元胞自動機模型

1、編1腳怙釵剁元炮言動機模型元胞自動最具代表_Neumann 和 Ulam 提出。東南大學22011122王東巖 22011223 王果 22011323王語海 22011326周崎軒 22011328rr么是亍丿自:動元胞自動機（Cellular Automcitci,簡稱CA） 實質(zhì)上是定義在一個由具有離散、有限狀態(tài) 的元胞組成的元胞空間上，并按照一定的局 部規(guī)則，在離散的時間維度上演化的動力學 系統(tǒng)。1. CA之所以是離散系統(tǒng)，是因為元胞是定義在有限 的時間和空間上的，并且元胞的狀態(tài)是有限。CA被認為是動力學模型，是因為它的舉止行為 具有動力學特征A元胞自動機不是由嚴格定義的 物理方程或函

2、數(shù)確定，而是用 一系列模型構(gòu)造的規(guī)則構(gòu)成。凡是滿足這些規(guī)則的模型都可 以算作是元胞自動機模型。因 此，元胞自動機是一類模型的 總稱，或者說是一個方法框架初等元胞自動機是狀態(tài)集S只有兩個元素si, s2,即狀態(tài)個數(shù)k=2,鄰居半徑的一維元 胞自動機。由于在S中具體采用什么符號并不 重要，它可取0, 1, -1, 1, 靜止，運動 等等，重要的是S所含的符號個數(shù)，通常我們將其記為0, lo此時，鄰居集N的個數(shù)2=2,111t+11101: EZJJ QXJ U I Lrn 匚： ZIH! LU_Iv i V v 77i： L2 勺 匚 ZJ 1 廠I 口 由于只有0、1兩種狀態(tài)， 所以函數(shù)f共有2

3、8=256種狀 態(tài)r111110101100oil01000100000000001rule 100000010rnle 200000011rule 300000100mle 4t+ 10111000rule 184 1 1 1 1 1 1 1 0 rule 25511111111rule 256對給定初值及規(guī)則齊可通過計算機得到N步以后的演化結(jié)果A兀胞自動機最基本的組成：兀胞、 元胞空間、鄰居及規(guī)則四部分。另 夕卜，還應包含狀態(tài)和時間?？梢砸暈橛梢粋€元胞空間和定義于 該空間的變換函數(shù)所組成。規(guī)則/變検痢致元啊空間元胞又可稱為單元、細胞或基元，是 元胞自動機的最基本的組成部分。元胞分 布在離散

4、的一維、二維或多維歐幾里德空 間的晶箱點上。具有以下特點：1 元胞自動機最基本的單元.2. 元胞有記憶貯存狀態(tài)的功能.3. 所有元胞狀態(tài)都安照元胞規(guī)則不斷更新A元胞的狀態(tài)可以是二進制形式，女口：(0, 1),(生，死)，(黑、白)等； 也可以在一個有限整數(shù)集內(nèi)S內(nèi)取值： 如交通領域的CA模型中，有時元胞狀 態(tài)可在卜(Vmax+1)Vmcix+1)之間取 值。狀態(tài)參量：嚴格意義上的CA只能有一 個狀態(tài)參量；但是，在實際應用中，可 以具有多個狀態(tài)參量。元胞在空間中分布的空間格點的集 合就是元胞空間。A元胞空間的幾何劃分B元胞空間的邊界條件A理論上，它可以是任意維數(shù)的歐幾 里德空間規(guī)則劃分。常用的元

5、胞自 動機一般是一纟卷和二維芮OA 一維元胞自動機的元胞空間只有一 種劃分B二維元胞自動機通常有三種劃分方 式:三角形,正方形，正六邊形(c)六邊網(wǎng)格I優(yōu)點缺點三角形擁有相對較少的鄰居數(shù)目，易 于處理復雜邊界在計算機的表達與 顯示不方便，需要 轉(zhuǎn)換為四方網(wǎng)格。正方形直觀而簡單，而且特別適合于 在現(xiàn)有計算機環(huán)境下進行表達 顯示不能較好地模擬各 向同性的現(xiàn)象正六 邊形能較好地模擬各向同性的現(xiàn)象， 因此，模型能更加自然而真實在表達顯示上較為 困難、復雜A理論上，元胞空間是無限的；實際應用 中無法達到這一理想條件。常用的邊界 條件如下*周期型*定值型*絕熱型*反射型A周期型邊界條件：定義：周期型是指相

