福建高考試題文科數(shù)學(xué)

1、 2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（文科）第i卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 復(fù)數(shù)等于（ ）a b c d考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)數(shù)的計(jì)算，直接套用復(fù)數(shù)運(yùn)算公式即可。解答：。2. 已知集合，下列結(jié)論成立的是（ ）a b c d考點(diǎn)：集合交并補(bǔ)的定義。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為集合交集、并集的定義，直接根據(jù)定義選擇即可。解答：，。3. 已知向量，則的充要條件是（ ）a b c d考點(diǎn)：平面向量的垂直。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為平面向

2、量的垂直，若非零向量，則。解答：非零向量。4. 一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個(gè)幾何體不可以是（ ）a球 b三棱錐 c正方體 d圓柱 考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為空間幾何體的三視圖，直接畫(huà)出即可。解答：圓的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖均為圓；三棱錐的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖均為正方形；圓柱的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）為矩形，俯視圖為圓。5. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，則該雙曲線的離心率等于（ ）a b c d考點(diǎn)：雙曲線的離心率。難度：易。分

3、析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為圓錐曲線的性質(zhì)，利用離心率即可。解答：雙曲線中，。6. 閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出值等于（ ）a b c0 d 考點(diǎn)：算法初步。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為算法中流程圖的讀法，直接根據(jù)箭頭的指向運(yùn)算即可。解答： ；結(jié)束。7. 直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)度等于（ ）a b c d1考點(diǎn)：直線和圓。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為直線被圓所截的弦長(zhǎng)，利用幾何意義，。解答： 圖形如圖所示，圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離，所以。8. 函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是（ ）a b c d考點(diǎn)：三角函數(shù)的對(duì)稱性。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)的性質(zhì)

4、，熟記三角函數(shù)的對(duì)稱軸的公式即可。解答：令，則,當(dāng)時(shí)，。9. 設(shè)，則值為（ ）a1 b0 c d考點(diǎn)：分段函數(shù)。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為分段函數(shù)的理解，直接應(yīng)用即可。解答：令。10. 若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）a b1 c d2考點(diǎn)：線性規(guī)劃。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為含參的線性規(guī)劃，需要畫(huà)出可行域的圖形，含參的直線要能畫(huà)出大致圖像。解答：可行域如下：所以，若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則，即。11. 數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則等于（ ）a1006 b2012 c503 d0考點(diǎn)：數(shù)列和三角函數(shù)的周期性。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)的周

5、期性和數(shù)列求和，所以先要找出周期，然后分組計(jì)算和。解答： ， ， ，所以。即。12. 已知，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：；。其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）a b c d考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)。難度：難。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，零點(diǎn)問(wèn)題，要先分析出函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖形來(lái)做。解答：， 導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖像如下：由圖，且，所以。第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13. 在中，已知，則_。【】考點(diǎn)：正弦定理。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為三角形中正弦定理的應(yīng)用。解答：在中，所以解得。14. 一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動(dòng)員98人，其中男運(yùn)動(dòng)員有56人。按男

6、女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是_?！?2】考點(diǎn)：分成抽樣。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為統(tǒng)計(jì)中的分層抽樣，直接按成比例計(jì)算即可。解答：分層抽樣， ，所以。15. 已知關(guān)于的不等式在r上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_?！尽靠键c(diǎn)：一元二次不等式。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為一元二次函數(shù)的圖像，開(kāi)口朝上，無(wú)根即可。解答：令，所以。16. 某地圖規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，求表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小。例

7、如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的路線圖如圖1，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖2，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10?，F(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖3，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為_(kāi)。【16】考點(diǎn)：演繹推理。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為演繹推理，理解題意，直接計(jì)算最小值即可。解答：題目要求聯(lián)通所有的城市，且費(fèi)用最小，則首先連接費(fèi)用最小的城市， 連接方法如下：（1） 連接，此時(shí)聯(lián)通兩個(gè)城市，費(fèi)用為；（2） 再連接，此時(shí)聯(lián)通三個(gè)城市，費(fèi)用為；（3） 再連接，此時(shí)聯(lián)通四個(gè)城市，費(fèi)用為；（4） 再連接，此時(shí)聯(lián)通五個(gè)城市，費(fèi)用為；（5） 再連接，此時(shí)聯(lián)通六個(gè)城市，費(fèi)用為；（6） 再連接，此時(shí)聯(lián)通七個(gè)城

8、市，費(fèi)用為。所以鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為16。三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17. （本小題滿分12分） 在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，的前10項(xiàng)和。（）求和；（）現(xiàn)分別從和的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)的值相等的概率?？键c(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，古典概型。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為演繹推理，等差等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式和古典概型，直接應(yīng)用。解答：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為 則 得：（），各隨機(jī)抽取一項(xiàng)寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件有 共個(gè) 符合題意有共個(gè) 這兩項(xiàng)的值相等的概率為18. （本小題滿分12分）某工

9、廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：（i）求回歸直線方程，其中（ii）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（i）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=銷售收入成本）考點(diǎn)：線性回歸，二次函數(shù)。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線性回歸中回歸直線的求解及二次函數(shù)的最值。解答：（i） （ii）工廠獲得利潤(rùn) 當(dāng)時(shí)，（元） 19. （本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，為棱上的一點(diǎn)。（i）求三棱錐的體積；（ii）當(dāng)取得最小值時(shí)，求證：平面?？键c(diǎn)：立體幾何。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為棱錐的體積

10、，和垂直的判定。解答：（i）點(diǎn)到面的距離為 得：三棱錐的體積（ii）將矩形饒按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)展開(kāi)，與矩形共面 ，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值 在中， 得： 同理：面20. （本小題滿分13分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （i）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（ii）根據(jù)（）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。考點(diǎn)：三角恒等變換。難度：中。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)恒等變換公式的轉(zhuǎn)換及其應(yīng)用。解答：（i）選擇（2）：（ii）三角恒等式為： 21. （本小題滿分12分）如圖，等邊三角形的邊

11、長(zhǎng)為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上。（i）求拋物線的方程；（ii）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)。證明：以為直徑的圓恒過(guò)軸上某定點(diǎn)。考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，定值的證明。難度：難。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及計(jì)算。解答：（i）設(shè)；則 得：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱（lfxlby） 代入拋物線的方程得：拋物線的方程為 （ii）設(shè)；則 過(guò)點(diǎn)的切線方程為即 令 設(shè)滿足：及 得：對(duì)均成立 以為直徑的圓恒過(guò)軸上定點(diǎn)22. （本小題滿分14分）已知函數(shù)且在上的最大值為。（i）求函數(shù)的解析式；（ii）判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明。考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程。難度：難。分析：