木板鉆孔”的啟示

1、“木板鉆孔”的啟示 談幾何證明題的分析幾何證明一直是困擾學(xué)生的一大難題，教會(huì)學(xué)生“怎么做”很簡(jiǎn)單，只要教師會(huì)做就行；教會(huì)學(xué)生“怎么想”就不那么容易了，學(xué)生也只有學(xué)會(huì)了“怎么想”，才能夠“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”。因此，告訴學(xué)生“怎么想到這么做的”是數(shù)學(xué)教師的一個(gè)基本技能，筆者就多年的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剮缀巫C明題的分析。木板鉆孔實(shí)驗(yàn) 器材：一塊木板；工具：一把小錐子；要求：給木板鉆孔并總結(jié)方法。結(jié)論：先在一面鉆，有困難了，把木板翻過(guò)來(lái)，選準(zhǔn)位置再鉆，還有困難，再把木板翻過(guò)來(lái)鉆，直至把木板掏通。證明題就相當(dāng)于在已知與求證之間形成的無(wú)形木板，證明過(guò)程也就是用工具（定義、定理）把它打通（找到從已知到結(jié)論的因果關(guān)系

2、）的過(guò)程。先從題設(shè)出發(fā)，看看由條件能得到什么；再?gòu)慕Y(jié)論出發(fā)，看看要證明這個(gè)結(jié)論就是要證明什么，還有什么條件沒(méi)有考慮到，與結(jié)論有什么關(guān)系。如此反復(fù)，最終找到二者的切合點(diǎn)，這就是分析的一般思路，也就是通常所說(shuō)的“兩頭湊”。1 “熟悉工具”分析的前提 要給木板鉆孔必須先熟悉工具的性能和使用方法。同樣，要學(xué)會(huì)分析，就必須掌握定義、定理的特征及適用環(huán)境，這是學(xué)會(huì)分析的前提。掌握定理不等于就會(huì)應(yīng)用定理。要能夠應(yīng)用定理必須明確定理的條件特征、結(jié)論特征、圖形特征，只有明確了不同定理的各自特征，才能在分析問(wèn)題時(shí)有的放矢，突破難關(guān)。人教版初中教材中三個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線定理

3、、直角三角形中300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，都有相同的結(jié)論特征，因此涉及到有關(guān)線段的幾倍問(wèn)題就常常要考慮這三個(gè)定理，但究竟用哪個(gè)定理還要結(jié)合題目看圖形特征和條件特征。 角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的“三線合一”定理，這些定理學(xué)生老繞彎子，常常不能自覺(jué)使用，而是再證明，原因在哪里？這些定理的題設(shè)往往是幾個(gè)條件，只要讓學(xué)生注意到這樣的組合條件特征，稍加留意，還是能直接運(yùn)用的。平?？梢砸髮W(xué)生養(yǎng)成把條件標(biāo)在圖中的習(xí)慣，更容易看出組合條件。證明兩條線段相等的方法有多種，但是不同的方法都有不同的圖形特征。如果兩條線段有公共端點(diǎn)，“等角對(duì)等邊”是首選；如果兩條線段分別在不同的三角形中，全等三角形是常

4、用的工具；如果兩條線段是某個(gè)四邊形的對(duì)角線我們就應(yīng)該考慮運(yùn)用矩形的性質(zhì)?？纯春?009年的一道中考題，如圖1，ABC中，AB=AC, AD、AE分別BAC是和BAC外角的平分線，CEAE.求證：(1)DAAE.(2)試判斷AC與DE是否相等？并證明你的結(jié)論。只要學(xué)生明確了矩形對(duì)角線相等的圖形特征，想到應(yīng)用矩形對(duì)角線相等解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該是很自然的。圖12 “運(yùn)用工具”分析的方法要給木板鉆孔，必須會(huì)運(yùn)用工具，變換手段，排除障礙。要學(xué)會(huì)分析，必須能克服困難，不斷變換分析的角度和方法。2.1 “借果索路” 逆向思維的分析方法問(wèn)題的結(jié)論正是我們要證明的內(nèi)容，顯然是不可以作為條件應(yīng)用的，但是當(dāng)我們的分析

