工學(xué)現(xiàn)代信號(hào)處理功率譜估計(jì)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1工學(xué)現(xiàn)代信號(hào)處理功率譜估計(jì)工學(xué)現(xiàn)代信號(hào)處理功率譜估計(jì)十、十、 PronyProny譜分析法譜分析法1、利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù)2、 最大熵譜估計(jì)與AR模型譜估計(jì)的等價(jià)性十一、多重信號(hào)分類(lèi)十一、多重信號(hào)分類(lèi)MUSICMUSIC1、最小方差譜估計(jì)2、最大熵譜與最大似然譜估計(jì)的關(guān)系十二、特征分解法譜估計(jì)十二、特征分解法譜估計(jì)1、波束形成器2、特征子空間分析3 、MUSIC算法及其改進(jìn)功率譜估計(jì)功率譜估計(jì)第1頁(yè)/共75頁(yè)一、一、 最大熵譜估計(jì)最大熵譜估計(jì) 1. 1. 利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù)利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù) 按照Shannon對(duì)熵的定義， 當(dāng)隨機(jī)變量X取離散值時(shí)，熵的

2、定義為 (4.6.1) 式中pi是出現(xiàn)狀態(tài)i的概率。當(dāng)X取連續(xù)值時(shí)，熵的定義為 (4.6.2) iiippHln)(lnd)(ln)(xpExxpxpH第2頁(yè)/共75頁(yè)式中, p(x)是X的概率密度函數(shù)，對(duì)于離散隨機(jī)序列, 概率密度函數(shù)用聯(lián)合概率密度函數(shù)代替。顯然,熵代表一種不確定性， 最大熵代表最大的不確定性， 或者說(shuō)最大的隨機(jī)性。下面我們研究對(duì)于有限的自相關(guān)函數(shù)值不作任何改變，對(duì)于未知自相關(guān)函數(shù)用最大熵原則外推，即不作任何附加條件的外推方法。 假設(shè)x(n)是零均值正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機(jī)序列，它的N維高斯概率密度函數(shù)為 XNRXNRxxxpxxHxxNN12/12/21)(21exp)(det)

3、2(),(式中 H21,NxxxX第3頁(yè)/共75頁(yè))0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrrNR按照（4.6.2）式，x(n)信號(hào)的熵為 （4.6.3） 式中det(Rxx(N)表示矩陣Rxx(N)的行列式，由上式表明為使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。 )(det()e2log(2/12/NRHxxN第4頁(yè)/共75頁(yè) 若已知N+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)值rxx(0),rxx(1),rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。設(shè)rxx(N+1)確實(shí)是信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的第N+2個(gè)值，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，由

4、N+2個(gè)自相關(guān)函數(shù)組成的矩陣為 )0() 1 ()() 1()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0() 1(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrNrNrNrNrrrNrNrrrNR（4.6.4） 第5頁(yè)/共75頁(yè)它必須是非負(fù)定的矩陣， 即 0)1(detNRxx（4.6.5） 0)(det,),1 (det),0(detNRRRxxxxxx將行列式展開(kāi)，det(Rxx(N+1)是rxx(N+1)的二次函數(shù)，該二次函數(shù)系數(shù)的符號(hào)是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rxx(N+1)對(duì)rxx(N+1)的二次導(dǎo)數(shù)是-2detRxx(N-1)，它

5、是負(fù)值，負(fù)值表示det (Rxx(N+1)對(duì)rxx(N+1)的一次導(dǎo)數(shù)是減函數(shù)，det(Rxx(N+1)作為rxx(N+1)的函數(shù)，凹口向下，那么只有一個(gè)最大值。為選擇rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程： 0)1(det) 1(ddNRNrxxxx(4.6.6) 第6頁(yè)/共75頁(yè)用數(shù)學(xué)歸納法，得到 （4.6.7） 上式是rxx(N+1)的一次函數(shù)，可以解出rxx(N+1)。繼續(xù)再將rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det(Rxx(N+2)中，求det(Rxx(N+2)對(duì)rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此類(lèi)推，可推出任意多個(gè)其它自相關(guān)函數(shù)值，而不

