有限元分析基礎(chǔ)

1、有限元分析基礎(chǔ)有限元分析基礎(chǔ) 2010.8 2 內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu) 第一章第一章 概述概述 第六章第六章 空間問題的有限單元法空間問題的有限單元法 第七章第七章 軸對稱旋轉(zhuǎn)單元軸對稱旋轉(zhuǎn)單元 第五章第五章 等參元等參元 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 3 1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念 1.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟 1.3 工程實(shí)例工程實(shí)例 第一章第一章 概述概述 4 第一章第一章 概述概述 1.1 有限單元法的概念有限

2、單元法的概念 基本思想基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而 解決工程技術(shù)問題。 Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis 5 第一章第一章 概述概述 三大類型三大類型(按其推導(dǎo)方法分): (1) 直接剛度法直接剛度法(簡稱直接法簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場變量表示的單元 性質(zhì)方程。 (2) 變分法變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問 題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計(jì)算 方法。 (3) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似 解法。 6 1.2 有

3、限單元法基本步驟有限單元法基本步驟 (1) 待求解域離散化待求解域離散化 (2) 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù) (3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程形成單元性質(zhì)的矩陣方程 (4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程形成整體系統(tǒng)的矩陣方程 (5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程約束處理，求解系統(tǒng)方程 (6) 其它參數(shù)計(jì)算其它參數(shù)計(jì)算 第一章第一章 概述概述 7 圖1-2 工程問題有限單元法分析流程 第一章第一章 概述概述 8 1.3 工程實(shí)例工程實(shí)例 (a) 鏟運(yùn)機(jī)舉升工況測試 第一章第一章 概述概述 (b) 鏟運(yùn)機(jī)工作裝置插入工況有限元分析 圖1-3 WJD-1.5型電動(dòng)鏟運(yùn)機(jī) 9 第一章第一章 概述概述 (a) KOMA

4、TSU液壓挖掘機(jī) (b) 某液壓挖掘機(jī)動(dòng)臂限元分析 圖1-4 液壓挖掘機(jī) 10 圖1-5 駕駛室受側(cè)向力應(yīng)力云圖 圖1-6 接觸問題結(jié)構(gòu)件應(yīng)力云圖 第一章第一章 概述概述 11 第一章第一章 概述概述 圖1-7 液壓管路速度場分布云圖 圖1-8 磨片熱應(yīng)力云圖 圖1-9 支架自由振動(dòng)云圖 12 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí)結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí) 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 2.4 自由度計(jì)算公式自由度計(jì)算公式 13 2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性

5、結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計(jì)材料的 應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時(shí)其形狀和位置沒有發(fā) 生剛體位移時(shí)，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)， 反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可 變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何構(gòu)造分 析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 14 (a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點(diǎn) 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 15 2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí)結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí) 2.2.1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

6、 實(shí)際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況 進(jìn)行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實(shí) 際結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)計(jì)算之前，必須將其作合理的簡化，使 之成為既反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點(diǎn)，又便于計(jì)算 的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為 結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖，有時(shí)也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。 結(jié)構(gòu)計(jì)算所常用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡化形式結(jié)構(gòu)計(jì)算所常用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡化形式: （1）結(jié)點(diǎn)： 鉸結(jié)點(diǎn)； 剛結(jié)點(diǎn)； 混合結(jié)點(diǎn)。 （2）支座： 活動(dòng)鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 16 2.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征結(jié)構(gòu)的分類與基本特征 (1)按結(jié)

7、構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類 (2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個(gè)尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 17 (3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式 求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面 特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時(shí)，其內(nèi)力及支座反力 全為零。 d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部

8、分 能不依靠于其它部分， 獨(dú)立地與載荷保持平衡時(shí)，則 其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)幾何不 變部分時(shí)，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部幾何不變部分上的載 荷作等效變換時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造 改變時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 18 超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特 性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多 個(gè)，但同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個(gè)。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而 且與林料的力學(xué)性能和截

9、面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、 支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會(huì)受到多余約束的 限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持 幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個(gè)結(jié)構(gòu) 遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的 靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi) 力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 19 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 2.2.3 結(jié)構(gòu)對稱性的利用結(jié)構(gòu)對稱性的利用 對稱結(jié)

10、構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生 正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱 載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位 移為零。 (a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖 20 對稱剛架承受反對稱載荷作用 (a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 21 (a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖 (2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 22 反對稱載荷作用

