定積分的幾何應(yīng)用 和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

1、第五章第五章 第六節(jié)第六節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用（一）（一） 平面圖形的面積平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形2.2.極坐標(biāo)方程的情形極坐標(biāo)方程的情形（二）（二） 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積回顧：基本積分公式回顧：基本積分公式 cdx0)1 cxdxx111)2 cxdxxln1)3 )1, 0(ln)4aacaadxaxx cedxexx)5 cxxdxcossin)6 cxxdxsincos)7cxxdx tansec)82 cxxdxcotcsc)92 cxxdxxsectansec)10 cxxdxxcsccotcsc)11 cxxdxarcsin1)122 cxx

2、dxarctan1)1321. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfa)(曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下:（1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成 n 個(gè)長度為個(gè)長度為ix 的小區(qū)間，相的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為應(yīng)的曲邊梯形被分為 n 個(gè)小窄曲邊梯形，第個(gè)小窄曲邊梯形，第 i 個(gè)小窄個(gè)小窄曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為ia ，則，則 niiaa1. （2）計(jì)算）計(jì)算

3、ia 的近似值的近似值iiixfa )( iix （3） 求和，得求和，得a的近似值的近似值.)(1iinixfa ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得a的精確值的精確值iinixxfa)(lim10 badxxf)( 若用若用a 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 aa，并取，并取dxxfa)( ，于是于是 dxxfa)( dxxfa)(lim baxda)(xdxx da面積微元面積微元.)( badxxf注意：注意：仿此可得圖仿此可得圖1的面積：的面積：yxocda dcydaa)( yx=f(y)xyo)(1xfy )

4、(2xfy ab badxxfxfa)()(12x圖圖2的面積：的面積：（圖（圖1）（圖（圖2）.)( dcdyyf上曲線減下曲線對(duì)上曲線減下曲線對(duì)x積分。積分。y+dyx+dx（圖（圖3）的面積：）的面積：yxoabxy=f(x)（圖（圖3）.| )(|)( babadxxfxdaayxo（圖（圖4）cd)(yx （圖（圖4）的面積：）的面積：.| )(|)( dcdcdyyydaa yyxocdax=f(y)（圖（圖5）x=g(y) dcdyygyfa)()(右曲線減左曲線對(duì)右曲線減左曲線對(duì)y積分。積分。一般解題步驟：一般解題步驟：（1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；（2）解必要的交點(diǎn)

5、，定積分限；）解必要的交點(diǎn)，定積分限；（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。注意：答案永遠(yuǎn)為正。注意：答案永遠(yuǎn)為正。例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解).4 , 8(),2, 2( 422xyxy為為積積分分變變量量。以以xxy22 4 xy21aaa 先求兩曲線的交點(diǎn)。先求兩曲線的交點(diǎn)。，0,2 x2,8, x.18

6、822)4(2( dxxxa 201)2(2( dxxxa解法解法2選選 為積分變量為積分變量y4, 2 yxy22 4 xy.18)24(422 ydyya).4 , 8(),2, 2( 422xyxy顯然解法顯然解法2簡(jiǎn)單！簡(jiǎn)單！選擇合適的積分變量是重要的。選擇合適的積分變量是重要的。解解設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為. 12222 byax由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的由對(duì)稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍倍a adxaxb02214td tabtaxsincos420sin .ab 以以x為積分變量，得為積分變量，得 adxxy0)(4 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線

7、、 圍成一圍成一曲邊扇形曲邊扇形，求其面積這里，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 曲邊扇形面積微元曲邊扇形面積微元 dda2)(21 曲邊扇形的面積公式曲邊扇形的面積公式.)(212 da 2. 2. 極坐標(biāo)方程的情形極坐標(biāo)方程的情形)( r解解由對(duì)稱性知，總面積由對(duì)稱性知，總面積=第一象限部分面積的第一象限部分面積的4倍。倍。a.2a xy 2cos22a dr )(214402 da2cos214402 解解利用對(duì)稱性知，所求面積利用對(duì)稱性知，所求面積為上半部的兩倍，為上半部的兩倍，.232a d d2)cos1( 02212aa d)coscos21(

8、2 02a圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直由一個(gè)平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這條直線叫做線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸取取 x 為為積積分分變變量量， 族族分分割割旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體成成薄薄片片，軸軸的的平平面面即即以以垂垂直直于于 x則則體體積積元元素素為為 dxydv2 旋轉(zhuǎn)體的體積公式旋轉(zhuǎn)體的體積公式dxxfvba2)( .,bax dxxf2)( 推導(dǎo)推導(dǎo)xyodxx x)(xfy 類類似似地地，建建立立由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線 x= (y)、直直線線 y=c、y=d 及及 y 軸軸所所圍圍曲曲邊邊