5、無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行的時(shí)候，我們可以借助結(jié)論來(lái)探尋分析的思路，也就是假設(shè)結(jié)論成立，看看能得到什么等價(jià)結(jié)論，通過(guò)分析等價(jià)結(jié)論探索到解題的思路。在和學(xué)生分析證明“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”的時(shí)候，普遍的障礙就是想不到通過(guò)證明兩個(gè)角相等來(lái)證明直角，老師在和學(xué)生分析的時(shí)候可以借助要證明的ABC是直角，提出這樣一個(gè)問(wèn)題，如果ABC是直角（圖2），你能得到什么結(jié)論（DCB=900，從而ABC=DCB）？那么如果能證明了ABC=DCB，能不能證明ABC是直角呢？這樣學(xué)生就可以想到通過(guò)證明兩個(gè)角相等來(lái)證明直角。在這里就是把要證明一個(gè)直角轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)與之等價(jià)的ABC=ACB，從而分析可以繼續(xù)進(jìn)行。在遇到各種證明比

6、較困難的時(shí)候，可以嘗試這樣的“借果索路”法。圖22.2 “由點(diǎn)探路”特殊到一般的分析方法著名數(shù)學(xué)家G玻利亞說(shuō)過(guò)：“直線是用兩點(diǎn)確定的，類(lèi)似的，很多新的結(jié)果是通過(guò)在兩個(gè)極端情況之間的一類(lèi)線性插值的方法得到的”。他告訴我們的就是可以通過(guò)特殊情況的研究探討出解決問(wèn)題的一般思路。例1 如圖3，XOY=900，點(diǎn)A、B分別在射線OX、OY上移動(dòng)，ABY和BAO的平分線相交于點(diǎn)C，求證：ACB是定值。圖3處理這個(gè)問(wèn)題，可以設(shè)計(jì)一個(gè)很簡(jiǎn)單的計(jì)算：若BAC=400,求C。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的思考，學(xué)生很自然想到假設(shè)A=m0（只是把40換成了m，思路步驟基本一樣），探索到ACB的定值。在幾何問(wèn)題中，從特殊情況出發(fā)，探

7、討出一般結(jié)論的方法是隨處可見(jiàn)的。特殊情況尤其是賦予了具體的數(shù)值，比較容易探索，由此向一般情況的探討，由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。“一個(gè)想法使用一次是技巧，經(jīng)過(guò)多次使用就可成為一種方法?！敝笇?dǎo)學(xué)生分析幾何問(wèn)題時(shí)如能經(jīng)常使用，學(xué)生自然能養(yǎng)成這樣的思考習(xí)慣。3 “升級(jí)工具”分析的捷徑在給木板鉆孔的時(shí)候，如果能夠有個(gè)更好的工具（如電鉆），那就簡(jiǎn)單了許多。同樣，在分析幾何問(wèn)題時(shí)如果有更多的定理可以運(yùn)用，就能提高探索思路的速度。初中生目前能用的只是有限的幾個(gè)定理，引導(dǎo)學(xué)生在平常的學(xué)習(xí)中要注意“升級(jí)工具”，提高分析的能力和速度。有些證明段落、證明模式、組合圖形經(jīng)常要用到，如果能夠把整個(gè)板塊裝在腦子里，等于

8、擁有了“先進(jìn)的組合工具”，跨越了思維細(xì)節(jié)，提高了分析的速度。如我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的證明模式：兩角互補(bǔ)，那么他們一半的和就是900；兩組直線垂直，就能通過(guò)互余證明相等的角；平行線遇到角平分線就有等腰三角形，這里給出幾個(gè)圖形（圖4, 圖5），圖形盡管是千變?nèi)f化的，但證明模式卻是一樣的。 圖4 圖5例2 （人教版八下102頁(yè)第6題）如圖6，AEBF，AC平分BAD，且交BF于點(diǎn)C，BD平分ABC，且交AE于點(diǎn)D，連接CD。求證：四邊形ABCD是菱形。圖6這個(gè)問(wèn)題中，由AEBF，AC平分BAD，可得BA=BC； 由AEBF，BD平分ABC，可得AB=AD. 這樣一眼就看出AD = BC. 留意這樣的基