6、對邊界連接起來的元 胞空間*對一維空間，首尾相接形成一個圓環(huán)*對二維空間，上下相接，左右相接，而 形成一個拓*撲圓環(huán)面，形似車胎或甜點 圈*周期型空間與無限空間最為接近，因而 在理論探討時，常以此類空間作為試驗定值型邊界條件a固定邊界定義：所有邊界外元胞均取某一固定常量A絕熱型邊界條件ia絕熱邊界定義:在指邊界外鄰居元胞的狀態(tài)始終和邊界元胞的狀態(tài)保持一致，即具有狀態(tài)的零梯度*反射型邊界條件ba映射邊界豔點界外鄰居的元胞狀態(tài)是以邊界元胞為軸馮-諾依曼(Vori. Neumann)型定義如下：，IN咖z =比 （匕心）V. - V+V - V(XOXIV0Yr1?K，v(v)gZ2分別表示鄰居元胞

7、的行坐標和列坐標分別表示中心元胞的行坐標和列坐標:摩爾(Moore)型鄰居的數(shù)目=衛(wèi)加怙乙.1J.v-v,v;v)gZ2(根據(jù)元胞當前狀態(tài)及其鄰居狀況確 定下一時刻該元胞狀態(tài)的動力學函 挈，簡單講，就是一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移函 數(shù)。 s；f(s;,sj稱為元胞自動機的局部映射或局部規(guī)則A根據(jù)上面對元胞自動機的組成分析，我 們可以更加深入地理解元胞自動機的概 念?？梢詫⒃詣訖C概括為一個用數(shù) 學符號來表示的四元組。A =（厶廠S, N,/）A A：代表一個元胞自動機系統(tǒng)；Ld：代表 元胞空間；d：為空間維數(shù)；S：是元胞 有限的離散的狀態(tài)集合；N：表示鄰域 內(nèi)所有元胞的組合（包括中心元胞在 內(nèi)）；f：是局

8、部轉(zhuǎn)換函數(shù)，也就是規(guī)則。局部變化引起全局變化*可以簡單認為元胞自動機在運動上 類似于波.*無胞的狀態(tài)變化依賴于自身狀態(tài)和 鄰居的狀態(tài)元胞自動機的規(guī)則某元胞下時刻的狀態(tài)只決定于鄰居的狀 態(tài)以及自身的初始狀態(tài).元胞網(wǎng)格三角形元胞鄰居生命游戲(Came of Life)是J. H. Conway 在2椎紀6年代耒設計的一和單人玩的并負機 游戲(Gardner, M., 97、97)。他寫現(xiàn)代的 圍棋游戲作某些特征上略有相似：圍棋中有 死”兩個狀態(tài)，；圍棋的棋盤是規(guī)則韌分的 網(wǎng)格，黑白兩子在空間的分布決定雙方的死 活，一而生命游戲也是規(guī)則劃分血網(wǎng)格(元胞彳以 國際負桃分布在網(wǎng)格內(nèi)。而不象圍棋血棋子 分

9、布社*各網(wǎng)交叉點上丄根據(jù)元胞的局部空間 構(gòu)形來決定生死。只體過規(guī)則更為簡單。生命游戲的構(gòu)成及規(guī)則：*元胞分布在規(guī)則劃分的網(wǎng)格上；*元胞具有，兩種狀態(tài)，代表“死”，I代表“生”；*元胞以相鄰的8個元胞為鄰居。即Moore鄰居形式； *一個元胞的生死由其在該時刻本身的生死狀態(tài)和周 圍八個鄰居的狀態(tài)（確切講是狀態(tài)的和）決定：在當前時刻，如果一個元胞狀態(tài)為“生”，且八 個相鄰元胞中有兩個或三個的狀態(tài)為“生”，則在下 -時刻該元胞繼續(xù)保持為“生”,否則“死”去；在當前時刻。如果一個元胞狀態(tài)為死“。且八個 相鄰元胞中正好有三個為“生蔦則該元胞在下一時刻“ 復活J否則保持為“死仁森林火災森林火災的構(gòu)成及規(guī)則