11、 (b) 反對稱性狀態(tài)分析 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖 23 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 (1) 自由度自由度 指結(jié)構(gòu)在所在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以獨(dú)立改變的幾何 參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時(shí)所需的獨(dú)立參 數(shù)的數(shù)目。 (2) 約束約束 指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng) 的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復(fù)鉸； 完全鉸與不完 全鉸。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 24 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾

12、何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (1)桁架自由度計(jì)算公式桁架自由度計(jì)算公式 一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種 可能：可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運(yùn)動(dòng)， 故 結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的 約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。 2.4 自由度計(jì)算公式自由度計(jì)算公式 zgjW 2 zgjW 3 平面桁架 空間桁架 桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z， 則桁架的自由度W 為 (2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式 25 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量

13、表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例 3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 3.8ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 26 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu) 支承架、起重機(jī)起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等 可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力

14、作用 線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁單元組成。 (a) Liebherr塔式起重機(jī) (b) Liebherr履帶式起重機(jī) (c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 27 3.1.1 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實(shí)桿件聯(lián)接而成，故離散 化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分 為幾個(gè)單元 )作為一個(gè)單元，桿件與桿件相連接的交點(diǎn) 稱為結(jié)點(diǎn)。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用 點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長

15、截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。 這些結(jié)點(diǎn)都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點(diǎn)來確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置 為一個(gè)單元。 變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 28 c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn) 處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿 進(jìn)行計(jì)算。 d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折 線為一個(gè)單元。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間 增加結(jié)點(diǎn)。 e. 在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu) 有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析

16、的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 (a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 29 3.1.2 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 圖3-3 坐標(biāo)系示意圖 為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析， 尚需要建立一個(gè)對每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié) 構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 30 3.1.3 向量表示向量表示 在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相 應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；轉(zhuǎn)角位移和 力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一 致時(shí)為正。對于任意方向的

17、力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo) 軸方向的分量。 (a) 剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 31 T iiii vu T jjjj vu 結(jié)點(diǎn)位移列向量為 單元e結(jié)點(diǎn)位移列向量為 T jjjiii j ie uu 結(jié)點(diǎn)力向量為 Te iii e i MVUF Te jjj e j MVUF 單元e結(jié)點(diǎn)力列向量為 Te jjjiii e j e ie MVUMVU F F F 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 32 3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移

18、函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù)軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會(huì)采取不 同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建 的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu) 的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算 精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下 列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度 數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要 選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 33 由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系

19、數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。 0 x lx i uu j uu i u 1 l uu ij 2 jjuiiu uNNxu)( l x Niu1 l x N ju iu N ju N 1 i u0 j u0 i u1 j u 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在 位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰 單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 34 3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移

20、函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分 量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁單元平面彎曲的位移表達(dá)式可分為僅包含四個(gè) 待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ， i i j j x v 1 2 3 4 3 4 2 321 )(xxxxv 0 xi vv i x v lx j vv j x v jiji jiji i i l vv l l vv l v 23 4 2 3 2 1 12 2 13 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 35 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 11 23 12 2

21、3 1 x l x l N x l x l N x l x l xN x l x l N j jv i iv jjjjviiiiv NvNNvNxv )( e jjii juiu NNNN NN v u 00 0000 e Nf 稱為形函數(shù)矩陣。 N 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 36 3.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面 剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸 向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向 應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁單元任意截面上任意點(diǎn)至中性軸 (x軸)的距離。

22、 得出平面剛架單元應(yīng)變 x u l x 2 2 x v y b x 圖3-5 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖 2 2 x v y x u b x l xx e x B 則 x ll yx ll y l x ll yx ll y l B 232232 621261641261 平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 B e xx BEE 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 37 3.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 T * jjjiii e uu 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 e x B * * 由虛功原理有 dxdydzF x

23、v x e e T * T * e v e dxdydzBEB T T * 由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成 e eee v e kdxdydzBEBF T 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程， 簡稱為單剛。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 38 dxdydzBEBk v e T 橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個(gè)3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛 架梁單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?A dydzA 0 A ydydzS A dydzyI 2 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l

24、 EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 39 平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍?l EA l EA l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn) 位移列向量 T

25、 jjjiii j ie wuwu 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?6的 000000 000000 0000 000000 000000 0000 l EA l EA l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 40 空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移分量，其單元 結(jié)點(diǎn)位移列向量 T jzjyjxjjjiziyixiii j ie wvuwvu 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?212的。 (a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移 圖3-6 平面桁架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的

26、物理意義 (a) 梁單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁單元j端產(chǎn)生單位位移 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 41 (c) 梁單元i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元j端產(chǎn)生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì)單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的幾何特征和材料性質(zhì) 有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、 單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃?對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根 據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異陣。 d. 單元

