小學(xué)奧數(shù)—同余問題.doc

1、4 個量的關(guān)系。.數(shù)論之同余問題余數(shù)問題是數(shù)論知識板塊中另一個內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識點，所以學(xué)好本講對于學(xué)生來說非常重要。許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題，并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了！”余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。知識點撥：一、帶余除法的定義及性質(zhì)：一般地，如果a 是整數(shù)， b 是整數(shù)（ b 0） ,若有 a b=qr，也就是a b q r,0 r b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當(dāng) r0 時：我們稱a 可以被

2、 b 整除， q 稱為 a 除以 b 的商或完全商(2)當(dāng) r0 時：我們稱a 不可以被b 整除， q 稱為 a 除以 b 的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a 本，這個a 就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c 捆，那么這個c 就是商，最后還剩余d 本，這個d 就是余數(shù)。這個圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理：1.余數(shù)的加法定理a 與 b 的和除以c 的余數(shù)，等于a,b 分別除以c 的余數(shù)之和，或這個和除以c 的余數(shù)。例如： 23， 16 除以 5 的余數(shù)分別

3、是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余數(shù)等于 4，即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c 的余數(shù)。例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于3+4=7 除以 5 的余數(shù)，即2.2.余數(shù)的乘法定理a 與 b 的乘積除以c 的余數(shù)，等于a,b 分別除以 c 的余數(shù)的積，或者這個積除以c 所得的余數(shù)。例如： 23， 16 除以 5 的余數(shù)分別是3 和 1，所以 23 16 除以 5 的余數(shù)等于31=3 。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c 的余數(shù)。精選.例如： 23， 19 除

4、以 5 的余數(shù)分別是3 和 4，所以 23 19 除以 5 的余數(shù)等于34 除以 5 的余數(shù)，即2.3.同余定理若兩個整數(shù)a、b 被自然數(shù)m 除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b 對于模 m 同余，用式子表示為： a b ( modm )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作： a 同余于 b，模 m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數(shù)a， b 除以同一個數(shù)m 得到的余數(shù)相同，則a， b 的差一定能被m 整除用式子表示為：如果有a b ( mod m ) ，那么一定有a bmk,k 是整數(shù)，即m|(a b)三、棄九法原理：在公元前9 世紀(jì)，有個印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米

5、算術(shù)，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗算式 12341898189226789671789028899231234 除以 9 的余數(shù)為11898 除以 9 的余數(shù)為818922 除以 9 的余數(shù)為4678967除以 9 的余數(shù)為7178902除以 9 的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9 的余數(shù)為2而等式右邊和除以9 的余數(shù)為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以9 的余數(shù)的和再除以9 的余數(shù)一定與等式右

6、邊和除以9 的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以9 所得的余數(shù)時，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9 的余數(shù)就可以了，在算的時候往往就是一個9 一個 9 的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法” 。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個整數(shù)模9 同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9 除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9 除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9 時，等式

7、兩邊的除以9 的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2 兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往精選.往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。四、中國剩余定理：1.中國古代趣題：中國數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點兵”。韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3 人一列余 1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余4 人、 13 人一列余6 人 。劉邦茫然而

8、不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩3 人，則兵有多少？首先我們先求5、 9、 13、 17 之最小公倍數(shù)9945（注：因為5、 9、 13、 17 為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得 9948（人）。孫子算經(jīng)的作者及確實著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（ Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2.核

9、心思想和方法：對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以 孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個自然數(shù)分別除以3， 5， 7 后，得到三個余數(shù)分別為2， 3，2.那么我們首先構(gòu)造一個數(shù)字，使得這個數(shù)字除以3 余 1，并且還是5 和 7 的公倍數(shù)。先由 5735，即 5 和 7 的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5 和 7的“下一個”倍數(shù)35 270 是否可以，很顯然70 除以 3 余 1類似的，我們再構(gòu)造一個除以5 余 1，同時

10、又是3 和 7 的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21 可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7 余 1，同時又是3，5 公倍數(shù)的數(shù)字， 45 符合要求， 那么所求的自然數(shù)可以這樣計算：270321245k3,5,7233k3,5,7 ，其中 k 是從 1 開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實際情況對數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,精選.我們只要對最小的23 加上 3,5,7即可，即23+105=128 。例題精講：

11、【模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】【例 1 】 (第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報競賽決賽)用某自然數(shù) a 去除 1992 ，得到商是46，余數(shù)是 r ，求 a 和 r 【解析】因為1992是 a 的46倍還多 r ,得到199246，得19924643 14，所以，1443.14a 43 r【鞏固】 (清華附中小升初分班考試)甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32 ，求甲、乙兩數(shù)【解析】(法 1)因為 甲乙1132 ，所以 甲乙乙1132乙乙12321088；則乙(108832)1288，甲1088乙1000(法 2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從1088 中減掉32以后， 10