6、必假設(shè)它們?yōu)榱悖?這就是最大熵譜估計(jì)的基本思想。0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (xxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrr第7頁(yè)/共75頁(yè)2. 最大熵譜估計(jì)與最大熵譜估計(jì)與AR模型譜估計(jì)的等價(jià)性模型譜估計(jì)的等價(jià)性 我們已經(jīng)知道AR模型信號(hào)自相關(guān)函數(shù)與模型參數(shù)服從Yule-Walker方程，即 將m1的情況寫(xiě)成矩陣形式： NkwxxkNkxxkxxkmrakmramr121)()()(m0m=0001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0(21NxxxxxxxxxxxxxxxxxxaarNrNrNrrrNrrr第8頁(yè)/

7、共75頁(yè)式中ai是AR模型系數(shù),i=1, 2, 3, , N, 。在AR模型中,列寫(xiě)齊次方程式,可得（4.6.8） 0) 0() 1()(0) 2() 1 () 2(0) 1() 0() 1 (111xxNxxxxxxNxxxxxxNxxxxraNraNrNrararNrarar及0) 1 ()() 1(1xxNxxxxraNraNr第9頁(yè)/共75頁(yè)利用N個(gè)參數(shù),由齊次方程組即可解得a1,a2,aN值,再將得到的參數(shù)值代入(4.6.8)式,并將它整理成行列式:0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (xxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrr可以

8、看出AR模型得到的結(jié)果與按最大熵外推rxx(N+1)得到的結(jié)果一致，這就證明了當(dāng)x(n)為高斯分布時(shí)的最大熵譜估計(jì)與AR模型法是等價(jià)的。 上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函數(shù)，由此可解得rxx(N+1)。再用類(lèi)似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，然后確定功率譜估計(jì)。第10頁(yè)/共75頁(yè)最大熵譜估計(jì)用下式計(jì)算信號(hào)功率譜： NkkjkwjxxaP12e1)e (（4.6.9） 第11頁(yè)/共75頁(yè)二、最大似然譜估計(jì)二、最大似然譜估計(jì)、最小方差譜估計(jì)、最小方差譜估計(jì) 最大似然譜估計(jì)是用一個(gè)FIR濾波器實(shí)現(xiàn)，該濾波器對(duì)所關(guān)心頻率的正弦信號(hào)，可以無(wú)失真地通過(guò)，而對(duì)于其它頻率的信號(hào)，讓

9、其頻響盡可能地小，亦即將它們盡可能地濾除。此時(shí), 濾波器輸出的均方值，就作為信號(hào)的功率譜估計(jì)。 設(shè)實(shí)信號(hào)用x(n)表示，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)用A(z)表示： pnnznazA0)()(pkpAXknxkananxny0T)()()()()(輸出y(n)為 (4.6.10) 第12頁(yè)/共75頁(yè)式中 TT)(,),1(),()(,),1 (),0(pnxnxnxXpaaaAp輸出信號(hào)的均方值為 ppHppTHppTHpyARAAXXEAAXXAEnyEP| )(|2(4.6.11) 上式中T表示轉(zhuǎn)置, H表示共軛轉(zhuǎn)置, R Rp=EXXT是Toeplith 自相關(guān)矩陣,為求 ,必須先求FIR濾波器

10、的系數(shù)。求這些系數(shù)的原則是：在所關(guān)心頻率i處，信號(hào)x(n)無(wú)失真地通過(guò)， 即在i處的傳輸函數(shù)為1： yP第13頁(yè)/共75頁(yè)piHpnpnAEAnaAiii)()(e1e )()e (jj -0j式中 Hjj2jeee1 pHpiiiE(4.6.12) 另外一個(gè)原則是在i附近的頻率分量盡量衰減掉，即i處, 濾波器輸出y(n)的均方差 最小, 即(4.6.11)式最小, 此時(shí) 作為信號(hào)x(n)的功率譜估計(jì) 。因此, 最大似然譜估計(jì)稱(chēng)為最小方差譜估計(jì)更為合適，但由于習(xí)慣也可以仍稱(chēng)為最大似然譜估計(jì)。在以上原則下，使方差 最小的濾波器系數(shù)和 分別為30、 31 yPyPxPyPxP第14頁(yè)/共75頁(yè)應(yīng)該