27、剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有 確定的物理意義。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 42 3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.3.1 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成 T jjjiii e j e i e vuvu T jjjiii j i e MYXMYX F F F (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖 sincos iii vuu cossin iii vuv ii 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 43 i i

28、i i i i v u v u 100 0cossin 0sincos 對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有 j j j i i i j j j i i i v u v u v u v u 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 可簡寫為 e e T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 44 同理 e e FTF 式中 平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 T 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000si

29、ncos T 3.3.2 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?eee e e e e kTkTTkTF T1 式中 整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?e k TTkTk e e 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。 ek e k 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 45 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。 圖3-9 載荷向量示意圖 如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)，其結(jié)

30、點(diǎn)載荷列向量分別為 T 111. 1 MPPP yx T 2212. 2 MPPP yx T 3331. 3 MPPP yx T 444. 4 MPPP yx 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 46 結(jié)構(gòu)載荷列向量 T 4321 PPPPP T 44433322211 1 MPPMPPMpPMPPP yxyxyxyx 結(jié)點(diǎn)位移列向量 T 4321 T 444333222111 vuvuvuvu 對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)1 對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)2 對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)3 對于結(jié)點(diǎn)對于結(jié)點(diǎn)4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M P P M Y X y x 1 1 1 PF

31、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 M P P M Y X M Y X y x 2 2 2 1 2 PFF 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 M P P M Y X M Y X y x 3 3 3 2 3 PFF 4 4 4 3 4 3 4 3 4 M P P M Y X y x 4 3 4 PF 建立 結(jié)點(diǎn) 平衡 條件 方程 式如 右表。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 47 用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。 對于單元對于單元1有有

32、簡寫為簡寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度 矩陣矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 2 1 1 22 1 21 1 12 1 11 1 2 1 1 kk kk F F 111 kF 1 22 1 21 1 12 1 11 1 kk kk k 2 1 221 1 21 1 2 2 1 121 1 11 1 1 kkF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 48 對于單元對于單元2有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元2的剛度矩陣的剛度矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 3 2 2 33 2 32 2 23 2 22 2 3 2 2 kk kk F F 222 k

33、F 2 33 2 32 2 23 2 22 2 kk kk k 3 2 332 2 32 2 3 2 2 232 2 22 2 2 kkF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 49 對于單元對于單元3有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元3的剛度矩的剛度矩 陣陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 4 3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 4 3 3 kk kk F F 333 kF 3 44 3 43 3 34 3 33 3 kk kk k 4 3 443 3 43 3 4 4 3 343 3 33 3 3 kkF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力

34、分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 50 單元?jiǎng)偠染仃囉?2的子矩陣組成， 每個(gè)子矩陣 是33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號(hào)，下角標(biāo)表示 單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式代入結(jié)點(diǎn)的平衡條件 方程式中，經(jīng)整理得： e ij k 4 3 2 1 4 3 2 1 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 P P P P kk kkkk kkkk kk 簡寫為 PK 稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23

35、 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kk K 為整體剛度矩 陣。 K 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 51 3.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié) 點(diǎn)編號(hào)的順序組成的行和列的原則，將全部單元?jiǎng)偠?矩陣擴(kuò)展成nn方陣后對號(hào)入座疊加得到。 對于單元1 0000 0000 00 00 1 22 1 21 1 12 1 11 1kk kk K 對于單元2 0000 00 00 0000 2 33 2 32 2 23 2 22 2 kk kk K 對

36、于單元3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 00 000 0000 0000 kk kk K 單元?jiǎng)偠染仃嚰傻贸稣w剛度矩陣 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 321 00 0 0 00 4 3 2 1 4321 kk kkkk kkkk kk KKKK 結(jié)點(diǎn)編號(hào) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 52 3.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱 為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元

37、的主子塊擴(kuò) 展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為 零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、 l、E等因素有關(guān)。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄?體剛度矩陣時(shí)沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。 K ii K ij K K e iiii kK K ij K e ijij kK K ij K 0 ij K K K jiij KK K 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 53 g. 為稀疏矩陣，整

38、體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū) 域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，非零元素分布在以對角線為 中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。 在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè) 數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由 度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號(hào)差越大半帶寬也就越大。計(jì)算機(jī)以 半帶寬方式存儲(chǔ)，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的 存儲(chǔ)量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn) 算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲(chǔ)方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求 逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而

39、 求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。 (a) 帶狀分 布規(guī)律 (b) 帶狀存儲(chǔ) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 54 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考 慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成 一個(gè)自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整 體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄?第 2 章的原則，結(jié)合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即 對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 PK PK PK 3.5.2 約束處理方法約束處理方法 約束

