )! ()llllxllx 1( )Jxx 1( )( )dx Jxx Jxdx諾依曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)滿足同樣關(guān)系。諾依曼函數(shù)、漢克

7、爾函數(shù)滿足同樣關(guān)系。 寫作寫作( )Zx 1( )( )ZxZxddxxx 1( )( )dx Zxx Zxdx1/ZZxZ 1/ZZxZ 112ZZZ1120/ZZxZ 第8頁(yè)/共40頁(yè)9虛宗量貝塞耳方程虛宗量貝塞耳方程 階虛宗量貝塞耳方程階虛宗量貝塞耳方程222220()d RdRxxxRdxdx ix222220()d RdRRdd 220112( )()()! ()kkkkixJkk 201()! (1) 2kkxikk 201( )()()! (1) 2kkxIxiJixkk 定義：定義：201( )()! (1) 2kkxJikk 201( )()()! (1) 2kkxIxi J

8、ixkk 通解：通解：12( )( )( )vvy xC IxC Ix第9頁(yè)/共40頁(yè)10m 階虛宗量貝塞耳方程階虛宗量貝塞耳方程22222()0d RdRmRdd 201( )()()! (1) 2mmkmmkxIxiJixkk ( )()( 1)()( 1)( )( )mmmmmmmmmmmIxi JixiJixii IxIx另一個(gè)獨(dú)立解需要另外研究（含有對(duì)數(shù)項(xiàng)）另一個(gè)獨(dú)立解需要另外研究（含有對(duì)數(shù)項(xiàng)）0 x. 0, 10mIIx.,0mII0 ax. 0,0mII123451234560II 圖對(duì)于圓柱內(nèi)部問(wèn)題，如果柱側(cè)有齊次邊界條件，則對(duì)于圓柱內(nèi)部問(wèn)題，如果柱側(cè)有齊次邊界條件，則 00應(yīng)

9、排除應(yīng)排除第10頁(yè)/共40頁(yè)11柱坐標(biāo)系下的解柱坐標(biāo)系下的解cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-階階貝賽爾方程貝賽爾方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-階虛階虛宗量貝賽爾方程宗量貝賽爾方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 ucos( )sinmm cos( )sinmm 拉普拉斯拉普拉斯方程方程0m第11頁(yè)/共40頁(yè)12柱面柱面上的齊次邊界條件上的齊次邊界條件aA. 柱面的第一類齊次邊界條件柱面的第一類齊次邊界條件：()0Ra 僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)022222()0d RdRxxxmRd

10、xdx( )( )()mmRJxJ（m 已定已定）()mn 對(duì)于確定的對(duì)于確定的 m，貝塞耳函數(shù)有一系列貝塞耳函數(shù)有一系列零點(diǎn)零點(diǎn)：()mnx1,2,n 對(duì)于不同的對(duì)于不同的 n，有，有()()mmnnax 或或()()2()mmnnxa 這就是貝塞耳方程這就是貝塞耳方程( (另一種寫法另一種寫法) )的離散本征值的離散本征值20ddRmRRdd 第12頁(yè)/共40頁(yè)13B. 第二類齊次邊界條件第二類齊次邊界條件：()0Ra 僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)，兩個(gè)零點(diǎn)之間必有極值。僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)，兩個(gè)零點(diǎn)之間必有極值。0 同樣，同樣，()mnx1,2,n 為貝塞耳函數(shù)的為貝塞耳函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)

11、數(shù)的零點(diǎn)序列，本征值為的零點(diǎn)序列，本征值為()()2()mmnnxa m=0 的情況的情況: :0100( )( )ZxZxddxxx 即：即：(0)(1)01()()nnJxJx C. 第三類齊次邊界條件第三類齊次邊界條件：()()0mmJaHJa()()2()mmnnxa 將是上述方程的解。將是上述方程的解。( )( )0R aHR a第13頁(yè)/共40頁(yè)14貝塞耳方程貝塞耳方程( (施圖姆劉維爾本征值方程施圖姆劉維爾本征值方程) )：20mnddRmRRdd 正交關(guān)系正交關(guān)系()()0()()0()ammmnmlJJdnl 對(duì)對(duì)三個(gè)不同三個(gè)不同的本征值序列成立的本征值序列成立三個(gè)不同三個(gè)不

12、同的本征值序列，有的本征值序列，有三個(gè)不同的模三個(gè)不同的模。() 2()20()ammnmnNJd 02()01( )xmmnJxxdx 022()01( )2xmmnJxdx 002220()()011( )( )( )2xxmmmmmnnxJxx Jx Jx dx222 ()0mmmx JxJxmJ或或222mmmmx Jx JxJm J同一個(gè)同一個(gè)方程的方程的三個(gè)不同的三個(gè)不同的施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題。施圖姆劉維爾本征值問(wèn)題。權(quán)重權(quán)重第14頁(yè)/共40頁(yè)15002222200112xxmnmmmmmmmnnNx Jxx JxJm JJx dx()()()( )()( )002200()xx