9、本圖形，留意這樣的組合條件，分析問(wèn)題就好像走上了“高速公路”。4 “活用工具”分析的技巧4.1 “先來(lái)后到”選擇思路的原則給木板鉆孔的時(shí)候，需要選擇一個(gè)合適的位置下手，才易于打通。同樣幾何證明題也存在這樣的問(wèn)題。在分析探究證題思路的時(shí)候往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)可以選擇的設(shè)想，如要證明一個(gè)四邊形是平行四邊形就有五種方法，要證明一個(gè)四邊形是菱形有三種證法，如果從四邊形說(shuō)起的話就有十多種。我們不可能每條思路都去試驗(yàn)是否可行，憑解題的經(jīng)驗(yàn)和感覺(jué)選擇思路就是一個(gè)基本技能。在考試的時(shí)候因?yàn)槟骋粋€(gè)幾何問(wèn)題而耽誤很多時(shí)間的情況是很常見(jiàn)的，這通常是掉進(jìn)了“美麗的陷阱”，走進(jìn)“死胡同”，最終考試結(jié)束都沒(méi)能走出來(lái)。而有的同學(xué)

10、卻能在很短的時(shí)間內(nèi)突破障礙解決問(wèn)題，思路的選擇是決定性的因素，這里提供一個(gè)選擇分析思路的原則“先來(lái)后到” 的原則。 幾何圖形的發(fā)生，幾何題目的敘述都有先來(lái)后到，往往最后出現(xiàn)的幾何元素的條件是最少的，我們一般不考慮選擇他們作為解決問(wèn)題的突破口，這就是“先來(lái)后到” 的原則。例3 如圖7， RtABC中，BAC=900，AD是斜邊BC上的高，ABC的角平分線BE交AC于E，交AD于F, EGBC, 垂足為G, 連接FG, 求證：四邊形AFGE是菱形。圖7在這個(gè)問(wèn)題的敘述過(guò)程中描述了圖形發(fā)生的先后順序，對(duì)于四邊形AFGE來(lái)說(shuō)，邊FG是最后連接而成，因此涉及到與FG有關(guān)的邊和角的條件往往是比較少的，一般

11、不考慮通過(guò)涉及到FG的關(guān)系（如FG=AE，F(xiàn)GAE, FGE=A等）來(lái)證明，甚至可以在圖形中擦掉這一條線段，這樣就排除了好多方法，少走了彎路?！跋葋?lái)后到”的原則雖說(shuō)不能讓學(xué)生一下子知道怎么做，但至少可以回避不該走的彎路，節(jié)約了思考時(shí)間，避免掉進(jìn)陷阱而出不來(lái)。4.2 “究竟是誰(shuí)惹的禍”探究思路的訣竅當(dāng)我們翻過(guò)木板到另一面鉆孔的時(shí)候，需要找準(zhǔn)對(duì)面的那個(gè)位置，才易于打通，同樣幾何證明題也存在這樣的問(wèn)題。在綜合分析問(wèn)題的時(shí)候有好多的條件，這些條件又能得到更多的結(jié)論，常有學(xué)生從考場(chǎng)出來(lái)后會(huì)說(shuō)：“我怎么沒(méi)有想到利用這個(gè)條件呢？” ，這樣的情況往往是忽略了或沒(méi)有重視某個(gè)條件，尤其是需要重復(fù)使用的條件和隱含條

12、件。那么究竟怎樣在眾多的條件中尋找關(guān)鍵條件，怎樣不至于遺忘某個(gè)條件，又怎樣挖掘出隱含條件呢？我提供一個(gè)挖掘關(guān)鍵條件、探究分析思路的訣竅“究竟是誰(shuí)惹的禍”。 例4 如圖8，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，連接DE，將ADE沿DE翻折得到DEH，延長(zhǎng)EH交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，探究CM：CD的值。圖8這里的條件很多，隱含條件也很多，學(xué)生普遍不知從何下手，這時(shí)候我們可以問(wèn)這樣一個(gè)問(wèn)題：究竟是什么影響到CM:CD的值？不難發(fā)現(xiàn)就是EH的位置決定了M的位置，從而決定了這個(gè)比值，就是EH“惹的禍”，而EH的位置取決于DEH，這樣就挖掘出隱含條件（DEH=AED），也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件，得到EM=DM,