40、處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用 這兩種方法不會(huì)破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性 及帶狀分布等特性。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 55 下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進(jìn)行約 束處理。對于下圖所示剛架結(jié)構(gòu) 設(shè)結(jié)點(diǎn)位移列向量為 設(shè)結(jié)點(diǎn)載荷列向量為 T 9321 T 321 uuuu T 9321 T 321 ppppPPPP (a) 固定支座 (b) 支座強(qiáng)迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 56 其原始平衡方程式為 3 2 1 3 2 1 2 33 2 32 2

41、23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 0 0 P P P kk kkkk kk 按照每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量將上式展開為 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 p p p p p p p p p u u u u

42、u u u u u kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 57 對于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全 部為零，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給 定的強(qiáng)迫值，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用乘大數(shù)法比較 適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點(diǎn)1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置 換成

43、1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時(shí)，所 在同一行上的載荷分量替換成0，則有 0 987321 uuuuuu 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 58 1 2 3 44454644 54555655 64656666 7 8 929 1000000000 0100000000 0010000000 000000 0000000 000000 0000001000 0000000100 000000010 u u u kkkup kkkup kkkup u u ku 6 5 4 6 5 4 666564 565554 464544 p p p u u

44、u kkk kkk kkk 則 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩 陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所 在行的位移和載荷向量。 59 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點(diǎn)1為固定支座，結(jié)點(diǎn)3處在方 向的約束為已知強(qiáng)迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部 乘以一個(gè)大數(shù)N，一般取 。同時(shí)，將相 應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系 數(shù)和給定的強(qiáng)迫位移（包括零位移）。 22 2 22 1 22 Pkk 0 97321 uuuuu 088 uu 1015

45、1010N 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 60 111213141516171819 212223242526262728 313233343536373839 414243444546474849 515253545556575859 616263646566676869 717273747576777879 8182 kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk k N N k N N k 1 2 3 44 55 66 7 8 83848586878889

46、 9 91929394959697989 88 8 9 0 0 0 0 0 u u u up up up u uNkkkkkkk ukkkkkkkk N Nk 0 92 1111 jju kukN得到 由于N 足夠大，可以近似認(rèn)為 0 92 1 jju k,則得出 0 1 u 同時(shí)得到0 9732 uuuu 088 uu 求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場 。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 61 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用有限單元法計(jì)算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo) 過程與計(jì)算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再

47、重復(fù)。但應(yīng)注 意到，由于空間的每一結(jié)點(diǎn)一般具有六個(gè)自由度，故計(jì) 算較之復(fù)雜些。 3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例 設(shè)兩桿的桿長和截面尺寸相同， 27 kN/m101 . 2 E 桿件長 m。 10l 圖3-12 剛架受力簡圖 62 (1)結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)結(jié)點(diǎn)、3個(gè)單元 2 m5 . 0A 4 3 m 24 1 12 15 . 0 I截面積 ，慣性矩 (2) 求結(jié)點(diǎn)載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力 e F0 (a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖 圖3-13內(nèi)力示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 63

48、單元1 mKN80 12 106 . 9 12 kN48 2 106 . 9 2 22 1 2 1 01 1 02 1 01 gl MM gl VV o 單元2 mKN200 8 10160 8 1 KN80 2 160 2 01 1 03 1 03 1 02 Pl MM P VV 在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量 單元1 80 48 0 80 48 0 1 0 F 單元2 200 80 0 200 80 0 2 0 F 單元3 0 0 0 0 0 0 3 0 F 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 64 為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列

49、向量，先求單 元得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 T 單元1、2 0 0 I 100000 010000 001000 000100 000010 000001 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 1 T 單元3 0 90 100000 001000 010000 000100 000001 000010 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 3 T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 65 求各單元在整體坐標(biāo)下的求各單

50、元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點(diǎn)載荷等效結(jié)點(diǎn)載荷 e P 0 1 02 01 1 0 1 0 1 1 0 80 48 0 80 48 0 P P FFTP T 2 03 02 2 0 2 0 2 2 0 200 80 0 200 80 0 P P FFTP T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 66 3 02 04 3 0 3T 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100000 001000 010000 000100 000001 000010 P P FTP T 求剛架的等效結(jié)點(diǎn)載荷 0 P 3 0 2 0 1 00 PPPP 0 0 0

51、200 80 0 120 128 0 80 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 80 0 200 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 48 0 80 48 0 0 P 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 67 因?yàn)闊o結(jié)點(diǎn)載荷作用，總結(jié)點(diǎn)載荷即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。 T 0 000200800120128080480 PP (3) 求單元?jiǎng)偠染仃?由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 3 21 kkk 梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式 l EI l EI

