工學現(xiàn)代信號處理功率譜估計PPT學習教案

1、會計學1工學現(xiàn)代信號處理功率譜估計工學現(xiàn)代信號處理功率譜估計十、十、 PronyProny譜分析法譜分析法1、利用最大熵的原則外推自相關函數(shù)2、 最大熵譜估計與AR模型譜估計的等價性十一、多重信號分類十一、多重信號分類MUSICMUSIC1、最小方差譜估計2、最大熵譜與最大似然譜估計的關系十二、特征分解法譜估計十二、特征分解法譜估計1、波束形成器2、特征子空間分析3 、MUSIC算法及其改進功率譜估計功率譜估計第1頁/共75頁一、一、 最大熵譜估計最大熵譜估計 1. 1. 利用最大熵的原則外推自相關函數(shù)利用最大熵的原則外推自相關函數(shù) 按照Shannon對熵的定義， 當隨機變量X取離散值時，熵的

2、定義為 (4.6.1) 式中pi是出現(xiàn)狀態(tài)i的概率。當X取連續(xù)值時，熵的定義為 (4.6.2) iiippHln)(lnd)(ln)(xpExxpxpH第2頁/共75頁式中, p(x)是X的概率密度函數(shù)，對于離散隨機序列, 概率密度函數(shù)用聯(lián)合概率密度函數(shù)代替。顯然,熵代表一種不確定性， 最大熵代表最大的不確定性， 或者說最大的隨機性。下面我們研究對于有限的自相關函數(shù)值不作任何改變，對于未知自相關函數(shù)用最大熵原則外推，即不作任何附加條件的外推方法。 假設x(n)是零均值正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機序列，它的N維高斯概率密度函數(shù)為 XNRXNRxxxpxxHxxNN12/12/21)(21exp)(det)

3、2(),(式中 H21,NxxxX第3頁/共75頁)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrrNR按照（4.6.2）式，x(n)信號的熵為 （4.6.3） 式中det(Rxx(N)表示矩陣Rxx(N)的行列式，由上式表明為使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。 )(det()e2log(2/12/NRHxxN第4頁/共75頁 若已知N+1個自相關函數(shù)值rxx(0),rxx(1),rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。設rxx(N+1)確實是信號自相關函數(shù)的第N+2個值，根據(jù)自相關函數(shù)的性質，由

4、N+2個自相關函數(shù)組成的矩陣為 )0() 1 ()() 1()() 1()0() 1 () 1()() 1 ()0() 1(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrNrNrNrNrrrNrNrrrNR（4.6.4） 第5頁/共75頁它必須是非負定的矩陣， 即 0)1(detNRxx（4.6.5） 0)(det,),1 (det),0(detNRRRxxxxxx將行列式展開，det(Rxx(N+1)是rxx(N+1)的二次函數(shù)，該二次函數(shù)系數(shù)的符號是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rxx(N+1)對rxx(N+1)的二次導數(shù)是-2detRxx(N-1)，它

5、是負值，負值表示det (Rxx(N+1)對rxx(N+1)的一次導數(shù)是減函數(shù)，det(Rxx(N+1)作為rxx(N+1)的函數(shù)，凹口向下，那么只有一個最大值。為選擇rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程： 0)1(det) 1(ddNRNrxxxx(4.6.6) 第6頁/共75頁用數(shù)學歸納法，得到 （4.6.7） 上式是rxx(N+1)的一次函數(shù)，可以解出rxx(N+1)。繼續(xù)再將rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det(Rxx(N+2)中，求det(Rxx(N+2)對rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此類推，可推出任意多個其它自相關函數(shù)值，而不

6、必假設它們?yōu)榱悖?這就是最大熵譜估計的基本思想。0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (xxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrr第7頁/共75頁2. 最大熵譜估計與最大熵譜估計與AR模型譜估計的等價性模型譜估計的等價性 我們已經(jīng)知道AR模型信號自相關函數(shù)與模型參數(shù)服從Yule-Walker方程，即 將m1的情況寫成矩陣形式： NkwxxkNkxxkxxkmrakmramr121)()()(m0m=0001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0(21NxxxxxxxxxxxxxxxxxxaarNrNrNrrrNrrr第8頁/