13、mmmmmx JxJJdxmJ dJ00222002xxmmmmmx JxJJdxJ()0022222001122xxmnmmmmnnNxmJxxJx()()()()( )( )A. 第一類齊次邊界條件第一類齊次邊界條件：0()()mmnJa 2() 2()2()2mmnmnaNJa 1/ZZxZ 由由2() 2()21()2mmnmnaNJa 002222001() 22xxmmmxJJ第15頁(yè)/共40頁(yè)16B. 第二類齊次邊界條件第二類齊次邊界條件：()()0mmnJa 2() 222()1()( )2mnmmnmNaJx C. 第三類齊次邊界條件第三類齊次邊界條件：()()()()()0

14、mmmmnnmnJaHJa22() 22()2()()21()()2mmnmnmmnnmaNaJaH （四）（四） 廣義傅立葉級(jí)數(shù)廣義傅立葉級(jí)數(shù)()1( )()mnmnnff J指定指定的的m，次序次序由由n給出給出。0()() 201( )()mnmnmnffJdN 權(quán)重權(quán)重 第16頁(yè)/共40頁(yè)17幾個(gè)有用的公式：幾個(gè)有用的公式：1,mmmmxJdxxJC 10,J dxJC 1,mmmmx Jdxx JC由遞推公式由遞推公式傅立葉傅立葉- -貝塞耳積分貝塞耳積分0 的情況的情況0( )( )()mfFJd 0( )( )()mFfJd 1( )( )JxJxddxxx )()(1xJxxJ

15、xdxd()1( )()mnmnnff J0201()()( )()mnmnmnffJdN 第17頁(yè)/共40頁(yè)18例例1利用遞推公式求積分利用遞推公式求積分1( )( )dx Jxx Jxdx00010( )( )xxx Jxx Jx dx00320100( )( )xxx Jx dxx d xJx003210102( )( )xxx Jxx Jx dx003210202( )( )xxx Jxx Jx320100202()()x Jxx Jx例例2)()0(010nnnJuu方程指定了為方程指定了為第一類邊界條件第一類邊界條件2(0) 2(0)2010()2nmnNJ0(0)002(0)20

16、102()()nnnuu JdJ x )()()()(20)0(0)0(0)0(002)0(02)0(12000nnnnnxdxxJxxJu(0)00(0)(0)2102( )()nxnnuJx xdxxJ x0012)0(1)0(0)()(2xnnxxJxJxu)(2)0(1)0(0nnxJxu第18頁(yè)/共40頁(yè)19)()(20)0(0)0(1)0(010nnnnxJxJxuu或者)()(210)0(0)0(1)0(1nnnnxJxJx單位1例40)(2f)(1f00u 0u軸對(duì)稱0m cos()sinzmzemuJme1.02.(0)(0)01()()0nnJxJx 0L定解問(wèn)題側(cè)面絕熱側(cè)

17、面絕熱0u有限值120( ),( )zz Lufuf11lnuz 1cossinmmmuzm 0m 第19頁(yè)/共40頁(yè)20)()0()0()0(0100znznnnnneBeAJzBAu)()()0(0101nnnnBAJAf)()()0()0()0(01002LnLnnnnneBeAJLBAf2( ) 22( )22(0)2000( )011()()()22mmnmnnmmnmNJxJ x0(0)02(0)200002( )()()nininxffJdJx 100fA 2000fLBALffB10200nnnBAf1LnLnnnneBeAf)0()0(2(0)(0)(0)12nnnLnnnL

18、Lf efAeeLLnLnnnnneefefB)0()0()0(21002002( )iiffd 20第20頁(yè)/共40頁(yè)21例例5方程如方程如P.179P.179，習(xí)題，習(xí)題5 5 （圓錐改為方錐）（圓錐改為方錐）dxSuxYuSdxxtt)()(xShl0)(12xttxuxxau0),(tlux0)0 ,(),()0 ,(xuxfxut1. 1. 分離變量分離變量XTu 0) ( 2xXXxTaXT2TXxXa TXx 0 22TakT0 222XxkxXXx0)( lX2. 2. 貝塞耳方程貝塞耳方程0 222XxkxXXx零階貝塞耳方程零階貝塞耳方程)(0kxJX 0)( lX01(