11、指出,此時(shí) 并不是真正意義上的信號(hào)功率譜, 只是描述了信號(hào)功率譜的相對(duì)強(qiáng)度。 yP)()()(1)()()(111ippiHpyxipiHpipppEREPPREERA第15頁(yè)/共75頁(yè) NiMEMMLMiPNnP11),(/11),(2、最大熵譜與最大似然譜估計(jì)的關(guān)系伯格證明了最大熵譜PMEM與最大似然譜PMLM估計(jì)的關(guān)系從上式可知最大似然譜估計(jì)相當(dāng)于從最大熵譜估計(jì)的最低分辨率到最高分辨率的平均，所以最大熵譜估計(jì)的分辨率要比最大似然譜估計(jì)的分辨率高。但最大似然譜具有更大的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性，對(duì)模型階數(shù)的依賴(lài)性要小于最大熵譜估計(jì)。另外在最大熵譜估計(jì)中提到，它的最大缺點(diǎn)就是求得最佳頻率成分后，其相應(yīng)的振

12、幅值并不代表原來(lái)的振幅值，尚須用其他辦法來(lái)近似確定。通過(guò)其他兩位同學(xué)的介紹，我們知道，頻譜估計(jì)中，振幅譜常用傅立葉變換（傳統(tǒng)法）求得，功率譜可通過(guò)振幅譜的平方求得，另外也可通過(guò)自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換求得。隨機(jī)信號(hào)一般只作功率譜估計(jì)，所以功率譜估計(jì)在譜估計(jì)中占有重要地位。它的主要缺點(diǎn)是失去了相位信息，因此光靠功率譜是無(wú)法恢復(fù)信號(hào)的。第16頁(yè)/共75頁(yè)三、三、 特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì) 4.7.1 4.7.1 正弦波用退化正弦波用退化ARAR模型表示模型表示 無(wú)論是實(shí)正弦波還是復(fù)正弦波，都可以用一個(gè)退化AR模型表示，設(shè)P個(gè)實(shí)正弦波組成的信號(hào)用下式表示： )(sin)(1iiPiinqnx（

13、4.7.1） 式中，初相位i是在區(qū)間（-，）均勻分布的隨機(jī)變量， 首先分析下面的三角恒等式： ) 1(sincos2)2(sin)sin(nnn- 第17頁(yè)/共75頁(yè)令x(n)=sin(n+), 則上式變?yōu)?)2() 1(cos2)(nxnxnx（4.7.2） 將上式進(jìn)行Z變換，得到 0)cos21)(21zzzX（4.7.3） 這樣(4.7.2)式的特征多項(xiàng)式為 0cos2121zz（4.7.4） 第18頁(yè)/共75頁(yè)上式的兩個(gè)根分別是:z1=ej,z2=e-j,它們共軛成對(duì)，且模為1。 由這兩個(gè)根可以確定正弦波的頻率。對(duì)比AR模型的系統(tǒng)函數(shù)， 可以把正弦波信號(hào)用一個(gè)特殊的AR（2）模型表示，

14、括弧中的2表示模型是二階的。該AR模型的激勵(lì)白噪聲方差趨于0，極點(diǎn)趨于單位圓。通常稱(chēng)為退化的AR模型。這一模型系數(shù)有兩個(gè)，即2 cos和1，（4.7.2）式是模型的差分方程。 第19頁(yè)/共75頁(yè)對(duì)于P個(gè)實(shí)正弦波, 特征多項(xiàng)式是 0)cos21 (121piizz（4.7.5） 上式是z-1的2P階多項(xiàng)式，可以表示為 10020azaPkkk（4.7.6） 注意上式中的系數(shù)ak(k=1,2,3,2P),必須保證它的根共軛成對(duì)?？紤]到根共軛成對(duì)，也可表示為 PiiiPkkkzzzzza1*20)(（4.7.7） 第20頁(yè)/共75頁(yè)這樣由(4.7.6)式，P個(gè)正弦波組合的模型用下面2P階差分方程描述