10、：*元胞有3個不同的狀態(tài)狀態(tài)為0是空位，狀態(tài)=1是燃燒著 的樹木，狀態(tài)=2是樹木.水如果4個鄰居中有一個或一個以上的是燃燒著的并且自身 是樹木（狀態(tài)為2）,那么該元胞下一時刻的狀態(tài)晟燃燒（狀態(tài)為1）. *森林元胞（狀態(tài)為2 ）以一個低概率（例如5 ）開始燒（因為閃 也.* 一個燃燒著的元胞（狀態(tài)為1）在下一時時刻變成空位的（狀 態(tài)為）*空元胞以一個低概率（例如.）變?yōu)樯忠阅M生長.*出于矩陣邊界連接的考慮,如果左邊界開始著火，火勢將向 右蔓延，右邊界同理同樣適用于頂部和底部.A生物學領域：因為元胞自動機的設計思 想本身就來源于生物學自繁殖的現(xiàn)象， 所以它在生物學上的應用更為自然而廣 泛。例如

11、元胞自動機用于腫瘤細胞的增 長機理和過程模擬、人類大腦的機理探 索、愛滋病病毒HIV的感染過程、自組 織、自繁殖等生命現(xiàn)象的研究以及最新 流行的克隆(clone)技術(shù)的研究等。另 夕卜，元胞自動機還可以用來模擬植物的 生長過程以及貝殼上的色素沉積圖案A生態(tài)學領域：元胞自動機被用于兔 子草，鯊魚小魚等生態(tài)系統(tǒng)動態(tài) 變化過程的模擬，展示岀令人滿意 的動態(tài)效果;元胞自動機還成功地 應用于螞蟻的行走路徑，大雁、魚 類洶游等動物的群體行為的模擬； 另外，基于元胞自動機模型的生物 群落的擴散模擬也是當前的一個應 用熱點。物理學領域：在元胞自動機基礎之上發(fā)展出來的 格子氣自動機(LGA)和格子-波爾茲曼方S

12、(LBM) 在計算流體領域獲得了巨大的成功。不僅能夠解 決傳統(tǒng)流體力學計算方法所能解決的絕大多數(shù)問 題，并且在多孔介質(zhì)、多相流、微小尺度方面具 有其獨特的優(yōu)越性。格子-波爾茲曼方法還被成功 地應用于磁場、電場、熱擴散和熱傳導的模擬。 丙外,，元胞自動機還被用來模擬雪花等枝晶的形 成、液態(tài)金屬材料的凝固結(jié)晶過程以及顆粒材料的垮塌現(xiàn)象等。交通科學領域：1986年，M. CremerDJ.Ludwig初次將元胞自動機運用到車輛交通的研究 中。隨后，元胞自動機在車輛交通中的應用主要 沿著兩條主線展開：對城市道路交通流的研究， 以N ogel-SchGckenbeg模型為代表;對城市交 通網(wǎng)絡的研究，以

13、BML模型為代表。另外，80年 代以來，計算機水平日新月異的發(fā)展為元胞自動 機的應用提供了強有力的支持。因此，在進入上 個世紀90年代后，元胞自動機在交通流理論研究 領域中得到了廣泛的應用計算機科學與信息學領域：元胞自動機的 邏輯思維方法為并行機的發(fā)展提供了另一 個理論框架。20世紀80年代，T. Toffoli和 N.H. Margolus制造出第一臺通用元胞自 動機計算機CAM6,其性能可與當時的巨 型計算機相比擬，并且其圖形顯示功能明 顯優(yōu)于其他類型的計算機。元胞自動機還 被用來研究信息的保存、傳遞、擴散的過 程。除此之外，元胞自動機在圖像處理和 模式識別中也體現(xiàn)出了其獨到的優(yōu)勢。應用舉例數(shù)學建模中的應用The Booth Tolls for Thee應用舉例數(shù)學建模中的應用Modeling Flooding from a Dam Failure in South