7、共75頁式中ai是AR模型系數(shù),i=1, 2, 3, , N, 。在AR模型中,列寫齊次方程式,可得（4.6.8） 0) 0() 1()(0) 2() 1 () 2(0) 1() 0() 1 (111xxNxxxxxxNxxxxxxNxxxxraNraNrNrararNrarar及0) 1 ()() 1(1xxNxxxxraNraNr第9頁/共75頁利用N個參數(shù),由齊次方程組即可解得a1,a2,aN值,再將得到的參數(shù)值代入(4.6.8)式,并將它整理成行列式:0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (xxxxxxxxxxxxxxxxxxrNrNrNrrrNrrr可以

8、看出AR模型得到的結果與按最大熵外推rxx(N+1)得到的結果一致，這就證明了當x(n)為高斯分布時的最大熵譜估計與AR模型法是等價的。 上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函數(shù)，由此可解得rxx(N+1)。再用類似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，然后確定功率譜估計。第10頁/共75頁最大熵譜估計用下式計算信號功率譜： NkkjkwjxxaP12e1)e (（4.6.9） 第11頁/共75頁二、最大似然譜估計二、最大似然譜估計、最小方差譜估計、最小方差譜估計 最大似然譜估計是用一個FIR濾波器實現(xiàn)，該濾波器對所關心頻率的正弦信號，可以無失真地通過，而對于其它頻率的信號，讓

9、其頻響盡可能地小，亦即將它們盡可能地濾除。此時, 濾波器輸出的均方值，就作為信號的功率譜估計。 設實信號用x(n)表示，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)用A(z)表示： pnnznazA0)()(pkpAXknxkananxny0T)()()()()(輸出y(n)為 (4.6.10) 第12頁/共75頁式中 TT)(,),1(),()(,),1 (),0(pnxnxnxXpaaaAp輸出信號的均方值為 ppHppTHppTHpyARAAXXEAAXXAEnyEP| )(|2(4.6.11) 上式中T表示轉置, H表示共軛轉置, R Rp=EXXT是Toeplith 自相關矩陣,為求 ,必須先求FIR濾波器

10、的系數(shù)。求這些系數(shù)的原則是：在所關心頻率i處，信號x(n)無失真地通過， 即在i處的傳輸函數(shù)為1： yP第13頁/共75頁piHpnpnAEAnaAiii)()(e1e )()e (jj -0j式中 Hjj2jeee1 pHpiiiE(4.6.12) 另外一個原則是在i附近的頻率分量盡量衰減掉，即i處, 濾波器輸出y(n)的均方差 最小, 即(4.6.11)式最小, 此時 作為信號x(n)的功率譜估計 。因此, 最大似然譜估計稱為最小方差譜估計更為合適，但由于習慣也可以仍稱為最大似然譜估計。在以上原則下，使方差 最小的濾波器系數(shù)和 分別為30、 31 yPyPxPyPxP第14頁/共75頁應該

11、指出,此時 并不是真正意義上的信號功率譜, 只是描述了信號功率譜的相對強度。 yP)()()(1)()()(111ippiHpyxipiHpipppEREPPREERA第15頁/共75頁 NiMEMMLMiPNnP11),(/11),(2、最大熵譜與最大似然譜估計的關系伯格證明了最大熵譜PMEM與最大似然譜PMLM估計的關系從上式可知最大似然譜估計相當于從最大熵譜估計的最低分辨率到最高分辨率的平均，所以最大熵譜估計的分辨率要比最大似然譜估計的分辨率高。但最大似然譜具有更大的統(tǒng)計穩(wěn)定性，對模型階數(shù)的依賴性要小于最大熵譜估計。另外在最大熵譜估計中提到，它的最大缺點就是求得最佳頻率成分后，其相應的振

12、幅值并不代表原來的振幅值，尚須用其他辦法來近似確定。通過其他兩位同學的介紹，我們知道，頻譜估計中，振幅譜常用傅立葉變換（傳統(tǒng)法）求得，功率譜可通過振幅譜的平方求得，另外也可通過自相關函數(shù)的傅立葉變換求得。隨機信號一般只作功率譜估計，所以功率譜估計在譜估計中占有重要地位。它的主要缺點是失去了相位信息，因此光靠功率譜是無法恢復信號的。第16頁/共75頁三、三、 特征分解法譜估計特征分解法譜估計 4.7.1 4.7.1 正弦波用退化正弦波用退化ARAR模型表示模型表示 無論是實正弦波還是復正弦波，都可以用一個退化AR模型表示，設P個實正弦波組成的信號用下式表示： )(sin)(1iiPiinqnx（