15、 Pkkknxanx21)()(（4.7.8） 對(duì)于復(fù)正弦波情況，P個(gè)復(fù)正弦波組成的信號(hào)是 Piniiiqnx1)j(e)(（4.7.9） 用一個(gè)退化的AR（p）模型表示的差分方程為 pikn-kxanx1)()(（4.7.10） 第21頁(yè)/共75頁(yè)其特征多項(xiàng)式為 1000azaPkkk(4.7.11) 其根為 ijize1iP 注意這里的根不是共軛成對(duì)出現(xiàn)的。 總結(jié)以上P個(gè)正弦波組合是一個(gè)退化的AR(2P)過(guò)程，獨(dú)立參量個(gè)數(shù)為P個(gè)；P個(gè)復(fù)正弦波的組合是退化的AR（P）過(guò)程， 獨(dú)立參量個(gè)數(shù)仍為P個(gè)。實(shí)正弦過(guò)程相應(yīng)的退化AR過(guò)程的階數(shù)比復(fù)正弦情況的階數(shù)高1倍。 第22頁(yè)/共75頁(yè)4.7.2 4.

16、7.2 白噪聲中正弦波組合用一特殊的白噪聲中正弦波組合用一特殊的ARMAARMA模型表示模型表示 白噪聲中正弦波組合的信號(hào)為 )()sin()()()(1nwnqnwnxnyPiiii（4.7.12） 式中，w(n)為白噪聲, 且 0)()(,)()(, 0)(,2lwnxElwnwEnwElnw將(4.7.12)式中x(n)的用AR(2P)表示，即將(4.7.8)式帶入(4.7.12)式中， 得到 )()()(21nwinxanyPii（4.7.13） 第23頁(yè)/共75頁(yè)將（4.7.12）式中的n用n-i代替, x(n-i)=y(n-i)-w(n-i) 再將上式帶入 (4.7.13)式, 得

17、到 PiiPiiinwanwinyany2121)()()()(4.7.14) 上式可以看成一個(gè)特殊的ARMA(2P,2P)模型，括弧中的兩個(gè)2P分別表示ARMA模型系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的階次。它與一般的ARMA模型比較，有三方面不同： 第24頁(yè)/共75頁(yè) (1) 它的AR部分和MA部分具有相同的參數(shù)，它們存在共同的因子； (2) 由于特征多項(xiàng)式(4.7.6)式的根的模為1，故AR部分特征多項(xiàng)式不滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，MA部分特征多項(xiàng)式也不滿(mǎn)足可逆性條件； （3）AR部分的y(n)=x(n)+w(n)，y(n)是含白噪聲的觀測(cè)值，而通常為信號(hào)的x(n)不含白噪聲。 第25頁(yè)/共75頁(yè)4.7.3 4.7

18、.3 特征分解法譜估計(jì)特征分解法譜估計(jì) 這種特殊的ARMA模型結(jié)構(gòu)，不能用一般的ARMA模型結(jié)構(gòu)求解。下面介紹特征分解技術(shù)。 將（4.7.14）式寫(xiě)成矩陣形式： YTA=WTA (4.7.15) 式中 TT221T)2(,),1(),(, 1 )2(,),1(),(pnwnwnwWaaaApnynynyYp第26頁(yè)/共75頁(yè)用向量Y左乘(4.7.15)式, 并取數(shù)學(xué)期望, 得到 E EYY YY TA A=EYWYW TA (4.7.16) 式中 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyRrprprprrrprrrYYE)0() 12()2() 12()0() 1 ()2() 1()0(TIW

19、WEWWXEYWEw2TTT)(第27頁(yè)/共75頁(yè)將上面關(guān)系式帶入(4.7.16)式, 得到AARwyy2(4.7.17) 式中,w2是自相關(guān)函數(shù)R Ryy的特征值; A A是對(duì)應(yīng)w2的特征矢量。 由于x(n)與w(n)互不相關(guān)，由（4.7.12）式求y(n)的自相關(guān)函數(shù), 得到 IRRwxxyy2式中Rxx是x(n)的自相關(guān)函數(shù), 可以推導(dǎo)出在特征方程(4.7.17)式中, w2是Ryy的最小特征值,且Ryy的階數(shù)超過(guò)(2P+1)(2P+1)時(shí)， w2就是其多重最小特征值。這一結(jié)論為我們尋求向量A提供了重要的依據(jù)。 (4.7.18) 第28頁(yè)/共75頁(yè) 當(dāng)特征向量A求出后，就可以通過(guò)解特征方

