專題一--乘法公式及應(yīng)用

1、專題一一乘法公式及應(yīng)用專題一乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)：(a+b) (a-b)=a2-b2(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2-2ab+b2(a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3(a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：位置變化，(丹力(-丹 符號(hào)變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-=，一，指數(shù)變化，(/爐)(f-分4-/系數(shù)變化，(2avb)(2a-b)=4a-l/ 換式變化，到*+切盯tz+媯=(勸”+助2=y/-丹2)(尸尸2)-xy-xy/-z=x-2xy+y-z連用公式變化，q+力(aj)(系+力 逆用公式變化9

2、(x-y+z)2-(xy-zj2=(x-y+z)+(x+yz) ( a 丹 z)-(日尸 z)=2x(-2y+2z)-xyraxz例 1.已知a+6 = 2, ab = l9 解：v (a + b)2 = a2 +2ab + b2 a+ b = 2 9 ab= 1例2.已知 + 6 = 8, ab = 2 , 解：v (a + by = a + 2ab-vb (a +b)2 (a - bp - 4a ht a + b = 8 , ah = 2求/+/的值。：.a2 +b2 = (a + b)2 -2ab.of 2? - 2x1 = 2求(b)2的值。(a-b)2 = a -2ab + b2：.

3、(a-b)2 -4ab=(a-b)2.(a-b)2 =8?-4x2 = 56例 3：計(jì)算 1999?-2000x1998例 4：已知 a+b=2, ab=l,求 +b?和(a-b)?的值。例 5：已知 x-y=2, y-z=2, x+z= 14。求 x?-z?的值。例6：判斷(2+1)例2+1) (24+1)(22048+1 ) +1的個(gè)位數(shù)字是幾?例7.運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算(1) 1032(2) 1982例8.計(jì)算(1) (ayib-3c)(a-4b-3c)(2) (3x+尸2)(3x丹2)例9.解下列各式(1)已知最h&2=13, ab=6,求(e，(a-b1的值。(2)已知6)2=7, (a

4、-6)2=4,求 4+3,助 的值。(3)巳知(熱_彷=2,求與心的值。(4)已知工=3,求工4+的值。 xx例11.計(jì)算 (1)(f-劉4)2(2) (3處八0)2兩數(shù)和的平方的推廣(升/hc)2=(a+8)+c2 =(a4-z)2+2(a4-a)- ch-c2 =a2+2azh-z2+2ach-c2=a2+a2 4-c2 -i-2abi-2bc+2acbp (a+zh-c)2=a2+a2+c2+2abi-2bci-2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用：這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公 式的來(lái)龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征

5、，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能 提高學(xué)生的觀察能力。例l計(jì)算：(51+3力何一3力 解：原式=何-(3/=25/-9寸(二)、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2.計(jì)算：(1-必 + 1)(/ + 1)(/ + 1)例 3.計(jì)算：(3x + 2y-5z+1、一3工 + 2)-5z-1)三、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊 交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問(wèn)題。例 4. 計(jì)算：(5a + lb-8c)2-(56/-7/7 + 8c)2四、變用：題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5.計(jì)算：(x + y - 2z)(x + y + 6z)五、活用：把

6、公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式 為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：1. (a + b) - 2ab = a1 4- b22. (a - b) + lab = a +b23. (a + b)2 + (a-b)2 =2(a2 +b2)4. (a + b) (a b) = 4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用 知識(shí)的能力。例6.已知”-/2 = 4,必=5,求/+的值。解：a2 +b2 = （ci b） + 2ah = 42 + 2 x 5 = 26例 7.計(jì)算：(ci + b + c d) +(b + c + d a)三、學(xué)

7、習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計(jì)算（-2-5） （2x-5）分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，符號(hào)相反，因而“-5”是 公式（行6）（廿6）=3-4中的劣而“2v”則是公式中的b.解：原式=（-5-2力（-5+2右=（-5）2-（2力2=25-4/例2計(jì)算（-淋+46）2分析：運(yùn)用公式時(shí)，“-才”就是公式中的出 “da” 就是公式中的6;若將題目變形為（46才）2時(shí)，則“46”是公式中的當(dāng)而 “才”就是公式中的兒（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算（2廣廣z+5） （2r j+z+5）.分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式

8、中的“2/、 “5”兩項(xiàng)同號(hào)，“一、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原 式變形為符合平方差公式的形式.解：原式二（2戶5） + （廠z） （2戶5） - （廠z）二（2戶5產(chǎn)-（廠力2=4x +20戶25-尹2yzrz .例4計(jì)算（年1）2（3+91）2（3+才+1）2分析：若先用完全平方公式展開(kāi)，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用嘉的運(yùn) 算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.解：原式二（a-1）（3+k1）（3+，+1）2= (a3-l) (aw+l)2= (a9-l)2=a18-2a9+l例 5 計(jì)算(2+1) (22+l) (24+l) (28+l).分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太

9、繁，但若添上一項(xiàng)(2-1), 則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).解：原式二(2-1) (2+1) (2?+1) (2,+1) (241)= (2 -1) (22+1) (24+1) (28+1)=(24-1) (24+1) (28+1)=(2-1) (28+1)=216-1(三)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(/6)2=3+24什應(yīng) 可推廣得到：(a+mc) 2=a+l/+c+2at2ac2bc.可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2 倍.例6計(jì)算(2封尸3)之解：原式=(24+，+(-3) 2+2 2x /2 2x(-3) +2 y(-3)=4x +六9+4 孫 12

10、r 6y.(四)、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例7 (1)已知戶片10, y+/=100,求/+/的值；已知：a+2j=7, xj=6,求(尸2的值.分析：粗看似乎無(wú)從下手，但注意到乘法公式的下列變形：y+/= y) 2-2xy9 /+聲(戶y)力3可(廣力，(a+t 2-47,問(wèn)題則十分簡(jiǎn)單.解：,.+/=(廣力。3盯(戶力,將已知條件代入得locmoy燈10, :.7=30 故 jr2+/=(產(chǎn)0 2-2xy=102-2 x 30=40.(2)(方2。2=(戶20 2-8aj=72-8 x6=l.例 8 計(jì)算(a+zhc)(a+z?-c) ?+(a-c)+ (6界。)2.分析：直接展開(kāi)

11、，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變 換出(行6)2+(年8)2=2(3+為，因而問(wèn)題容易解決.解：原式=(a+6) +了+ (/8) -cr+c+(a-8) 2+c(a-8) 了=2()2+c2+2c2+(a-a)2=2 (a+a) 2+ (a62 +4c2=4a2+4h2+4c2(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算(a-23cy- (a+2/?-3c)t分析：若按完全平方公式展開(kāi)，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多.解：原式二+=2 a (-4 從6 (1-9)(1一7),23-4*910若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò).若注 意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式(1-i) (1+1)(1-1)(1+1) xx (1-1)(1+1)=1x 乙，jj1 v/m3 x2 x 4 x9x 9 x11 = 1 x 11 = 112 3 3 io to io - 20 e有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式， 乘法公式的變式主要有：w+6= (a+z?) 22ab, m+6= (a6) ?+2a6等.用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效.如已知研zf7, 0f18,求方+6, /一加療的值.面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，即蘇+刀2=(研加 2-2w=72-2x (-18