正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(安師大附中章偉)

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3正態(tài)分布安徽師范大學(xué)附屬中學(xué) 章偉 一、教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1、結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解；2、通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)二、過程與方法講授法與引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法通過教師先講，師生再共同探究的方式，讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 ，體會數(shù)學(xué)知識的形成三、情感態(tài)度與價值觀通過教學(xué)中一系列的探究過程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識和科學(xué)精神二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義；難點(diǎn)：了解在實(shí)際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，并掌握正態(tài)分布曲線所表示的意義三、教學(xué)方法講授法

2、與引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法 四、教具準(zhǔn)備黑板，多媒體， 五、教學(xué)過程（一）問題情境這里有一組身高數(shù)據(jù)，請大家看一下。1從我校高一男生中隨機(jī)地選出84名，測量其身高，數(shù)據(jù)如下（單位：）：164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169

3、 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182師：用什么數(shù)學(xué)知識能夠準(zhǔn)確直觀地研究數(shù)據(jù)的分布情況？答：可以先根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖師：作出頻率分布直方圖步驟？第一步 對數(shù)據(jù)分組（取組距）；第二步 列出頻數(shù)（或頻率）分布表；師：從表格中的數(shù)據(jù)可知道分布情況，能更直觀點(diǎn)嗎？第三步 作出頻率分布直方圖，如圖師：每個小矩形的面積代表什么？ 答：頻率. 師：頻率分布直方圖即是用面積表示數(shù)據(jù)在每組的分布情況。師：圖象的

4、直觀特征?答：中間高，兩頭低，大致對稱.師：若將樣本容量和組數(shù)不斷增大，我們來看一下圖象?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量和組數(shù)不斷增大，頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線這條曲線即“正態(tài)曲線”，那到底什么是正態(tài)曲線，該曲線有什么特征呢？這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的選修2-3的2.4正態(tài)分布.【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)回顧舊知引入新課，并為后面的學(xué)習(xí)做知識鋪墊與準(zhǔn)備。（二）、試驗(yàn)探究問題1：下面我和大家一起來做一個試驗(yàn)。請問大家知道“高爾頓板試驗(yàn)”嗎？不知道。這就是高爾頓板。（介紹高爾頓板） 下面我們來試驗(yàn)一下。1.高爾頓板實(shí)驗(yàn)問題2：試驗(yàn)過程中，小球碰撞和落入的位置，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，球槽中小球堆積的高

5、度及形狀特點(diǎn)？【設(shè)計意圖】采用高爾頓板試驗(yàn)的方法引入，一方面可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣，另一方面使學(xué)生對正態(tài)曲線的來源有一個直觀的印象.問題3：如何用我們學(xué)過的知識研究落在各個球槽內(nèi)的小球的分布情況？用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律將球槽編號，算出各個球槽內(nèi)的小球個數(shù)，作出頻率分布表以球槽的編號為橫坐標(biāo)，以小球落入各個球槽內(nèi)的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫出頻率分布直方圖。連接各個長方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖【設(shè)計意圖】借助頻率分布直方圖更加準(zhǔn)確、直觀、形象地研究小球的分布規(guī)律，為正態(tài)曲線的得出作鋪墊.問題4：觀察頻率分布直方圖，有何特點(diǎn)？隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，折線圖就越來越接近于

6、一條光滑的曲線，并且中間高兩邊低（左右對稱）【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納頻率分布直方圖的共同特點(diǎn)，有利于學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、歸納概括能力的初步鍛煉，進(jìn)一步加深正態(tài)曲線的印象.2.從描述曲線形狀的角度自然引入了正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式：對于這條曲線，早在18世紀(jì)30年代，棣莫弗、斯特靈等數(shù)學(xué)家經(jīng)過十幾年的努力，應(yīng)用求導(dǎo)、對數(shù)、無窮級數(shù)、積分、變量代數(shù)等數(shù)學(xué)方法推出這條曲線就是（或近似地是）下面函數(shù)的圖象：其中實(shí)數(shù)和為參數(shù).我們稱的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.特別地，當(dāng)=0、=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-x+）， 其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正

7、態(tài)總體的研究中占有重要的地位。很多正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題?！驹O(shè)計意圖】對高中生來說，正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)是十分困難的。因此，從數(shù)學(xué)史的角度介紹正態(tài)分布密度曲線的解析式，既使學(xué)生易于接受又滲透了數(shù)學(xué)的文化價值.3.繼續(xù)探究：當(dāng)我們?nèi)サ舾郀栴D板試驗(yàn)最下邊的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標(biāo)軸，其刻度單位為球槽的寬度，用表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo)（引導(dǎo)學(xué)生得到：此時小球與底部接觸時的坐標(biāo)是一個連續(xù)型隨機(jī)變量）Oyx思考：.陰影部分是什么圖形？.如何表示陰影部分的面積？.圖中陰影部分面積有什么意義？啟發(fā)學(xué)生回憶：頻率分布直方圖中面積對應(yīng)頻率，不難理解，圖