19、)()()0X lJklJ kl (0)nnxkl解為解為)(1kxJ的第一個(gè)零點(diǎn)為的第一個(gè)零點(diǎn)為00k0 0TtBAT00021第21頁(yè)/共40頁(yè)22(0)(0)(0)0001( , )cossin()nnnnnnxaxaxu x tAB tAtBt Jxlll3. 3. 初始條件定解初始條件定解(0)001()( )nnnxAA Jxf xl(0)(0)001()0nnnnxaxBBJxll0nB0202( )lAf x xdxl(0)02(0)2002() ( )()lnnnxAJx f x xdxlJxl(0)(0)001( , )cos()nnnnxaxu x tAAtJxll22第

20、22頁(yè)/共40頁(yè)23例600u00,uu 230tuau軸對(duì)稱軸對(duì)稱0uuv熱傳導(dǎo)問(wèn)題熱傳導(dǎo)問(wèn)題絕熱絕熱0u有限值有限值00, |0zz Lzuuu0m 0u0120( )( )tuuffz先將邊界條件化為齊次，令先將邊界條件化為齊次，令00,v 230tvav0v有限值有限值00,|0zz Lzvv120( )( )tvffz邊界條件全是齊次的邊界條件全是齊次的查查9.19.1節(jié)表節(jié)表滿足邊界條件的解滿足邊界條件的解220()sink a tvJze 22()k2323第23頁(yè)/共40頁(yè)24亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程輸運(yùn)方程輸運(yùn)方程球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系( )xcos( )sinmm

21、 011( )/llrR rr :l-階連帶階連帶勒讓德方程勒讓德方程cos( )sinmm ( )R :m-階階貝賽爾方程貝賽爾方程cos( )sinzZ zz 但但0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m230vk v :l階球貝階球貝賽爾方程賽爾方程(k 0)( )R r22()k0 則則但但則則230tuau22( )k a tT te2( )( )0v rk v r24第24頁(yè)/共40頁(yè)25220()sink a tvJze 22()k22222(0)(0)01()/2/nnpLx本征值本征值222(0 )2201()2(0)01001()2sinnpxa tLn

22、npnppxvA eJzL 00(0)102(0)20000202()()1()22 ( )sinnnpnxAfJdJxpzfzdzLL25第25頁(yè)/共40頁(yè)26母函數(shù)母函數(shù)3.5 例例5：在原點(diǎn)鄰域上把在原點(diǎn)鄰域上把展開(kāi)展開(kāi)11()2x zze1201 1() ()! 2 xzllexzzl1120111()(0)!2xnznexznz絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂正冪項(xiàng)正冪項(xiàng), (0)mzm負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), (0)hzh取取lnm取取 nlh11()2200210( 1)()()! ! 2( 1) +( 1)()!()! 2 (0) nx zmnmzmnlhhlhhlxezmn nxzl lhz( )mJ

23、x( )hJx11()2( )x zmzmmeJx z26第26頁(yè)/共40頁(yè)27積分表示與加法公式積分表示與加法公式11()2( )x zmzmmeJx zsin( )iximmmeJx eize cos( )ixmimmmei Jx e2 sin1( )2iximmJxed 11()()2()( )( )a bzmknzmknmknJab zeJa zJb z()( )( )mkm kkJabJa Jb27第27頁(yè)/共40頁(yè)28諾依曼函數(shù)諾依曼函數(shù)例例7空心園長(zhǎng)柱體，熱傳導(dǎo)問(wèn)題空心園長(zhǎng)柱體，熱傳導(dǎo)問(wèn)題1200,uUuU 220tuau0( )tuf0uUv邊界條件齊次化，令120,0vv 2

24、20tvav00( )tvfU200()()a tvAJBNe代入邊界條件代入邊界條件01010202()()0()()0AJBNAJBN非零解非零解n本征值本征值01020201()()()()0nnnnJNJN 20100101()()()()na tnnnnnnvCNJJNe 本征函數(shù)本征函數(shù)( (完備完備) )28第28頁(yè)/共40頁(yè)29例例8 8聲波發(fā)射問(wèn)題：長(zhǎng)園柱面，徑向速度分布聲波發(fā)射問(wèn)題：長(zhǎng)園柱面，徑向速度分布00i tuv e 220ttuau0cosvt求聲振動(dòng)的速度勢(shì)求聲振動(dòng)的速度勢(shì)( ,)u t0(,)(,)t 漢克爾函數(shù)漢克爾函數(shù)波動(dòng)方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù)形式的解波動(dòng)