12、56就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的 (11 1) 倍，所以得到乙數(shù)1056 1288，甲數(shù)1088 881000【鞏固】一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)?！窘馕觥勘绢}為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個重要知識點，就是把余數(shù)問題 -即“不整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個“除數(shù)與余數(shù)的差” ，也可以得到一個除數(shù)的倍數(shù)。本題中 310-37=273，說明 273 是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3 7 13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比 37 大，符合條件的有39，91.【例 2】( 2003年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有兩個自然數(shù)相除，商是

13、17 ，余數(shù)是 13，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113，則被除數(shù)是多少？【解析】被除數(shù)除數(shù) 商余數(shù) 被除數(shù) 除數(shù) +17+13=2113 ，所以被除數(shù)除數(shù) =2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17 倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)= （ 2083-13）（ 17+1） =115，所以被除數(shù)=2083-115=1968 【鞏固】用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，商為40，余數(shù)是 16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933，求這 2 個自然數(shù)各是多少？【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個自然數(shù)分別為x,y，可以得到x40 y 16x856856， 21.x,解方程組得y，即這兩

14、個自然數(shù)分別是y 40 16 93321【例 3 】(2000 年“祖沖之杯” 小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題)三個不同的自然數(shù)的和為2001，它們分別除以19,23,31精選.所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個數(shù)是_， _， _。【解析】設(shè)所得的商為 a ，除數(shù)為 b (19a b) (23ab) (31ab)2001， 73a3b2001，由 b19 ，可求得a27，b10所以，這三個數(shù)分別是19a b523，23a b，31a b 847。631【鞏固】 (2004 年福州市 “迎春杯” 小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)一個自然數(shù)， 除以 11 時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以 9 時所得到的商是余數(shù)的3 倍

15、，這個自然數(shù)是_【解析】設(shè)這個自然數(shù)除以11 余 a (0a11) ，除以 9 余 b (0b9) ，則有 11aa9 3bb ，即 3a7b ，只有 a7 ， b3 ，所以這個自然數(shù)為12784。【例 4】(1997 年我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營試題)有 48 本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4 本，有剩余；每人 5 本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，書不夠問：第二組有多少人?【解析】由 48 4 12 ， 485 9.6 知，一組是10 或 11 人同理可知 48 3 16， 484 12 知，二組是13、 14 或

16、 15 人，因為二組比一組多5 人，所以二組只能是 15 人，一組10 人【鞏固】一個兩位數(shù)除以 13 的商是 6，除以 11所得的余數(shù)是 6，求這個兩位數(shù)【解析】因為一個兩位數(shù)除以13 的商是 6，所以這個兩位數(shù)一定大于 13 678，并且小于 13 (6 1)91；又因為這個兩位數(shù)除以11 余 6，而 78除以 11 余 1，這個兩位數(shù)為785 83【模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】【例 5 】有一個大于1 的整數(shù)，除45,59,101 所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整

17、除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)1014556 ， 594514， (56,14)14 ， 14 的約數(shù)有 1,2,7,14 ，所以這個數(shù)可能為 2,7,14 ?！眷柟獭坑幸粋€整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個數(shù) .精選.【解析】 (法 1) 39 336 ， 1473144 ， (36,144)12 ，12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ，因為余數(shù)為3 要小于除數(shù)，這個數(shù)是4,6,12 ；(法 2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 513912， 147 39108 ， (12,1

18、08) 12 ，所以這個數(shù)是4,6,12【鞏固】在小于 1000 的自然數(shù)中，分別除以18 及 33 所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個?(余數(shù)可以為0)【解析】 我們知道 18， 33 的最小公倍數(shù)為18， 33=198，所以每198 個數(shù)一次1 198 之間只有1， 2， 3， ， 17，198(余 O)這 18 個數(shù)除以18 及 33 所得的余數(shù)相同，而 999 198=59，所以共有 5 18+9=99 個這樣的數(shù)【 鞏固】 (2008 年仁華考題 )一個三位數(shù)除以 17 和 19 都有余數(shù)， 并且除以 17 后所得的商與余數(shù)的和等于它除以 19 后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是

