向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用精品精編資料

1、向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用基本知識：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3. 實數(shù)與向量的積 入a .向量共線的充要條件：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù) 入，使得b=xa。F-f*-*F-*f4. 向量a和b的數(shù)量積：a b =| a|b|cos,其中為a和b的夾角。向量b在a上的投影：|b|cos,其中為a和b的夾角a 丄 b a b =05. 向量的坐標表示：0A = xi y j = x, y ；，則 |a 1= . X2 y2 ；若 pi(Xi,yi)、P2( X2,y2)，貝V

2、RK=(X2 xi,y26.向量的坐標運算及重要結(jié)論:lpip2 1= ._(X2 -xi)2 (y2 - yi)27點P分有向線段RP2所成的比的RP = XPP2，或九=RPPP2fa - b hxi - X2, yi - y2a - b =:Xi - X2, yi - y/. a 1 Xi，/.yi ia* = xi x2 yiy*ab 二 xi yx2 yi =0fc-a _ b 二Xi X2 + yi y2 =0cos=xiX2y“2（為向量的夾角）若 a = ( xi, yi) , b =(.xi2 - yi ,xl - yP內(nèi)分線段rp2時，乙0; P外分線段RP2時，丸C0.8

3、.定比分點坐標公式:x =i +卜（丸H i ），中點坐標公式:x-ix2X =I 2yiy2y =I. 29.三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例 2）:三角形重心公式：（Xi X2 X3,yi y2 y3）3310.圖形平移：設(shè)F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照同一方向移動同樣長度（即按向量a平移），得到圖形F,我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式:x = x hy= y kx = xh y = yk平移向量a = PP= （h， k）應(yīng)用：1. 禾U用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例i已知向量OP1,OP2,OP3滿足條件OP1+OP2 +O百=0, 6

4、百=OP2 = OR =i，求證：A RF2F3是正三角形解：令 O 為坐標原點，可設(shè) R cosi,si nt , F2 cost, si nE , F3 cosS由 OR OF2 - -OF3，即 cost,si n 冇 j 亠cosv2,si n v2 - -cossi n % cosd +COS日 2 = _cos3 si nq +s in % = -si nT3 1兩式平方和為1 - 2cos 6 - v2 1 =1 , cos哥-v2，由此可知 円-v2的最小正角2為1200，即OR與OP2的夾角為1200，同理可得OR與OF3的夾角為1200, OR 2與OF3的夾角為1200，

5、這說明R,F2,F3三點均勻分部在一個單位圓上，所以 ARER為等腰三角形例2求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標系，設(shè)A 2a,0 , B 0,2a，則D a,0 ,C 0,a ,從而可求：AC = -2a,a,BD= a,2a ,cosAC BDaC bD-2a, a i i a, -2a5a 一 5a-4a24=5a25(4、=arccosI 5丿2ADU+Sb)22. 禾U用向量的坐標運算，解決有關(guān)線段的長度問題例3已知 ABC , AD為中線，求證 AD2工丄AB2 AC i BC2I 2丿證明：以B為坐標

6、原點，以BC所在的直線為x軸建立如圖2直角坐標系，設(shè)A a,b ,C c,0 ,2=c ac a2 b2,4fh|/ r22、BCAB+AC1-丨 丨J212=2a 八2 T從而ADAB + AC212I-，AD2冷aB A號.3. 利用向量的坐標運算，用已知向量表示未知向量例 4 已知點 O是 ABC內(nèi)的一點，.AOB =150，BOC =90,設(shè)OA =a,OB =b,OC =c,且 a2,b1,c =3,試用a,和b表示g解：以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為由 OA=2 ，. AOx =120B 0，-1，C3,0x軸和y軸建立如圖3所示的坐標系.，所 以 A2cos1200,2sin

7、12O0 ,即A-1,. ,3，易 求-1=33 =-OA =OB +為OC，即（-1,，3）=人（0,-1）+丸 2（3 ,a 3bc.解：以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，則A 1,0，由/COA =300，所以 C(5cos300,5sin 30。腳，I 2 2丿OC hOA 2OB,即，51，210.31 _3532 :3一 、5 3 _5.31 -25.322 210 3 OC 二 OA OB.334. 利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題例6求證：三角形的三條高交于同一點分析如圖，已知 ABC中，由ADBC,BEAC，22 以c=a b - ac4AD

8、 BE二H ,要證明CH_AB,利用向量法證明CH_AB，只要證得CHAB = 0即 可；證明中，要充分利用好 AHBC =0，BH CA=0這兩個條件證明： AD_BC, H在AD上，(CH _CA) BC =0, 即卩 CH BC -CA BC又 b_Ac,Bch -CB，AH BC =0 而 AH 二 CH - CA ,=0BH ACCH AC -CB AC =0-得：CH BC -CH AC-0,即CH BC-Aclo點的線的距離,=0 即（CH -CB） AC.CH_AB.距離問題包括點到點的距離,從而 CH BA =0，. CH _AB，5.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題， 點

9、到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離例7求平面內(nèi)兩點 A(x1,y1), B(x2,y2)間的距離公式分析已知點A(Xi,yJ, B(X2,y2)求代B兩點間的距離|AB|,這時，我們就可以構(gòu)造出 向量 AB，那么 AB =(x2 -為，2 - yj,而 | AB|=|AB|, 根據(jù)向量模的公式得| AB (X2 - xi)2 卜2 - yj2 ,從而求得平面內(nèi)兩點間的距離公式 為 |AB|(X2匚Xi)L厲匚yj2 .解：設(shè)點 A(Xi, yi), B(X2, y2) , . AB =區(qū)-花必-yj 2 2.|AB|(X2 -Xi)(y2-yi)，而 |AB|=|AB|點A與

10、點B之間的距離為：I AB |= (x2 - xj2 (y2 - yj26. 利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題 例 8 證明:cos(沱 IJ = cos 二 cos ： sizsin :分析如圖，在單位圓上任取兩點 代B,以 Ox為始 邊，OA,OB為終邊的角分別為 二，設(shè)出A, B兩點的坐 標，即得到 OA,OB的坐標，則:-為向量OA,OB的 夾角；利用向量的夾角公式，即可得證 證明：在單位圓 O上任取兩點 代B,以O(shè)x為始邊， 以O(shè)A, OB為終邊的角分別為：，：，則A點坐標為(cos :,sin ：), B 點 坐 標 為 (:cOA 二(cos : ,sin :)

11、, OB = (cos ： ,sin ：)，它們的夾角為：一：I OA | =|OB | = 1, OA OB 二 cos： cos ： sin ： sin 由向量夾角公式得：cos(： - ) = O 竺 二 cos： cos ： sin： sin ，從而得證. |OA|OB|注：用同樣的方法可證明 cos(二 -)= cos cos ： -sinsin :7. 利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題例 9證明柯西不等式(X,y；)(x22y22)-(x/2% y2)2證明：令 a 二(X1, yjb =(X2, y?)(1) 當a=0或b = 0時，a= x1x2 y1y 0，結(jié)論顯然成立;(2) 當a = 0且b = 0時，令二為a,b的夾角，U才0,二a b 二 x1x2 y1y2 =|a |b | co .又 |cos |_1.|a b兇a|b| （當且僅當a lib時等號成立）lx% %y2 E _x； y； . X22 船（X| * yi ）（X2 * y2 ） x（X1X2 * 丫2）（當且僅當一=-時等號成立）yi y2例