25、方程在柱坐標(biāo)系中分離變數(shù)形式的解coscos()sinsinikatmikatmzeZmze柱函數(shù)柱函數(shù)22()k(/2/4)(1)(/2/4)(2)2()2()ikat mikatmikat mikatmHeeHee向外發(fā)散的波向外發(fā)散的波向內(nèi)會(huì)聚的波向內(nèi)會(huì)聚的波查表查表0()ikatZe 且且ka 柱函數(shù)柱函數(shù)0()Za 應(yīng)取應(yīng)取10( )()Hk 只取唯一值只取唯一值 ，無(wú)需疊加，無(wú)需疊加ka 29第29頁(yè)/共40頁(yè)3010( )()ituAHea 0100( )()AHva 若若022ak 即即02a 0022 lnAiva 002iAv 10002 ( )()itvuiHea 001

26、122222()ln()()ln()xNxCJxxNxCJxx P347, P347, 習(xí)題習(xí)題151500cosi tuve 220ttuau11( )()cosituAHea 002aAiv 0202aiAv 210012 ( )()cositvuiHeaa 30第30頁(yè)/共40頁(yè)31上下底齊次邊界條件上下底齊次邊界條件0 u拉普拉斯拉普拉斯方程方程22222()0d RdRxxxmRdxdx20 201( )()! (1) 2mkmkxIxkk x ( )( )( )lim2sinvvmvmIxIxKxv 0 x0( )1, ( )0 (0)mIxIxm(0) mK x1( )2xmIx

27、ex( )2xmKxex 如果所研究區(qū)域包含圓柱軸如果所研究區(qū)域包含圓柱軸0 只用只用( )mIx如果所研究區(qū)域伸向無(wú)限遠(yuǎn)如果所研究區(qū)域伸向無(wú)限遠(yuǎn)只用只用( )mKx 31第31頁(yè)/共40頁(yè)32例例1，求柱內(nèi)穩(wěn)定溫度分布求柱內(nèi)穩(wěn)定溫度分布000,kuqu 有限0u 000,zz Luuuu0uuv邊界條件邊界條件齊次化齊次化000,kvqv 有限0v 00,0zz Lvv20 對(duì)于對(duì)于0cos( , ) ()sinzvzIz 2222/pL本征值本征值0 對(duì)于對(duì)于1( )1, ( ) RZ zz 與上下底邊界不相容，舍去與上下底邊界不相容，舍去01( , )()sinpppp zvzA ILL

28、0001()sinppqppp zAILLLk 0022000002121sin1 ( 1) (/)() LppqLqLp zAdzppLkLIpLpkIL 32第32頁(yè)/共40頁(yè)33例例3，求柱殼外的靜電勢(shì)，求柱殼外的靜電勢(shì)00/,uu z Lu 有限00 ()u 100,zz Luuu1u00/u z L1u zuwL令令001,uuwzwL 有限00 ()w00,0zz Lww0 對(duì)于對(duì)于舍去舍去11( ), ( )ln RZ zz 20 對(duì)于對(duì)于00( )cos( , ) ( )sinIxzvzKxz 2222/pL本征值本征值x 01( , )()sinpppp zwzA KLL01

29、001()sinppuupp zA KzLLL 0101000002()12sin( 1)(/)(/) Lppuuuup zAzdzKpL LLLp KpL 33第33頁(yè)/共40頁(yè)34P362P362，習(xí)題，習(xí)題4 4 （ P346P346，習(xí)題，習(xí)題6 6 ）00u 0u0u有限000, zzzz Lqquukk0()zzeuJe1.1.02.(0)0()0nJx011lnuz 舍去(0)(0)(0)01(chsh)nnnnnnuAzBz J(0)(0)(0)000(0)(0)110102()()nnnnnnnnxqxB JJkxJ x(0)(0)(0)(0)(0)000(0)(0)1101

30、02(shch)()()nnnnnnnnnnnxqxALBL JJkxJ x(0)(0)(0)01chch()nnnnnnuCzDLzJ34第34頁(yè)/共40頁(yè)3500u 0u0u有限000, zzzz Lqquukk002qq Luzvkk0002qq Lvzkk 0v 0v有限00, 0zzzz Lvv0 對(duì)于對(duì)于11( , ) ln vzz 20 對(duì)于對(duì)于00( )cos( )sinIxzKxz cospzL本征函數(shù)本征函數(shù)x 01( , )()cospppp zvzA ILL0000012()cos(/)2Lpqq Lp zAzdzIpL LkkL 21nA35第35頁(yè)/共40頁(yè)36球坐標(biāo)系亥姆霍茲方程分離變量球坐標(biāo)系亥姆霍茲方程分離變量222()(1)0ddRrl lRk r Rdrdrl l 階球貝塞耳方程（施圖姆劉維爾型）階球貝塞耳方程（施圖姆劉維爾型）20 uk uxkr( )( )2R ry xx 2221 () 02x yxyxly階貝塞耳方程階貝塞耳方程 12l l l 階球貝塞耳方程的兩個(gè)線性獨(dú)立解（