20、程，解出各個(gè)根，求出各正弦波的頻率值，特征方程為 0122221120PPPkkkzazazaza（4.7.19） 該方程有2P個(gè)根，這些根在z平面的單位圓上，它們是 iizjei=1, 2, 3, , 2P （4.7.20） 式中的i即是正弦波的頻率。當(dāng)各正弦頻率由(4.7.19)式求出后, 各正弦波的功率也可以求出, 對(duì)于白噪聲中P個(gè)實(shí)正弦組合信號(hào), 它的自相關(guān)函數(shù)為 PiiwyyPr12)0(（4.7.21） 第29頁(yè)/共75頁(yè)mPmriPiiyycos)(1m0 (4.7.22) 式中 qi是頻率為i的正弦波的幅度，Pi是其功率。 將(4.7.22)式寫(xiě)成矩陣形式:FP=r (4.7.

21、23) 式中 PPPPPPFcoscoscos2cos2cos2coscoscoscos212121(4.7.24) 第30頁(yè)/共75頁(yè)P(yáng)T=P1, P2, , PP )(,),2(),1 (TPrrrryyyyyy(4.7.25) (4.7.26) 由于各正弦波的頻率已求出, 矩陣F, r已知, 由(4.7.23)式解出各正弦波的功率或幅度。 最后噪聲功率由下式求出: piiyywPr12)0(4.7.27) 以上就是皮薩論科譜分解法的全過(guò)程。第31頁(yè)/共75頁(yè)第32頁(yè)/共75頁(yè)第33頁(yè)/共75頁(yè)第34頁(yè)/共75頁(yè)第35頁(yè)/共75頁(yè)第36頁(yè)/共75頁(yè)第37頁(yè)/共75頁(yè)第38頁(yè)/共75頁(yè)第39

22、頁(yè)/共75頁(yè)第40頁(yè)/共75頁(yè)第41頁(yè)/共75頁(yè)第42頁(yè)/共75頁(yè)第43頁(yè)/共75頁(yè)多重信號(hào)分類(lèi)多重信號(hào)分類(lèi)MUSICMUSIC -現(xiàn)代譜估計(jì)的應(yīng)用現(xiàn)代譜估計(jì)的應(yīng)用第44頁(yè)/共75頁(yè)第45頁(yè)/共75頁(yè)第46頁(yè)/共75頁(yè)第47頁(yè)/共75頁(yè)第48頁(yè)/共75頁(yè)MUSIC MUSIC 算法作為一種經(jīng)典的高分辨的波達(dá)方向估算法作為一種經(jīng)典的高分辨的波達(dá)方向估計(jì)算法，與傳統(tǒng)測(cè)向方法相比，它具有很高的分計(jì)算法，與傳統(tǒng)測(cè)向方法相比，它具有很高的分辨率辨率第49頁(yè)/共75頁(yè)第50頁(yè)/共75頁(yè)( )is n( )is niiiwiw(1)( )ij kwis n e( )is n2siniidw第51頁(yè)/共75頁(yè)

23、( )kx n( )is n( )is n1( )() ( )( )( ) ( )( )piiix na w s ne nA w s ne n1( )() ( )( );pkkiikix na w s ne n1,.,km(1)1( )1,.,( ),.,( )iijwj mwTiTimiaeeaa第52頁(yè)/共75頁(yè)iw(1)kx()kxN第53頁(yè)/共75頁(yè)21,.,Tmwww第54頁(yè)/共75頁(yè)*1( )( )( )mHiiiz nw x nw x n221111( )( )( )( )( )NNHHHHxxnnP wz nw x nw E x n xnww R wNN1( )( )NHxxn

24、RE x n xn第55頁(yè)/共75頁(yè)min()()1HwHHkkw Rww a waw w第56頁(yè)/共75頁(yè)( )1()HHxxkJ ww R ww a w()0 xxkR wa wHw1()optxxkwR a w()1Hkaw w 11()()Hkxxkaw R a w11()()()xxkoptHkxxkR a wwaw R a w第57頁(yè)/共75頁(yè)optw11111()()()()()()()1()()HHHkxxxxkxxHHkxxkkxxkHkxxkawRR a wPw RwRaw R a waw R a waw R a w11( )( )( )HxxPaR a1,.,pww第58頁(yè)/共75頁(yè)( )( ) ( )( )x nA w s ne niw()ia w2( )( )HPE s