31.長方體的模型功能之長方體中的一類特殊四面體

1、中國高考數(shù)學母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題(楊培明長方體的模型功能之長方體中的一類特殊四面體模型解題法之十 四面體是立體幾何體的“原子模型”(任意多面體都可以分割成四面體),也是高考試題的重要載體模型,尤其是有兩側(cè)面垂直,且其中一面是直角三角形的四面體,更是受到高考命題者的特別喜愛.母題結構:()在如圖所示的四面體abcd中,側(cè)面abd是等腰直角三角形,側(cè)面bcd是等腰三角形,且側(cè)面abd側(cè)面bcd,試把四面體abcd放置到長方體中;()在如圖所示的四面體abcd中,平面abc平面acd,且abbc,試把四面體abcd放置到長方體中.母題解

2、析:()作長方體,使左側(cè)面為正方形,把等腰直角abd放置于左側(cè)面,等腰bcd放置于底面,如圖;()把等腰直角abc放置于底面,acd放置于對棱面,如圖; 1.放置方法 子題類型:(2006年福建高考試題)如圖,四面體abcd中,o、e分別是bd、bc的中點,ca=cb=cd=bd=2,ab=ad=.()求證:ao平面bcd;()求異面直線ab與cd所成角的余弦值;()求點e到平面acd的距離.解析:()在長方體中作出四面體abcd,如圖,由o是bd的中點,bd=2,ab=ad=aobd,ao=1;又cb=cd=bd=2oc=,又ca=2oa2+oc2=ac2aoocao平面bcd;()取ad的

3、中點f,則ofab,又oecdeof(或其補角)是異面直線ab與cd所成角;由oe=1,of=,ef2=()2+12+()2=2ef=coseof=-ab與cd所成角的余弦值=;()由oecdoe平面acd點e到平面acd的距離=點o到平面acd的距離h;由sacd=及vo-acd=va-ocdh=.點評:對于存在兩側(cè)面垂直,且其中一面是直角三角形的四面體,有兩種常見類型,對不同類型采用相應的放置方法. 2.解題功能 子題類型:(2012年四川高考理科試題)如圖,在三棱錐p-abc中,apb=900,pab=600,ab=bc=ca,平面pab平面abc.()求直線pc與平面abc所成角的正切

4、值;()求二面角b-ap-c的正切值.解析:()在長方體中作出三棱錐p-abc,如圖,作phab于h,由平面pab平面abcph平面abcpch是直線pc與平面abc所成角;設ab=bc=ca=2,ab的中點為o,則coabco平面pab,op=1,oc=pc=2;由pab=600ap=1ph=,oh=ch=tanpch=直線pc與平面abc所成角的正切值=;()設ap的中點為h,則cho是二面角b-ap-c的平面角;由oh=tancho=2二面角b-ap-c的正切值=2.點評:對存在兩側(cè)面垂直,且其中一面是直角三角形的四面體,把它放置于長方體中,充分發(fā)揮長方體的襯托功能. 3.求法向量 子題

5、類型:(2007年課標高考試題)如圖,在三棱錐s-abc中,側(cè)面sab與側(cè)面sac均為等邊三角形,bac=900,o為bc中點.()證明:so平面abc;()求二面角a-sc-b的余弦值.解析:不妨設ab=2,由sab與sac均為等邊三角形sa=sb=sc=ac=ab=2;又由bac=900bc=2oa=ob=oc=so=;在長方體中作出四面體abcd,如圖;()由sb=scsobc;又由so2+oa2=sa2sooaso平面abc;()以o為坐標原點,ob,oa,os所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標如圖,則a(0,0),c(-,0,0),s(0,0,)=(,0),=(0,-),設

6、平面sac的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y-z=0,令y=1得:m=(-1,1,1);同理可得:平面sbc的法向量n=(0,1,0)二面角a-sc-b的余弦值=cos=.點評:對存在兩側(cè)面垂直,且其中一面是直角三角形的四面體,把它放置于長方體中,并建系后,求平面法向量,要充分利用對稱性,由其一同理可得其二. 4.子題系列:1.(2015年北京高考試題)如圖,在三棱錐v-abc中,平面vab平面abc,三角形vab為等邊三角形,acbc且ac=bc=,o,m分別為ab,va的中點.()求證:vb平面moc;()求證:平面moc平面vab;()求三棱錐v-abc的體積.2