13、4.7.1） 式中，初相位i是在區(qū)間（-，）均勻分布的隨機變量， 首先分析下面的三角恒等式： ) 1(sincos2)2(sin)sin(nnn- 第17頁/共75頁令x(n)=sin(n+), 則上式變?yōu)?)2() 1(cos2)(nxnxnx（4.7.2） 將上式進行Z變換，得到 0)cos21)(21zzzX（4.7.3） 這樣(4.7.2)式的特征多項式為 0cos2121zz（4.7.4） 第18頁/共75頁上式的兩個根分別是:z1=ej,z2=e-j,它們共軛成對，且模為1。 由這兩個根可以確定正弦波的頻率。對比AR模型的系統(tǒng)函數(shù)， 可以把正弦波信號用一個特殊的AR（2）模型表示，

14、括弧中的2表示模型是二階的。該AR模型的激勵白噪聲方差趨于0，極點趨于單位圓。通常稱為退化的AR模型。這一模型系數(shù)有兩個，即2 cos和1，（4.7.2）式是模型的差分方程。 第19頁/共75頁對于P個實正弦波, 特征多項式是 0)cos21 (121piizz（4.7.5） 上式是z-1的2P階多項式，可以表示為 10020azaPkkk（4.7.6） 注意上式中的系數(shù)ak(k=1,2,3,2P),必須保證它的根共軛成對?？紤]到根共軛成對，也可表示為 PiiiPkkkzzzzza1*20)(（4.7.7） 第20頁/共75頁這樣由(4.7.6)式，P個正弦波組合的模型用下面2P階差分方程描述

15、 Pkkknxanx21)()(（4.7.8） 對于復正弦波情況，P個復正弦波組成的信號是 Piniiiqnx1)j(e)(（4.7.9） 用一個退化的AR（p）模型表示的差分方程為 pikn-kxanx1)()(（4.7.10） 第21頁/共75頁其特征多項式為 1000azaPkkk(4.7.11) 其根為 ijize1iP 注意這里的根不是共軛成對出現(xiàn)的。 總結以上P個正弦波組合是一個退化的AR(2P)過程，獨立參量個數(shù)為P個；P個復正弦波的組合是退化的AR（P）過程， 獨立參量個數(shù)仍為P個。實正弦過程相應的退化AR過程的階數(shù)比復正弦情況的階數(shù)高1倍。 第22頁/共75頁4.7.2 4.

16、7.2 白噪聲中正弦波組合用一特殊的白噪聲中正弦波組合用一特殊的ARMAARMA模型表示模型表示 白噪聲中正弦波組合的信號為 )()sin()()()(1nwnqnwnxnyPiiii（4.7.12） 式中，w(n)為白噪聲, 且 0)()(,)()(, 0)(,2lwnxElwnwEnwElnw將(4.7.12)式中x(n)的用AR(2P)表示，即將(4.7.8)式帶入(4.7.12)式中， 得到 )()()(21nwinxanyPii（4.7.13） 第23頁/共75頁將（4.7.12）式中的n用n-i代替, x(n-i)=y(n-i)-w(n-i) 再將上式帶入 (4.7.13)式, 得

17、到 PiiPiiinwanwinyany2121)()()()(4.7.14) 上式可以看成一個特殊的ARMA(2P,2P)模型，括弧中的兩個2P分別表示ARMA模型系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的階次。它與一般的ARMA模型比較，有三方面不同： 第24頁/共75頁 (1) 它的AR部分和MA部分具有相同的參數(shù)，它們存在共同的因子； (2) 由于特征多項式(4.7.6)式的根的模為1，故AR部分特征多項式不滿足平穩(wěn)性條件，MA部分特征多項式也不滿足可逆性條件； （3）AR部分的y(n)=x(n)+w(n)，y(n)是含白噪聲的觀測值，而通常為信號的x(n)不含白噪聲。 第25頁/共75頁4.7.3 4.7

18、.3 特征分解法譜估計特征分解法譜估計 這種特殊的ARMA模型結構，不能用一般的ARMA模型結構求解。下面介紹特征分解技術。 將（4.7.14）式寫成矩陣形式： YTA=WTA (4.7.15) 式中 TT221T)2(,),1(),(, 1 )2(,),1(),(pnwnwnwWaaaApnynynyYp第26頁/共75頁用向量Y左乘(4.7.15)式, 并取數(shù)學期望, 得到 E EYY YY TA A=EYWYW TA (4.7.16) 式中 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyRrprprprrrprrrYYE)0() 12()2() 12()0() 1 ()2() 1()0(TIW