9、梯梯形形繞繞 y 軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積計(jì)計(jì)算算公公式式 xyo)(yx cddyy2)( dcvyyr解解hpxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為opdxxhrdv2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr yrhpxo 如圖由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)如圖由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故只需考慮其第一象限內(nèi)的稱，故只需考慮其第一象限內(nèi)的曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。轉(zhuǎn)體的體積。 求橢圓求橢圓 分別繞分別繞 軸與軸與 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)

10、而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。的旋轉(zhuǎn)體的體積。12222 byaxxy 例例7 7 解解22ybbax b22xaaby xy0aa b （1）繞）繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：xdxyvax 0 22dxxaaba)(222 0 22 234ab axxaab03222312 （2）繞）繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：ydyybbab)(222 0 22 dyxvby 0 22ba234 byybba03222312 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，得半徑為時(shí)，得半徑為 的球體積的球體積 ba a.343av xoabxdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體

11、，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xa表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xa為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxadv .)( badxxav立體體積立體體積三、平行截面面積已知的立體的體積三、平行截面面積已知的立體的體積rr xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22

12、xrxa 立體體積立體體積dxxrvrr tan)(2122 .tan323 r 作作 業(yè)業(yè)p171. 1.（1）（）（2） 4 5 .（1） 6一、由邊際函數(shù)求原函數(shù)一、由邊際函數(shù)求原函數(shù)二、由變化率求總量二、由變化率求總量三、收益流的現(xiàn)值和將來值（次要）三、收益流的現(xiàn)值和將來值（次要）第七節(jié)第七節(jié) 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用一、由邊際函數(shù)求原函數(shù)一、由邊際函數(shù)求原函數(shù)xdxxccxc0)()0()(dxxx)257(10000 xxx05071000 xx5071000解解xxc257)(例例1 1 已知邊際成本為已知邊際成本為固定成本為固定成本為1000,1000,求總成本函數(shù)。求

13、總成本函數(shù)。二、由變化率求總量tttx12100)(2t例例2 2 某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻 的總產(chǎn)量變化的總產(chǎn)量變化率為率為 ( (單位單位/ /小時(shí)小時(shí)) )。求由。求由 到到 這兩小時(shí)的總產(chǎn)量。這兩小時(shí)的總產(chǎn)量。 4tdttdttxq)12100()(42422726100422t解解三、收益流的現(xiàn)值和將來值三、收益流的現(xiàn)值和將來值收益流收益流 收益若是連續(xù)地獲得，則收益可被看收益若是連續(xù)地獲得，則收益可被看作是一種隨時(shí)間連續(xù)變化的收益流。作是一種隨時(shí)間連續(xù)變化的收益流。收益流量收益流量 收益流對(duì)時(shí)間的變化率。收益流對(duì)時(shí)間的變化率。 若以連續(xù)復(fù)利若以連續(xù)復(fù)利r計(jì)息，一

14、筆計(jì)息，一筆p元人民幣從元人民幣從現(xiàn)在存入銀行，現(xiàn)在存入銀行，t年后的價(jià)值（將來值）年后的價(jià)值（將來值）rtbpe若有一筆收益流的收益流量為若有一筆收益流的收益流量為 （元（元/年），考年），考慮從現(xiàn)在開始慮從現(xiàn)在開始 到到 年后這一時(shí)間段的將來年后這一時(shí)間段的將來值和現(xiàn)值。（以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息）值和現(xiàn)值。（以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息）t0t)(tp分析分析 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)任取一小區(qū)間內(nèi)任取一小區(qū)間 ，在在 內(nèi)所獲得的金額近似為內(nèi)所獲得的金額近似為,dttt, 0 t, dttt dttp)(從從 開始開始, 這一金額是在這一金額是在 年后的年后的將來獲得將來獲得,因此在因此在 內(nèi)內(nèi),0tdttp)(t,dttt收益現(xiàn)值收益現(xiàn)值dtetpedttprtrt)()(總現(xiàn)值總現(xiàn)值trtdtetp0)(對(duì)于將來值對(duì)于將來值, 在在 年后獲得利息年后獲得利息,從而在從而在 內(nèi)內(nèi),收益流的將來值收益流的將來值故故,總的將