7、.(2015年重慶高考試題)如圖,三棱錐p-abc中,平面pac平面abc,abc=,點d、e在線段ac上,且ad=de=ec=2,pd=pc=4,點f在線段ab上,且efbc.()證明:ab平面pfe;()若四棱錐p-dfbc的體積為7,求線段bc的長.3.(2011年重慶高考文科試題)如圖,在四面體abcd中,平面abc平面acd,abbc,ac=ad=2,bc=cd=1.()求四面體abcd的體積;()求二面角c-ab-d的平面角的正切值.4.(2012年四川高考文科試題)如圖,在三棱錐p-abc中,apb=900,pab=600,ab=bc=ca,點p在平面abc內(nèi)的射影o在ab上.(

8、)求直線pc與平面abc所成的角的正切值;()求二面角b-ap-c的正切值.5.(2011年重慶高考理科試題)如圖,在四面體abcd中,平面abc平面acd,abbc,ad=cd,cad=300.()若ad=2,ab=2bc,求四面體abcd的體積;()若二面角c-ab-d為600,求異面直線ad與bc所成角的余弦值.6.(2009年浙江高考試題)如圖,平面pac平面abc,abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形,e,f,o分別為pa,pb,pc的中點,ac=16,pa=pc=10.()設g是oc的中點,證明:fg平面boe;()證明:在abo內(nèi)存在一點m,使fm平面boe,并求點m到oa,ob

9、的距離. 5.子題詳解:1.解:()在長方體中作出三棱錐v-abc,如圖,由o,m分別為ab,va的中點omvb,又vb平面moc,om平面mocvb平面moc;()由三角形vab為等邊三角形abvo,又平面vab平面abcvo平面vabvooc;由ac=bcocaboc平面vab平面moc平面vab;()由acbc且ac=bc=ab=2,sabc=1vo=三棱錐v-abc的體積v=.2.解:()在長方體中作出三棱錐p-abc,如圖,由abc=,efbcabef;由de=ec,pd=pcpedc,又平面pac平面abcpe平面abcpeabab平面pfe;()由de=2,pd=4pe=2;又由

10、四邊形dfbc的面積=倍的sabc=abbc四棱錐p-dfbc的體積v=abbcpe=abbc=7abbc=9;又ab2+bc2=ab2=36ab+bc=3+3bc=3,或3.3.解:()在長方體中作出四面體abcd,如圖,作dhac于h,由平面abc平面acddh平面abc;在acd中,ac=ad=2,cd=1ah=,dh=;又sabc=四面體abcd的體積v=;()作hmab于m,則ab平面dhmdmh是二面角c-ab-d的平面角;由mhbcmh:ah=bc:acmh=tandmh=二面角c-ab-d的平面角的正切值=.4.解:()在長方體中作出三棱錐p-abc,如圖,由po平面abcoc

11、p是直線pc與平面abc所成的角;設ao=1po=,pa=2ab=4ch=2,oh=1oc=tanocp=;()取ap的中點d,則ap平面cdhcdh是二面角b-ap-c的平面角;由dh=tancdh=2二面角b-ap-c的正切值=2.5.解:()在長方體中作出四面體abcd,如圖,取ac的中點o,則doac,由平面abc平面acddo平面abc;由ad=2,cad=300do=1,ac=2sabc=四面體abcd的體積v=;()取ab的中點h,則ab平面odh二面角c-ab-d的平面角為ohdohd=600;設cd=1,則oc=,oh=,cd=2bc=,cd=2異面直線ad與bc所成角=cbd;由coscbd=.6.解:()在長方體中作出三棱錐p-abc,分別以直線oa、ob、op為x、y、z軸建立空間直角坐標系,如圖,則a(8,0,0),b(0,8,