19、多少，最小數(shù)是多少？【解析】 設(shè)這個三位數(shù)為s，它除以 17 和 19的商分別為a 和 b，余數(shù)分別為m 和 n ，則 s17am 19bn 根據(jù)題意可知 ambn ，所以 samsbn ，即 16a18b ，得 8a9b 所以 a 是 9的倍數(shù)， b 是 8 的倍數(shù)此時，由 ambn 知 nm aba8 a1 a 99由于 s為三位數(shù)，最小為100，最大為 999，所以100 17am999 ，而1m16，所以17a 1 17a m 999，m 17a16，得到5a58，而a是 9 的倍數(shù)，所以a最100 17a小為 9，最大為 54當(dāng) a54 時， nm1 a6 ，而 n18 ，所以 m1

20、2 ，故此時 s 最大為 175412930 ；9當(dāng) a9 時， nm11 ，由于 m1，所以此時 s最小為 1791 154a9所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是 154【例 6 】兩位自然數(shù)ab 與 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab) （10ba)9 （ab）能被 7 整除所以只能有ab7 ，那么 ab可能為 92 和 81，驗算可得當(dāng)ab92 時， ba29 滿足題目要求，abba92292668【鞏固】學(xué)校新買來118 個乒乓球， 67 個乒乓球拍和33 個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級，精選.那

21、么這三種物品剩下的數(shù)量相同請問學(xué)校共有多少個班？【解析】 所求班級數(shù)是除以 118,67,33余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 67 51和 67 33 34的公約數(shù)，所求答案為 17【鞏固】 (2000 年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)在除 13511， 13903 及 14589 時能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_【解析】 因為 13903 13511392 , 14589 13903686，由于 13511， 13903， 14589 要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除 (392,686)98 ，所以所求的最大整數(shù)是98【例 7】(2003 年南京市少年數(shù)學(xué)智力

22、冬令營試題) 22003 與 20032 的和除以7 的余數(shù)是 _【解析】 找規(guī)律用7 除 2， 22 ， 23 ， 24 ， 25 ， 26 ， 的余數(shù)分別是 2， 4， 1，2，4， 1， 2， 4， 1， ,2的個數(shù)是 3的倍數(shù)時，用 7 除的余數(shù)為1； 2 的個數(shù)是3 的倍數(shù)多1 時，用 7 除的余數(shù)為2；2 的個數(shù)是 3 的倍數(shù)多 2 時，用 7 除的余數(shù)為 4因為 2200323 667 2 ，所以 2 2003 除以 7 余 4又兩個數(shù)的積除以 7的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以7 所得余數(shù)的積相同而2003 除以 7 余 1，所以20032 除2以 7 余 1故 22003 與 200

23、3 的和除以 7 的余數(shù)是 4 1 5 【鞏固】 (2004 年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營試題)在 1995， 1998， 2000， 2001， 2003 中，若其中幾個數(shù)的和被 9 除余 7，則將這幾個數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有_組【解析】 1995， 1998， 2000， 2001， 2003 除以 9 的余數(shù)依次是6， 0， 2， 3， 5因為252507，25360253679，所以這樣的數(shù)組共有下面4 個： 2000,2003， 1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,2001,1995 【例 8 】(2005 年全國小學(xué)

24、數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有一個整數(shù)，用它去除70， 110， 160 所得到的3 個余數(shù)之和是 50，那么這個整數(shù)是_【解析】 (70110160)50290 ， 50316.2，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是290 的大于 17 小于 70 的約數(shù)，只可能精選.是 29 和 58， 110 581.52， 5250 ，所以除數(shù)不是 5870 29 2.12， 110293.23， 160 29 5.15， 12 2315 50 ，所以除數(shù)是 29【鞏固】 (2002 年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )用自然數(shù) n 去除 63， 91， 129 得到的三個余數(shù)之和為25，那么 n=_【解析】n 能整除 6391129252

25、58因為 25 38.1，所以 n 是 258 大于 8 的約數(shù)顯然，n不能大于 63符合條件的只有43【鞏固】號碼分別為101,126,173,193的 4 個運動員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被 3 除所得的余數(shù) .那么打球盤數(shù)最多的運動員打了多少盤?【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計算 101，126，173，193 除以 3 的余數(shù)分別為2，0，2，1。那么任意兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要用2， 0， 2，1 兩兩相加除以3 即可。顯然126 運動員打 5盤是最多的?！纠?9 】(2002 年小學(xué)生數(shù)學(xué)報數(shù)學(xué)邀請賽試題)六名小學(xué)生分別帶著14 元、 17