8、中陰影部分的面積，就可以看成多個矩形面積的和，也就是落在區(qū)間的頻率；再結(jié)合定積分的意義,陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值。這樣，概率與積分間就建立了一個等量關(guān)系 【設(shè)計意圖】正態(tài)曲線的意義是本節(jié)課的重點(diǎn)也是本節(jié)課的難點(diǎn)，通過設(shè)疑，引起學(xué)生對問題的深入思考，通過復(fù)習(xí)、鞏固原有知識，以確保新內(nèi)容的自然引入，同時加深了對定積分幾何意義的理解.以舊引新，雖然概念較為抽象，但這樣的處理過程學(xué)生不會覺得太突兀，同時培養(yǎng)了學(xué)生把前后知識聯(lián)系起來進(jìn)行思考的習(xí)慣.3.在前面分析的基礎(chǔ)上，引出正態(tài)分布概念： 一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量滿足：，則稱的分布為正態(tài)分布，常記作如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分

9、布，則記作4.請學(xué)生結(jié)合引例中的身高和高爾頓板試驗(yàn)討論提出的問題，并嘗試歸納服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量所具有的特征：若沒有那些小釘子，小球會落在哪里？是什么影響了小球落下的位置？你能事先確定某個小球下落時會與哪些小木塊發(fā)生碰撞嗎？小球最終落在哪個位置？如果小球與第一個釘子碰撞后向左落下，那與第二個釘子碰撞后也向左落下？在下落過程中的眾多碰撞中哪個釘子對結(jié)果的影響大？學(xué)生通過討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出問題的結(jié)果：豎直落下受眾多次碰撞的影響互不相干、不分主次不能，具有偶然性然后歸納出特征：經(jīng)驗(yàn)表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布【設(shè)計

10、意圖】分析的特點(diǎn)及影響的因素，突破學(xué)生認(rèn)知上的障礙，初步體會什么樣的隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布.問題5： 大家回憶引例中的身高服從正態(tài)分布是否也符合上述條件？大家一起來找找實(shí)際生活中那些現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布？生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)、測量的誤差（如電子管的使用壽命、零件的尺寸等）在生物學(xué)中，13年安徽高考考生體檢的體重、肺活量等；在氣象中，蕪湖今年五月份的平均氣溫、平均降雨量等；在生活中，某一時間段的車流量、考試成績等；總之，正態(tài)分布廣泛存在于各個領(lǐng)域當(dāng)中，在概率和統(tǒng)計中都占有重要地位【設(shè)計意圖】體會正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中，正態(tài)分布在概率統(tǒng)計

11、中占有重要的地位.問題6.：正態(tài)分布是誰發(fā)現(xiàn)的呢？ 【設(shè)計意圖】給學(xué)生介紹一點(diǎn)數(shù)學(xué)史，將數(shù)學(xué)文化融合到課堂教學(xué)中.（三）、觀察歸納1.思考：觀察正態(tài)曲線，結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式及概率的性質(zhì)，你能說說正態(tài)曲線的特點(diǎn)嗎？(1)曲線在軸的上方，與軸不相交；(2)曲線是單峰的，圖像關(guān)于直線對稱；(3)曲線在處達(dá)峰值；(4)曲線與軸之間的面積為1；(除觀察圖象直觀感受外，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式客觀驗(yàn)證曲線特點(diǎn)，做到“數(shù)形結(jié)合”。)【設(shè)計意圖】加深對正態(tài)曲線特點(diǎn)的認(rèn)識，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力.采用小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和競爭意識.通過計算機(jī)繪出兩組圖像（動畫），讓學(xué)生觀察：第一組：固定的值，取三

12、個不同的數(shù)；第二組：固定的值，取三個不同的數(shù)；學(xué)生通過觀察并結(jié)合參數(shù)與的意義可得：(5)當(dāng)一定時，曲線隨的變化而沿軸平移；(6)當(dāng)一定時，影響了曲線的形狀即：越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散(結(jié)合圖象解釋表示均值，表示標(biāo)準(zhǔn)差，對定義進(jìn)行說明，以加深學(xué)生對兩個參數(shù)的理解。)2.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取得的概率值：即可以看到，正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（-3，+3）之內(nèi).而此區(qū)間之外取值的概率只有0.0026，即隨機(jī)變量落在這個區(qū)間外為小概率事件，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生 原則： 通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱為原則（四）、應(yīng)用舉例例1. （07浙江高考題）已知隨機(jī)變量，xyo4則（A ）A B C D.例2. 某設(shè)備在正常運(yùn)行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)為：。為了檢查設(shè)備運(yùn)行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機(jī)地抽取產(chǎn)品，測量其質(zhì)量。當(dāng)檢查員隨機(jī)地抽取一個產(chǎn)品，測得其質(zhì)量為504g，他立即要求停止生產(chǎn)檢查設(shè)備。他的決定是否有道理呢？解：根據(jù)正態(tài)分布的3原則可知，產(chǎn)品質(zhì)量在和之間的概率是，而質(zhì)量超出這個范圍的概率最后只有，檢查員隨機(jī)抽取的產(chǎn)品的質(zhì)量為504g，這說明設(shè)備運(yùn)行極可能不正常，檢查員的決定是有道理的。【設(shè)計意圖】鞏固新知，讓學(xué)生體會原則的應(yīng)用性.(五)、課堂小結(jié) 1. 正態(tài)曲線