自動(dòng)控制原理3.1 一階系統(tǒng)時(shí)域分析

1、引言引言 在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，可以在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，可以采用各種方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析或設(shè)計(jì)。采用各種方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析或設(shè)計(jì)。 由于多數(shù)控制系統(tǒng)是以時(shí)間作為獨(dú)立由于多數(shù)控制系統(tǒng)是以時(shí)間作為獨(dú)立變量，所以人們往往關(guān)心輸出對(duì)時(shí)間的變量，所以人們往往關(guān)心輸出對(duì)時(shí)間的響應(yīng)。對(duì)系統(tǒng)施加一輸入信號(hào)，通過研響應(yīng)。對(duì)系統(tǒng)施加一輸入信號(hào)，通過研究系統(tǒng)輸出的時(shí)間響應(yīng)來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性究系統(tǒng)輸出的時(shí)間響應(yīng)來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能，這就是控制系統(tǒng)的時(shí)域分析。時(shí)域能，這就是控制系統(tǒng)的時(shí)域分析。時(shí)域分析法的特點(diǎn)是準(zhǔn)確、直觀。分析法的特點(diǎn)是準(zhǔn)確、直觀。 3-1 系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)3-2 一階系

2、統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-6 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算3-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1 1、選取原則、選取原則（1 1）在現(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)中容易獲取；）在現(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)中容易獲?。唬? 2）控制系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的性能代表在實(shí)際）控制系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的性能代表在實(shí)際工作條件下的性能。工作條件下的性能。（3 3）數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于理論分析。）數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，便于理論分析。 一、典型外作用（典型輸入信號(hào)）一、典型外作用（典型輸入信號(hào)） 表示在表示在t=0時(shí)刻出現(xiàn)了幅值

3、為時(shí)刻出現(xiàn)了幅值為R的跳變，是最不利的外的跳變，是最不利的外作用。作用。R=1時(shí)的階躍函數(shù)叫單位階躍函數(shù)，常用時(shí)的階躍函數(shù)叫單位階躍函數(shù)，常用1(t)表表示。示。常用階躍函數(shù)作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的典型外作常用階躍函數(shù)作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的典型外作用。用。所以階躍函數(shù)在自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析中起著特別所以階躍函數(shù)在自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析中起著特別重要的作用。重要的作用。2 2、典型輸入信號(hào)、典型輸入信號(hào)（1 1）階躍函數(shù)）階躍函數(shù)0, 00,)(ttRtrr (t)tR11(t)=Ls0, 00,)(ttRttr (2)斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) （也叫速度函數(shù)）（也叫速度函數(shù)） tr (t)0當(dāng)當(dāng)R1時(shí)時(shí), 稱

4、稱r(t)=t為單位斜坡函數(shù)。因?yàn)闉閱挝恍逼潞瘮?shù)。因?yàn)閐r(t)/dt=R, 所以斜坡所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號(hào)。函數(shù)代表勻速變化的信號(hào)。 21t=Ls0, 00,21)(2ttRttr(3)(3)加速度函數(shù)加速度函數(shù)式中，式中，R為常數(shù)。當(dāng)為常數(shù)。當(dāng)R1時(shí)時(shí), 稱稱r(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。因?yàn)閱挝患铀俣群瘮?shù)。因?yàn)闉閐2r(t)/dt2=R, 所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號(hào)。所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號(hào)。 tr (t)0231=2tLs(4)(4)脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，只是數(shù)學(xué)上的定義脈沖函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，只是數(shù)學(xué)上的定義0( )00Ath

5、r thtth 或tr (t)0Ahh(t)式中式中,h稱為脈沖寬度稱為脈沖寬度, 脈沖的面積為脈沖的面積為A。若若h0,A=1, 則有則有 000)()(tttrt稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù)稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù), 又稱又稱函數(shù)函數(shù)。t0 (t)=1L(5)(5)正弦函數(shù)正弦函數(shù)tr (t)0A)sin()(tAtr式中式中, A為振幅為振幅, 為角頻率。為角頻率。 22sin()Lts二、動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程二、動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程2 2、動(dòng)態(tài)過程、動(dòng)態(tài)過程（過渡過程或瞬態(tài)過程）：系統(tǒng)在典（過渡過程或瞬態(tài)過程）：系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)型信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀

6、態(tài)的過程。動(dòng)態(tài)過程包含了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、的過程。動(dòng)態(tài)過程包含了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、平穩(wěn)性等信息。平穩(wěn)性等信息。1 1、典型信號(hào)作用下的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)、典型信號(hào)作用下的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，由，由動(dòng)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程和和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成兩部分組成3 3、穩(wěn)態(tài)過程：、穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨趨向無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程包含向無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程包含系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差等信息。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差等信息。 與此對(duì)應(yīng)，性能指標(biāo)分為與此對(duì)應(yīng)，性能指標(biāo)分為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。指標(biāo)。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是在動(dòng)態(tài)性

