廣東省2022屆高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考 數(shù)學(xué) (含答案)

1、廣東省2022屆高三開學(xué)聯(lián)考數(shù) 學(xué)本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1. 答題卡前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4. 考生必須保持答題卡的整潔.一、選擇題：本題共8小題，每小題

2、5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 2. 已知，則（ ）A. B. C. D. 3. 函數(shù)具有性質(zhì)（ ）A. 最大值為2，圖象關(guān)于對稱B. 最大值為，圖象關(guān)于對稱C. 最大值為2，圖象關(guān)于直線對稱D. 最大值為，圖象關(guān)于直線對稱4. 一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為的正方形，則這個圓柱的體積為（ ）A. B. C. D. 5. 已知，則（ ）A. B. C. D. 6. 已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在橢圓上，則的最小值為（ ）A. 12B. 10C. 9D. 87. 2020年新冠肺炎肆虐，全國各地千千萬萬的

3、醫(yī)護者成為“最美逆行者”，醫(yī)藥科研工作者積極研制有效抗疫藥物，中醫(yī)藥通過臨床篩選出的有效方劑“三藥三方”（“三藥”是指金花清感顆粒、連花清瘟顆粒（膠囊）和血必凈注射液；“三方”是指清肺排毒湯、化濕敗毒方和宜肺敗毒方）發(fā)揮了重要的作用.甲因個人原因不能選用血必凈注射液，甲、乙兩名患者各自獨立自主的選擇一藥一方進行治療，則兩人選取藥方完全不同的概率是（ ）A. B. C. D. 8. 已知點在圓：上，橢圓：的右焦點為，點在橢圓上，且圓上的所有點均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長軸長恰與圓的直徑長相等，過點作圓的切線，則切線斜率為（ ）A. B. C. D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，

4、共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 如圖是2021年青年歌手大獎賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中、均為數(shù)字09中的一個），在去掉一個最高分和一個最低分后，則有（ ）A. 甲選手得分的平均數(shù)一定大于乙選手得分的平均數(shù)B. 甲選手得分的中位數(shù)一定大于乙選手得分的中位數(shù)C. 甲選手得分的眾數(shù)與的值無關(guān)D. 甲選手得分的方差與的值無關(guān)10. 已知向量，則下列命題正確的是（ ）A. 存在，使得B. 當(dāng)時，與垂直C. 對任意，都有D. 當(dāng)時，在方向上的投影為11. 如圖，點是正方體中的側(cè)面內(nèi)（包括邊界）的一個動

5、點，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 滿足的點的軌跡是一條線段B. 在線段上存在點，使異面直線與所成的角是C. 若正方體的棱長為1，三棱錐的體積最大值為D. 點存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等12. 已知函數(shù)，則（ ）A. 對任意的，函數(shù)都有零點.B. 當(dāng)時，對，都有成立.C. 當(dāng)時，方程有4個不同的實數(shù)根.D. 當(dāng)時，方程有2個不同的實數(shù)根.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知雙曲線：的一條漸近線為，則雙曲線的實軸長為_.14. 已知二項式的展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中的有理項系數(shù)和為_.15. 函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則非零實數(shù)的值為_.16

6、. 設(shè)正整數(shù)，其中，記.若且，則這樣的正整數(shù)有_個，所有的這樣的正整數(shù)的和為_.（用數(shù)字作答）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若為數(shù)列的前項積，證明.18. 黨中央，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對其取樣、檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結(jié)果呈陽性.若混合樣

7、本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個樣本逐個化驗；方案二：6個樣本混合在一起化驗；方案三：6個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進行化驗，當(dāng)方案三比方案二更“優(yōu)”時，求的取值范圍.19. 如圖所示，在四邊形中，且，.（1）若，求的長；（2）求四邊形面積的最大值.20. 在四棱錐中，平面，點，在線段上，滿足，.（1）求證：；（2）若為

8、線段上的一點，且平面，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21. 已知拋物線：的焦點為，為拋物線上的一點，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與拋物線交于，兩點，點在拋物線上，記直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否存在點，使得？若存在，求出點的個數(shù)；若不存在，請說明理由.22. 已知函數(shù).（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)有兩個不同零點，.（i）證明：；（ii）若，證明：.數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分. 其中第1題第10題為單項選擇題，在給出的四個選項中，只有一項符合要求；第11題和第12題為多項選擇題，在給出的四個選項中，有多項符合要求

9、，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）題號123456789101112答案BDCDACABABDBDACDAC二、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）13 14 15 16 ， 三、解答題（本大題6小題，共70分）17（1）可設(shè)等比數(shù)列的公比為， 2分解得：或（舍去）. 4分所以. 5分(2) 6分當(dāng)時，7分/得，8分當(dāng)時，也成立.9分10分18(1)用表示例疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)，則隨機變量1分由題意可知：.3分答：例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率為.4分(2)方案二：混合一起檢驗，記檢驗次數(shù)為，則.5分7分方案三：每組的三個樣本混合在一起化驗，記檢驗次數(shù)為，

10、則.8分10分12分的取值范圍.19（）， ， 2分在中， ， ， ，由余弦定理可得， ，4分在中， ， ， ，由余弦定理可得，即， 5分化簡得，解得故的長為 6分（2） 設(shè)四邊形面積為，則， 7分所以， 8分在中， ， ，由余弦定理可得：，9分即， 10分,當(dāng)且僅當(dāng)時，11分所以，12分20（1）證明：，1分,四邊形為矩形2分3分4分（第一問直接用向量法，也相應(yīng)給分）(2) 連接交于點，連接.6分如圖建立空間指角坐標(biāo)系，則8分由（1）知，則為平面的一個法向量.9分設(shè)平面的一個法向量為，則，取11分設(shè)平面與平面所成銳二面角為12分平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21（1）根據(jù)題意拋物線C的方程為，則，2分，解得，3分，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4分（2）由題意知，直線的斜率不為，可設(shè)直線的方程為，5分聯(lián)立方程得，消去并化簡得，6分設(shè)，則.7分因為兩點在拋物線C上，所以，所以，同理可得，8分，則，9分所以，即10分因為，所以