52、 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k e 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 68 2 321 10 3500525017505250 52510505251050 00105000010500 1750525035005250 52510505251050 00105000

53、010500 kkk 則 （4）求整體坐標(biāo)系中的 e k 單元1 11 11 11T 1 2221 1211 kk kk kIkIk 單元2 22 22 22 2 3332 2322 kk kk kkk 單元3 3 3T3 3 TkTk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 69 33 3 43 3 2 3 2224 44 10 3500052517500525 01050000105000 52501055250105 1750052535000525 01050000105000 52501055250105 kk kk k （5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 K

54、利用剛度集成法利用剛度集成法 3 44 3 42 22 3 24 23211 11 00 00 00 2332 2322222221 1211 kk kk kkkkkk kk K （6）建立原始平衡方程式 4 3 2 1 4 3 2 1 3 44 3 42 22 3 24 23211 11 00 00 00 2332 2322222221 1211 P P P P kk kk kkkkkk kk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 70 （7）引入約束條件解方程組 由于1、3、4為固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列 向量中的相應(yīng)的

55、行，既約束處理。 0 444333111 vuvuvu 建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22 22 22 22 Pkkk 即 6 2 2 2 10 428.114 5145.119 8465. 2 v u 得到 （8）求各桿的桿端力 e F 單元3結(jié)點(diǎn)位移列向量 3 33 6 6 6 6 01000000 10000000 00100000 10 0000102.8465 10119.5145 000100119.5145 102.8465 000001114.428 10114.428 T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 71 單元1桿端內(nèi)力計(jì)算 1

56、 0 111 FkF 7753.113 7526.52 9888. 2 2496.66 2474.43 9888. 2 單元2桿端內(nèi)力計(jì)算 2 0 222 FkF 2994.226 2624.87 9888. 2 6757.153 7376.72 9888. 2 單元3桿端力計(jì)算 3 0 333 FkF 9004.39 9776. 5 4902.125 8755.19 9776. 5 4902.125 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 72 （9）作內(nèi)力圖 （a） 剛架軸力圖（b） 剛架剪力圖 （c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖 第三章第三章 桿

57、系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 73 3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 101 L=1m; 910 L=1m; 材料為Q235; （1）選擇單元類型選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete 在結(jié)點(diǎn)8上施加豎直向下的集中載荷F 60000N， 約束為結(jié)點(diǎn)1處約束X,Y方向自 由度，結(jié)點(diǎn)5處約束Y方向自由度。 圖3-15 桁架結(jié)構(gòu)示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 圖3-17 單元類型對話框 74 圖3-18 單元類型庫對話框

58、 （2）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models 圖3-19選擇材料屬性對話框 圖3-20設(shè)置材料1屬性對話 （3）設(shè)置單元截面形式設(shè)置單元截面形式 選擇菜單PreprocessorSections BeamCommon Sections 圖3-21梁截面設(shè)置對話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 75 （4）定義實(shí)常數(shù)定義實(shí)常數(shù) 運(yùn)行Real ConstantsAdd/Edit/Delete 圖3-22 設(shè)置LINK1單元的實(shí)常數(shù) （5）建立模型建立模型 首先生成結(jié)點(diǎn)，運(yùn)行主 菜單

59、PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成單元，運(yùn)行主菜 單 PreprocessorModeling CreateElementsAuto Num beredThru Nodes穿越結(jié)點(diǎn) 命令。 圖3-23 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)對話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 76 圖3-24通過結(jié)點(diǎn)建立單元 圖3-25 桁架的有限元模型 （6）施加約束施加約束 運(yùn)行主菜單Solution Define Loads Apply StructuralDisplacement On Nodes 圖3-26 結(jié)點(diǎn)施加約束

60、對話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 77 （7）施加載荷施加載荷 運(yùn)行主菜單SolutionDef ine LoadsApplyStructural Force/MomentOn Nodes。 圖3-27 結(jié)點(diǎn)施加載荷對話框 （8）求解求解 運(yùn)行主菜單 Solution SolveCurrent LS，分析當(dāng)前 的負(fù)載步驟命令， 彈出如圖3 -28所示對話框，單擊OK，開 始運(yùn)行分析。分析完畢后， 在信息窗口中提示計(jì)算完成， 單 擊 C l o s e 將 其 關(guān) 閉 。 （9）后處理后處理 運(yùn)行主菜單 Ge ne r a l PostprocPlo