工程制圖第一章 幾何元素間的相對(duì)關(guān)系

1、1.4 直線與平面、平面與平面的相對(duì)關(guān)系直線與平面、平面與平面的相對(duì)關(guān)系1.4.1 平行問(wèn)題平行問(wèn)題1.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題1.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題基本要求基本要求1.4.4 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線基本要求基本要求（四）點(diǎn)、線、面綜合題（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法；熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2能對(duì)一般畫(huà)法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題能對(duì)一般畫(huà)法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。步驟和方法。（一）平行問(wèn)題（一）平行問(wèn)題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

2、 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問(wèn)題（二）相交問(wèn)題 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性的方法。掌握利用重影點(diǎn)判別投

3、影可見(jiàn)性的方法。（三）垂直問(wèn)題（三）垂直問(wèn)題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。1.4.1 平行問(wèn)題平行問(wèn)題幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。直線與該平面平行。有關(guān)線、面平行的作圖問(wèn)題有：有關(guān)線、面平行的作圖問(wèn)題有：判別已知線面是否平行；作直線判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。一、直線與平面相互平行一、直線與平面相互平行 若一直線平行于屬于定平面內(nèi)的

4、一直線，則該直線與平面平若一直線平行于屬于定平面內(nèi)的一直線，則該直線與平面平行。行。 例題例題1 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfg結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例題例題2 試過(guò)點(diǎn)試過(guò)點(diǎn)K作水平線作水平線AB平行于平行于CDE平面平面 baaffb 例題例題3 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作平面平行于已知直線作平面平行于已知直線ABAB。deabaoxcced幾何條件幾何條件 若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。

5、這是兩平面平行的作圖依據(jù)。據(jù)。兩平面平行的作圖問(wèn)題有：兩平面平行的作圖問(wèn)題有：判別兩已知平面是否相互平行；過(guò)判別兩已知平面是否相互平行；過(guò)一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。平面的所缺投影。二、平面與平面相互平行二、平面與平面相互平行 若屬于一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于屬于另一平面若屬于一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篈BAABA1 1B B1 1，BCBBCB1 1C C1 1，所以：平面所以：平面ABCABC和平面和

6、平面A A1 1B B1 1C C1 1相平行相平行 例題例題4 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行 例題例題5 過(guò)過(guò)K K點(diǎn)作一平面，使其與平面點(diǎn)作一平面，使其與平面ABCABC平行平行解：只要過(guò)解：只要過(guò)K K點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于ABCABC的兩條邊，則的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面abXOkbackceeff 例題例題6 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過(guò)給定。試過(guò) 點(diǎn)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平

7、面 。emnmnfefsrsrkk 例題例題7 試判斷兩平面是否平行。試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)榻Y(jié)論：因?yàn)镻H平行平行SH，所以兩平面平行，所以兩平面平行1.4.2 相交問(wèn)題相交問(wèn)題一、一、特殊位置特殊位置線面相交線面相交二、二、一般位置平面與一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交三、三、直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交四、四、兩一般兩一般位置位置平面相交平面相交直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BKAM兩平面的交線是直線兩平面的交線是直線兩平面的

8、交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL一、特殊位置線面相交一、特殊位置線面相交直線與直線與特殊位置特殊位置平面相交平面相交判斷直線的可見(jiàn)性判斷直線的可見(jiàn)性特殊位置特殊位置直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn直線與直線與特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。交點(diǎn)可直接求出。kk判斷直線的可見(jiàn)性判斷直線的可見(jiàn)性bbaaccmmnkkn特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線

9、的可見(jiàn)性。線的可見(jiàn)性。 例題例題8 求直線求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。aXOabmbnccmnkk1 212( )特殊位置直線與平面相交特殊位置直線與平面相交( )求鉛垂線求鉛垂線EFEF與一般位置平面與一般位置平面ABCABC的交點(diǎn)并判別其可見(jiàn)性。的交點(diǎn)并判別其可見(jiàn)性。k21k21 例題例題9 求直線求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。ee1 221( )kkXOcbanmcbmna二、一般位置平面與二、一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交 求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有

10、點(diǎn)的求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題，由于問(wèn)題，由于特殊位置特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。線可直接求出。一般位置平面與一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交判斷平面的可見(jiàn)性判斷平面的可見(jiàn)性一般位置平面與一般位置平面與特殊位置特殊位置平面相交平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見(jiàn)性判斷平面的可見(jiàn)性結(jié) 果判斷平面的可見(jiàn)性判斷平面的可見(jiàn)性abcmnlabcmnlfkfk求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性defdefabcacbkmkm1 221( )abcd ge fabcdef

11、g1 221( )求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性kllk三、直線與一般三、直線與一般位置位置平面相交平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 示意圖示意圖12以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk步驟：步驟：1過(guò)過(guò)EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。示意圖ABCQ過(guò)過(guò)MN作作正垂面正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖1

12、2以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1步驟：步驟：1過(guò)過(guò)EF作鉛作鉛垂平面垂平面P。2求求P平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。kk2 示意圖CAB過(guò)過(guò)MN作鉛垂作鉛垂面面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖示意圖fee直線直線EF與與 ABC相交，判別可見(jiàn)性。相交，判別可見(jiàn)性。利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見(jiàn)見(jiàn)性性1243（ ）kk34示意圖( )21直線直線EF與平面與平面ABC相交，判別可見(jiàn)性示意圖相交，判別可見(jiàn)性示意圖1 (2)(4)3利利用用重重影影點(diǎn)。點(diǎn)。判判別別可可見(jiàn)見(jiàn)性性