19、WEWWXEYWEw2TTT)(第27頁/共75頁將上面關系式帶入(4.7.16)式, 得到AARwyy2(4.7.17) 式中,w2是自相關函數(shù)R Ryy的特征值; A A是對應w2的特征矢量。 由于x(n)與w(n)互不相關，由（4.7.12）式求y(n)的自相關函數(shù), 得到 IRRwxxyy2式中Rxx是x(n)的自相關函數(shù), 可以推導出在特征方程(4.7.17)式中, w2是Ryy的最小特征值,且Ryy的階數(shù)超過(2P+1)(2P+1)時， w2就是其多重最小特征值。這一結論為我們尋求向量A提供了重要的依據(jù)。 (4.7.18) 第28頁/共75頁 當特征向量A求出后，就可以通過解特征方

20、程，解出各個根，求出各正弦波的頻率值，特征方程為 0122221120PPPkkkzazazaza（4.7.19） 該方程有2P個根，這些根在z平面的單位圓上，它們是 iizjei=1, 2, 3, , 2P （4.7.20） 式中的i即是正弦波的頻率。當各正弦頻率由(4.7.19)式求出后, 各正弦波的功率也可以求出, 對于白噪聲中P個實正弦組合信號, 它的自相關函數(shù)為 PiiwyyPr12)0(（4.7.21） 第29頁/共75頁mPmriPiiyycos)(1m0 (4.7.22) 式中 qi是頻率為i的正弦波的幅度，Pi是其功率。 將(4.7.22)式寫成矩陣形式:FP=r (4.7.

21、23) 式中 PPPPPPFcoscoscos2cos2cos2coscoscoscos212121(4.7.24) 第30頁/共75頁PT=P1, P2, , PP )(,),2(),1 (TPrrrryyyyyy(4.7.25) (4.7.26) 由于各正弦波的頻率已求出, 矩陣F, r已知, 由(4.7.23)式解出各正弦波的功率或幅度。 最后噪聲功率由下式求出: piiyywPr12)0(4.7.27) 以上就是皮薩論科譜分解法的全過程。第31頁/共75頁第32頁/共75頁第33頁/共75頁第34頁/共75頁第35頁/共75頁第36頁/共75頁第37頁/共75頁第38頁/共75頁第39

22、頁/共75頁第40頁/共75頁第41頁/共75頁第42頁/共75頁第43頁/共75頁多重信號分類多重信號分類MUSICMUSIC -現(xiàn)代譜估計的應用現(xiàn)代譜估計的應用第44頁/共75頁第45頁/共75頁第46頁/共75頁第47頁/共75頁第48頁/共75頁MUSIC MUSIC 算法作為一種經(jīng)典的高分辨的波達方向估算法作為一種經(jīng)典的高分辨的波達方向估計算法，與傳統(tǒng)測向方法相比，它具有很高的分計算法，與傳統(tǒng)測向方法相比，它具有很高的分辨率辨率第49頁/共75頁第50頁/共75頁( )is n( )is niiiwiw(1)( )ij kwis n e( )is n2siniidw第51頁/共75頁

23、( )kx n( )is n( )is n1( )() ( )( )( ) ( )( )piiix na w s ne nA w s ne n1( )() ( )( );pkkiikix na w s ne n1,.,km(1)1( )1,.,( ),.,( )iijwj mwTiTimiaeeaa第52頁/共75頁iw(1)kx()kxN第53頁/共75頁21,.,Tmwww第54頁/共75頁*1( )( )( )mHiiiz nw x nw x n221111( )( )( )( )( )NNHHHHxxnnP wz nw x nw E x n xnww R wNN1( )( )NHxxn

24、RE x n xn第55頁/共75頁min()()1HwHHkkw Rww a waw w第56頁/共75頁( )1()HHxxkJ ww R ww a w()0 xxkR wa wHw1()optxxkwR a w()1Hkaw w 11()()Hkxxkaw R a w11()()()xxkoptHkxxkR a wwaw R a w第57頁/共75頁optw11111()()()()()()()1()()HHHkxxxxkxxHHkxxkkxxkHkxxkawRR a wPw RwRaw R a waw R a waw R a w11( )( )( )HxxPaR a1,.,pww第58頁/共75頁( )( ) ( )( )x nA w s ne niw()ia w2( )( )HPE s