13、 設(shè)CM為x，若正方形邊長(zhǎng)為1，在DHM中利用勾股定理解決問(wèn)題。這就是探究思路的訣竅。5 “氣功態(tài)” 分析問(wèn)題的最高境界氣功態(tài)又稱(chēng)入靜，氣功書(shū)籍定義是練功者在練功過(guò)程中，在意念集中和神志清醒的情況下出現(xiàn)的高度安靜的一種練功狀態(tài)。條件結(jié)論二者兼顧，各種方法同時(shí)運(yùn)用，猜想推理融為一體 ，調(diào)動(dòng)腦中的所有“內(nèi)存”，匯聚題中一切信號(hào)，這時(shí)候就會(huì)有一種感覺(jué)出來(lái)了，出來(lái)了！這就是解題時(shí)的“氣功態(tài)” ?！皻夤B(tài)”是分析問(wèn)題的最高境界，一旦進(jìn)入“氣功態(tài)”，幾乎沒(méi)有解決不了的問(wèn)題。那又怎么引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“氣功態(tài)”？5.1 適時(shí)提問(wèn) 引領(lǐng)思考 先讓學(xué)生自己思考，觀察表情，如果學(xué)生無(wú)法自己展開(kāi)思索，教師適時(shí)、適度（難度

14、）、適量提問(wèn)，這條題目已知了些什么呢，又要證明什么呢，怎么會(huì)這樣呢，每一個(gè)問(wèn)題前后都要觀察學(xué)生的表情，一切問(wèn)題都要讓學(xué)生可以有所思索，鼓勵(lì)學(xué)生自我提問(wèn)，教師可以連問(wèn)多舉，問(wèn)而不答，只是創(chuàng)設(shè)情境，制造矛盾，置學(xué)生于混沌、苦惱、矛盾之中，要讓問(wèn)題成為學(xué)生不解不快的問(wèn)題，這樣引領(lǐng)學(xué)生思考，讓每個(gè)學(xué)生成為矛盾的設(shè)計(jì)和制造者，而不是思維活動(dòng)的旁觀者。5.2 分解難度，培養(yǎng)信心 如果觀察到學(xué)生還有難度，展開(kāi)艱難，這時(shí)學(xué)生容易再次退出思考，教師可以通過(guò)多種手段分解難度，培養(yǎng)信心?？梢哉Z(yǔ)言引領(lǐng)：你在想什么？你要干什么？你還少什么？還有什么條件沒(méi)有考慮到？究竟是誰(shuí)“先來(lái)后到”？究竟是誰(shuí)“惹的禍”？可以分解圖形：

15、提示升級(jí)工具，提示有沒(méi)有什么條件特征、圖形特征（組合圖形），教師只是在旁邊畫(huà)出來(lái)，不必多說(shuō)，只是給學(xué)生信息。也可以提示學(xué)生自己畫(huà)圖，尋找各個(gè)條件之間的聯(lián)系。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入狀態(tài)的過(guò)程中，教師的引導(dǎo)只能是含而不露，指而不明，開(kāi)而不達(dá)，引而不發(fā)，他可以是一種啟迪,為迷路的學(xué)生恰當(dāng)?shù)乇婷鞣较?，也可以是一種激勵(lì)，為畏難的學(xué)生點(diǎn)燃精神的火炬。5.3 心理暗示，點(diǎn)燃激情觀察學(xué)生的思考狀態(tài)：學(xué)生的表情、動(dòng)作，筆在圖形中的記號(hào)等等，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生開(kāi)始進(jìn)入狀態(tài)，及時(shí)鼓勵(lì)。“你可以想到了”、“你完全有這個(gè)能力”、“快了”點(diǎn)燃學(xué)生的激情，這時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自言自語(yǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生手舞足蹈，繼續(xù)通過(guò)啟發(fā)性語(yǔ)言旁敲側(cè)擊，引導(dǎo)學(xué)生沿著不