26、 元、 18 元、 21 元、 26元、 37 元錢，一起到新華書店購買成語大詞典一看定價才發(fā)現(xiàn)有5 個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3 人的錢湊在一起恰好可買2 本，丁、戊2 人的錢湊在一起恰好可買1 本這種成語大詞典的定價是_元【解析】 六名小學(xué)生共帶錢133 元 133 除以 3 余 1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買3 本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3 的倍數(shù)，另一人帶的錢除以3 余 1易知，這個錢數(shù)只能是37 元，所以每本成語大詞典的定價是(1417182126)332(元) 【鞏固】 (2000 年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)商店里有六箱貨物，分別重15， 16， 18， 19，

27、20， 31 千克，兩個顧客買走了其中的五箱已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2 倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克【解析】 兩個顧客買的貨物重量是3 的倍數(shù)(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱貨物重量除以3 應(yīng)當(dāng)余 2，只能是精選.20 千克【例 10 】求 2461 1356047 11的余數(shù)【解析】 因為 2461 11223.8， 135 1112.3， 604711549.8，根據(jù)同余定理(三 )，2461 135604711的余數(shù)等于 8 3 811的余數(shù)，而 83 8192，1921117.5，所以 2461 1356047 11的余數(shù)為 5

28、【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題 )求 478 296 351除以 17的余數(shù)【解析】先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以 17 的余數(shù) 478,296,351 除以 17 的余數(shù)分別為2，7 和 11， (2711) 17 9.1 【鞏固】 求 31997 的最后兩位數(shù)【解析】 即考慮 31997 除以 100 的余數(shù)由于1004 25，由于 3327 除以 25 余 2，所以 39 除以 25 余 8，310 除以 25 余 24，那么 320 除以 25 余 1；又因為 32 除以 4 余 1，則 320 除以 4 余1；即 320 1 能被

29、 4和 25 整除，而4 與 25 互質(zhì)，所以3201能被 100 整除，即 320 除以 100 余 1，由于1997 20 991997除以17除以 100 的余數(shù)，而 3617，所以 3100 的余數(shù)即等于 3729 除以 100 余29， 35243 除以 100 余 43，317(36 )235 ，所以 317 除以 100 的余數(shù)等于 2929 43 除以 100 的余數(shù)，而29 29 43 36163除以 100 余 63，所以 31997 除以 100 余 63，即 31997 的最后兩位數(shù)為 63【鞏固】 222 2除以 13 所得余數(shù)是 _.2000個 2 【解析】 我們發(fā)

30、現(xiàn)222222 整除 13， 2000 6 余 2，所以答案為22 13 余 9。89【鞏固】求 143除以 7的余數(shù)【解析】 法一：由于 143 3 mod 7(143 被 7 除余 3)，精選.所以8989mod 7(14389除所得余數(shù)與 389除所得余數(shù)相等 )1433被 7被 76729 ，7291 mod 7（ 729除以 7 的余數(shù)為1），而 3所以3893636L 3635355 mod 7 1 4424 4314個故 14389 除以 7 的余數(shù)為 5.法二：計算 389 被 7 除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表：12345637L333333mod73264513

31、L于是余數(shù)以 6 為周期變化所以389355 mod 7222L22002除以 7 的余數(shù)是多少？【鞏固】（ 2007 年實驗中學(xué)考題） 12320012222220022003400510012003 1335 ，而 1001 是 7 的倍數(shù)，【解析】 由于 1 23 L200120026所以這個乘積也是7 的倍數(shù)，故222L22除以 7 的余數(shù)是0；12320012002【鞏固】 31303031被 13 除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31 被 13 除所得的余數(shù)為 5，當(dāng) n 取 1， 2， 3， L時 5 n 被 13 除所得余數(shù)分別是5，12， 8， 1，5，12，8，1L以 4 為

32、周期循環(huán)出現(xiàn)， 所以30被 13 除的余數(shù)與23055被 13 除的余數(shù)相同， 余 12，則 31除以 13 的余數(shù)為12；30 被 13 除所得的余數(shù)是 4，當(dāng) n 取1，2， 3， L時， 4 n 被 13 除所得的余數(shù)分別是4，3， 12， 9，10， 1，4， 3，12， 9， 10， L L 以 6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以3114 被 13 除所得的余數(shù)等于4被13除所得的余數(shù)，即4，故 3031 除以 13 的余數(shù)為 4；所以 31303031被 13 除所得的余數(shù)是 12 4 133【鞏固】 (2008 年奧數(shù)網(wǎng)杯 )已知 a20082008L 2008 ，問： a 除以 13 所得

33、的余數(shù)是多少？1444244432008 個 2008【解析】 2008 除以 13 余 6， 10000 除以 13 余 3，注意到 200820082008 100002008 ；精選.20082008200820082008 100002008；2008200820082008 200820082008 100002008 ；L L根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008除以 13 余 6 3 61311，200820082008除以 13 余 11 36 39 0 ，即 200820082008是 13 的倍數(shù)而 2008除以 3 余 1，所以 a20082008L200