7、能指標(biāo)是在單位階躍信號(hào)作用下定義單位階躍信號(hào)作用下定義的。的。1 1、延遲時(shí)間、延遲時(shí)間t td d：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需要的時(shí)間。需要的時(shí)間。2 2、上升時(shí)間、上升時(shí)間t tr r：對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，定義為響應(yīng)從零：對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需要的時(shí)間。對(duì)于非周期過程，指第一次上升到終值所需要的時(shí)間。對(duì)于非周期過程，指響應(yīng)曲線從終值響應(yīng)曲線從終值10%10%上升到終值上升到終值90%90%所需要的時(shí)間；上升所需要的時(shí)間；上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。h(t)t上升時(shí)間上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間

8、調(diào)節(jié)時(shí)間 ts3 3、峰值時(shí)間、峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)超過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所：指響應(yīng)超過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。需要的時(shí)間。4 4、調(diào)節(jié)時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)達(dá)到并保持在：指響應(yīng)達(dá)到并保持在=5%5%c c( () )（或或2%2%c() ）內(nèi)所需要的時(shí)間。）內(nèi)所需要的時(shí)間。5 5、超調(diào)量、超調(diào)量%：指響應(yīng)的最大偏離量c(tp)與終值c()之差的百分比，即： ( )( )%100%( )pc tcc 以上各性能指標(biāo)中，上升時(shí)間以上各性能指標(biāo)中，上升時(shí)間tr和峰值時(shí)和峰值時(shí)間間tp描述系統(tǒng)起始段的快慢；超調(diào)量描述系統(tǒng)起始段的快慢；超調(diào)量%反映系統(tǒng)過渡過程的平穩(wěn)性；調(diào)節(jié)時(shí)間反映系統(tǒng)過渡

9、過程的平穩(wěn)性；調(diào)節(jié)時(shí)間ts表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時(shí)間，總體上表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時(shí)間，總體上反映系統(tǒng)的快速性。反映系統(tǒng)的快速性。6 6、穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤擾動(dòng)能力的一種度量。對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差差e essss定義為：定義為：)()(limsstctret穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess反映系統(tǒng)輸

10、出復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。反映系統(tǒng)輸出復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的最終精度。例題：例題：加入給定值階躍量為加入給定值階躍量為2.4，響應(yīng)曲線，響應(yīng)曲線如圖所示，求超調(diào)量。如圖所示，求超調(diào)量。( )( )%100%( )pc tcc2.72.5%100%8%2.5一、一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型11)()()()()()(TssRsCstrtcdttdcT微分方程：微分方程：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：Ts1R(s)E(s)C(s)(a)(b)11TsR(s)C(s)標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式二、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)二、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)1( )1( ), ( )r tt R ss1111( )( ) ( )

11、11(1)()TC ss R ss Tsss ssTT 1001tTc tecc ( ) ( ), ( )11( ) (0)tTc tecTTt0T2T3T4T5Tc(t)00.632 0.8650.9500.9820.99311001tTc tecc ( ) ( ), ( ) c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為初始斜率為1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線11( ) (0)tTc tecTT性能指標(biāo)：性能指標(biāo)：（1）延遲時(shí)間：）延遲時(shí)間：td=0.69T（2） 上升時(shí)間：上升時(shí)間：tr=2.20T（3）調(diào)節(jié)時(shí)間：）調(diào)節(jié)時(shí)

12、間：ts=3T (=0.05)（4）穩(wěn)態(tài)誤差）穩(wěn)態(tài)誤差ess:10 5dtTdc te ( ).12122110 110 9tTtTrc tec tettt ( ).( ).10 95stTsc te ( ).時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T反映系統(tǒng)的快速性反映系統(tǒng)的快速性1 10sserc ( )( ) 解解: : (1) 與標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比得：與標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s 例例3.1 某一階系統(tǒng)如圖某一階系統(tǒng)如圖, ,(1) 當(dāng)當(dāng)Kh=0.1時(shí)時(shí)求調(diào)節(jié)時(shí)間求調(diào)節(jié)時(shí)間ts, (2) 若要求若要求ts=0.1s, ,10/110101001 . 0)/100(1/100)()(1

13、)()(sssssHsGsGs (2) 要求要求ts=0.1s，即即3T=0.1s, 即即 , ,得得 hhhKsKsKss100/1/1/1001/100)( 31 . 01001 hK3 . 0 hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -)求反饋系數(shù)求反饋系數(shù) Kh . 解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式?；]環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。Kh二、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)二、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)1)()()(sRttrTsTTssRssC/1/111)()()()0(1)(1 teTtctTt0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率初始斜率為為0.368/T0.05/T0

14、t/TeTtc 1)(T1c(t)單位脈沖響應(yīng)曲線單位脈沖響應(yīng)曲線21T 21( )( )r ttR ss2211( )( ) ( )1(1)TTC ss R ss TssssT TtTeTtsCLtc/1)()(三、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)三、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng))1 ()()()(1tTeTtctrteTteetss)(lim一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)入信號(hào), ,但存在穩(wěn)態(tài)誤但存在穩(wěn)態(tài)誤差差。221)(ttr 31( )R ss 2233232111( )( ) ( )()111ABCDTTTC ss R sTssssssssssTT)0()1 (21)(122teTTtttctT)1 ()()()(12tTeTTttctrte上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無限大。上式表明，跟蹤誤差隨時(shí)間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度輸入函數(shù)的跟蹤。四、一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)四、一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)表3-1一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)輸入信號(hào)時(shí)域輸入信號(hào)頻域輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)11(t)t0tTeTtTt0)1 (2122teTTttTt01teT