平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)二a 2-b2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化， x y -y x =x2-y2 符號(hào)變化，-x y ” x - y = -X ：； -y = x - y 指數(shù)變化，x2 y2 x2-y2 *-y4二x -y 系數(shù)變化，2a b 2a-b =4a2-b2 換式變化，x* z mlixy- z m2 2=xy - z m2 2=x y - z m z m2 2 2 2=x y - z zm zm m2 2 2 2=x y -z -2zmm 增項(xiàng)變化，x-y z x-y-z2 2=x-y -z工j2=x-y x-y -z2 2 2=x

2、 -xy-xy y -z2 2 2=x -2xy y -z22 連用公式變化，x y x-y x y2 2 2 2-x -y x y 逆用公式變化，（x_y+z-（x+y_z）2-I x-y z x y-z |丨 x-y z - x y-z =2x -2y 2z一4xy 4xz完全平方公式活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公 式為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：2221. a b -2ab =a b2222. a - b 2ab 二 a b3. (a +b)2 +(a _b$ =2(a2 +b2 )2 24. a b j a - b 4ab靈活運(yùn)用這些

3、公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例1.已知a b=2 , ab=1，求a2 b2的值。例 2.已知 a b=8 , ab = 2，求(a-b)2 的值。解：T (a b)2 二 a2 2ab b2(a -b)2 = a2 -2ab b2二(a b)2 _ (a _b)2 = 4ab/. (a b)2 _ 4ab = (a _ b)2T a b=8, ab=2二(a-b)2 = 82 - 4 2 =56例3已知a b = 4, ab =5，求a2 b2的值。解: a2 +b2 =(a bf +2ab = 42 十2 匯 5 = 26三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題(一)

4、 、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計(jì)算(-2 X2-5)(2 X2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2X2”符號(hào)相反，因而“-5 是公式(a+b)( a-b)二a2-b2中的a,而“ 2x2”則是公式中的b.例 2 計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a,“ 4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4 b- a2)2時(shí)，則“4b”是公 式中的a，而“ a2”就是公式中的b.(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算(2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5).分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察

5、，兩個(gè)因式中的“2x”、 “5”兩項(xiàng)同號(hào)，“ y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式.例 5 計(jì)算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1).分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)(2-1 )，則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).(三) 、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2二a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積 的2倍.例 6 計(jì)算(2 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2

6、 2x(-3)+2 y(-3)2 2=4x +y +9+4xy-12 x-6 y.(四) 、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式 例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.例 10 計(jì)算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便.四、怎樣熟練運(yùn)用公式：熟悉常見(jiàn)的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì) 算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn).常見(jiàn)的幾種變化是：1、 位置變化 女口（ 3x+5y） （5y 3x）交換3

7、x和5y的位置后即 可用平方差公式計(jì)算了.2、 符號(hào)變化 女如 （ 2m 7n） （2m 7n）變?yōu)橐唬?m+7n） （2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98X 102, 992, 912等分別變?yōu)椋?002） （100+2, （100-1） 2, （90+1） 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、 系數(shù)變化 女口（） （2m丄）變?yōu)? （2m+丄）（2n 2 ）2444后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?使計(jì)算更簡(jiǎn)便.如計(jì)算（a2+1） 2（a2 1） 2,若分別展

8、開(kāi)后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便.即原式=（a2+1） （a2 1） 2= （a4 1） 2=a8 2a4+1.對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意 逆向（從右到左）運(yùn)用.如計(jì)算（1 ）（1 ） （1 ；）（ 1234;2） （1 /），若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計(jì)算繁難， 910而且容易出錯(cuò).若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題.即原式二（1 丄）（1+1） （1 丄）（1+丄）XX（ 1 丄）（1+亠）22331010二1 X 色 X 2 X 4 XX 2 X 11 二丄 X 11 =衛(wèi).2 2

9、 3 310 10 2 10 20有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= （a+b） 2 2ab，a2+b2= （a b） 2+2ab用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mrr 18,求 吊+n2, mi mr+ n2的值.面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，即 m+n2二(m+n) 22mr=72 2x( 18) =49+36=85, m mr+ n2= (m+n) 2 3mn=72 3x( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+1 =5,求(1) a2+ 12 , (2) (a 1 ) 2

10、的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6)五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次2 2 2 2乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a 士 b)=a 士 2ab + b ,(a 士 b)(a 2 士 ab+ b2)=a3 士 b3.第一層次一一正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用.例1計(jì)算(2x y)(2x y).第二層次一一逆用，即將這些公式反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算卜貝卜耳卜井卜卻卜忌第三層次一一活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特

11、征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式.例 3 化簡(jiǎn)：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8 + 1) + 1.分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增 添一個(gè)因式“ 2- 1 ”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問(wèn)題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1224816=(2 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) +仁2 .第四層次一一變用：解某些問(wèn)題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a2+ b2=(a + b)2 2ab, a3 + b3=(a + b

12、)3 3ab(a + b)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快.2 2例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a + 2b 的值.解：va + b=9, ab=14,. 2a2 + 2b2=2(a + b)2 2ab=2(9 22 14)=106 ,第五層次綜合后用：將(a + b) 2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a22ab + b 綜合，可得(a + b)2+ (a b)2=2(a2 + b2); (a + b)2 (a b) 2=4ab;LT丿等，合理地利用這些公式處理某些問(wèn)題顯得新穎、簡(jiǎn)捷.例 6 計(jì)算：(2x + y z + 5)(2x y + z + 5).解：原式1=-

13、(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)42- - (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)42 2 2 2 2=(2x + 5) (y z) =4x + 20x + 25 y + 2yz z乘法公式的使用技巧： 提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來(lái)的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：2(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (-a-4b )(- -b - 3 )；2(2) (x-1/2)(x+1/4)(x+1/2) 逆用公

14、式將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算:(1)(x/2+5)合理分組：2-(x/2-5) 2;(2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 2對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面, 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：(1)(x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：8x +丄仏乂一丄I2八4丿簡(jiǎn)析：通過(guò)觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的 x的系數(shù)成 倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多 項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來(lái)，變?yōu)?；x + *)，則可利用乘法公式。三.先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算：2x 3y 2 2x-3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒(méi)多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著 手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)