13、四、兩一般位置平面相交四、兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題題, 因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交求交線求交線 示意圖示意圖判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性例題例題6 6 兩一般位置兩一般位置平面相交，平面相交，求交線步驟：求交線步驟：1用求直線用求直線與平面交點(diǎn)與平面交點(diǎn)的方法，作的方法，作出兩平面的出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線求兩平面的交線l

14、lnmmnPVQV1221kkee2連接兩個(gè)連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)共有點(diǎn)，畫(huà)出交線出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法兩一般位置平面相交求交線的方法 示意圖示意圖 利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利利用用重重影影點(diǎn)點(diǎn)判判別別可可見(jiàn)見(jiàn)性性兩平面相交，判別可見(jiàn)性兩平面相交，判別可見(jiàn)性3 4 ( )3 4 21( )1 2abcgfedabecdfgPVQVmn1 212( )3434( )mn求交線并判斷可見(jiàn)性求交線并判斷可見(jiàn)性 例題例題10 試過(guò)試過(guò)K點(diǎn)作一

15、直線平行于已知平面點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABC，并與直線并與直線EF相交相交 。分析分析 過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)K作平面作平面P平行平行于于ABC；直線；直線EF與平面與平面P交于交于H；連接連接KH，KH即為所求。即為所求。FPEKH作圖作圖mnhhnmPV11221. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K作平面作平面KMN/ ABC平平面。面。2. 求直線求直線EF與與平面平面KMN的交的交點(diǎn)點(diǎn)H 。3. 連接連接KH，KH即為所求。即為所求。 例題例題11 試過(guò)試過(guò)A點(diǎn)作一直線與兩已知直線點(diǎn)作一直線與兩已知直線BC及及EF相相交交 。cbaeffecbakkll1.4.3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題一、直線與平面相互垂直一、直

16、線與平面相互垂直二、直線與直線相互垂直二、直線與直線相互垂直三、平面與平面相互垂直三、平面與平面相互垂直一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 直線與平面垂直，則直線垂直于平面上的任意直線與平面垂直，則直線垂直于平面上的任意直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面上的任意兩相交直線，則直線垂直該平面。上的任意兩相交直線，則直線垂直該平面。直線與平面垂直的幾何條件：直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。直于屬于該平面的一切直線。定理定理1 若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬若

17、一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。該平面的正平線的正面投影。klkl定理定理2（逆）（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。面投影，則直線必垂直于該平面。 例題例題12 平面由平面由BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)給定，試過(guò)定點(diǎn)K作平面的法線。作平面的法線。acacnnkkh 例題例

18、題13 試過(guò)定點(diǎn)試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b） 例題例題14 平面由兩平行線平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線給定，試判斷直線MN是否是否垂直于該平面。垂直于該平面。efef例：求例：求C C點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線ABAB的距離。的距離。二、直線與直線垂直二、直線與直線垂直分析：分析：求求C C點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線ABAB的距離實(shí)際上就是過(guò)的距離實(shí)際上就是過(guò)C C點(diǎn)作線段垂直相點(diǎn)作線段垂直相交于交于ABAB，然后求出線段的實(shí)長(zhǎng)。，然后求出線段的實(shí)長(zhǎng)。ababcc 例題例題15 試過(guò)定點(diǎn)試過(guò)定點(diǎn)A作直線與已知直線作直線與已知直線EF正交。正交。EQ

19、過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)A A作平面垂直于已知直線作平面垂直于已知直線EFEF，并交于點(diǎn)，并交于點(diǎn)K K，連接，連接AKAK，AKAK即為所求。即為所求。FAK分析分析作圖作圖21aefafe1221PV12kk兩平面垂直的幾何條件：兩平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD三、平面與平面垂直三、平面與平面垂直反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂

20、直兩平面不垂直繪制相互垂直平面的兩種方法：繪制相互垂直平面的兩種方法：1、使平面、使平面Q經(jīng)過(guò)垂直于平面經(jīng)過(guò)垂直于平面P的直線的直線AB；2、使平面、使平面Q垂直于平面垂直于平面P上的直線上的直線CD；g 例題例題16 平面由平面由BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)給定，試過(guò)定點(diǎn)K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。hacachg 例題例題17 試判斷試判斷 ABC與相交兩直線與相交兩直線KG和和KH所給定的平面是否所給定的平面是否 垂直。垂直。ffdd結(jié)論：因?yàn)榻Y(jié)論：因?yàn)锳D直線不在直線不在 ABC平面上，所以兩平面不垂直。平面上，所以兩平面不垂直。 例題例題18 試過(guò)點(diǎn)試過(guò)點(diǎn)K作直線，使其同時(shí)垂直于兩交叉直線作直線，使其同時(shí)垂直于兩交叉直線AB、CD。bakdcdckabeehh 例題例題19 過(guò)直線過(guò)直線AB上一點(diǎn)上一點(diǎn)A作一直線垂直于作一直線垂直于AB，并與，并與DE相交。相交。abdeedabQV1122kk1.4.4 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線1 1平面上的投影面最大斜度線平面上的投影面最大斜度線平面上對(duì)某個(gè)投影面傾角平面上對(duì)某個(gè)投影面傾角最大