34、8 除以 13 的余數(shù)與 2008除以 13 的余數(shù)相同，為 6.1444 244 432008 個 2008【鞏固】777142 4377 除以 41 的余數(shù)是多少？1996 個 7【解析】 找規(guī)律： 741 7，77 41 36，777 41 39， 777741 28，77777 410 ， ，所以 77777是 41 的倍數(shù)，而 19965 399L177777 可以分，所以 14 2 431996 個7成 399 段 77777 和 1 個 7 組成，那么它除以41 的余數(shù)為 712342005除以 10 所得的余數(shù)為多少？【鞏固】 1 234 L L2005【解析】 求結(jié)果除以10

35、 的余數(shù)即求其個位數(shù)字從1 到 2005 這 2005 個數(shù)的個位數(shù)字是10 個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的冪方的個位數(shù)，我們知道它總是4 個一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個位數(shù)按每20個 (20 是 4 和 10 的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對應(yīng)的個位數(shù)字應(yīng)該是一樣的123420首先計算 1234L L20的個位數(shù)字，為 14 7 65 6 369016365 674 9 094 的個位數(shù)字，為 4，由于 2005 個加數(shù)共可分成100 組另 5 個數(shù)， 100 組的個位數(shù)字和是4 100 400 的個位數(shù)即0，另外 5個 數(shù) 為2001、20022003、 20042004200520012002

36、、 2003、 2005，它們和的個位數(shù)字是1 47 6 523的個位數(shù)3，所以原式的個位數(shù)字是3，即除以10 的余數(shù)是 3【例 11 】求所有的質(zhì)數(shù)P，使得 4 p 21 與6 p21 也是質(zhì)數(shù)【解析】 如果 p 5 ，則4 p21 101 ， 6 p 21151都是質(zhì)數(shù)，所以5 符合題意如果P 不等于 5，那么 P除以 5 的余數(shù)為1、2、3 或者 4， p 2 除以 5的余數(shù)即等于12 、22 、32或者 42除以 5 的余數(shù)， 即 1、4、 9 或者 16 除以 5 的余數(shù)，只有1 和 4 兩種情況如果22p 除以 5 的余數(shù)為1，那么 4 p 1 除以精選.5 的余數(shù)等于 4 1 1

37、 5 除以 5 的余數(shù)， 為 0，即此時 4 p21 被 5 整除，而 4 p 21 大于 5，所以此時22221p6 p14 p 14 p不是質(zhì)數(shù)；如果除以 5 的余數(shù)為4，同理可知不是質(zhì)數(shù)，所以 P 不等于 5，與 6 p21至少有一個不是質(zhì)數(shù)，所以只有p 5 滿足條件【鞏固】 在圖表的第二行中， 恰好填上 8998 這十個數(shù)， 使得每一豎列上下兩個因數(shù)的乘積除以11 所得的余數(shù)都是 3因數(shù)89909192939495969798因數(shù)【解析】因為兩個數(shù)的乘積除以11 的余數(shù)，等于兩個數(shù)分別除以 11 的余數(shù)之積因此原題中的8998可以改換為 110 ，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11 余 3 就

38、容易計算了我們得到下面的結(jié)果：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)37195621048進(jìn)而得到本題的答案是：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)91958997939490989296【鞏固】 (2000 年“華杯賽”試題)3 個三位數(shù)乘積的算式abcbcacab234235286(其中 abc )， 在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位6 是正確的，問原式中的abc 是多少？【解析】 由 于 2342352862342352868(mod9) ， abcbcacab(abc) 3 (mod9) ，于是 (abc)38(mod9) ，從而 (用

39、abc0,1,2,.,8(mod9) 代入上式檢驗 )abc2,5,8(mod9)(1)，對 a 進(jìn)行討論：如果 a9 ，那么 bc2,5,8(mod9)(2)，又 cab 的個位數(shù)字是6，所以 bc 的個位數(shù)字為4，bc 可 能 為 4 1 、 72 、 8 3 、 64 ， 其 中 只 有 (b, c)(4,1),(8,3) 符 合 (2) ， 經(jīng) 檢 驗 只 有983839398328245326 符合題意如果a8，那么 bc3,6,0(mod9) (3)，又bc的個位數(shù)字為2或 7，則bc可能為、3、2 1 46 2、 76、 71，其中只有 (b, c)(2,1) 符合 (3)，經(jīng)檢

40、驗，abc821 不合題意如果a7，那么 bc4,7,1(mod9)(4)，則 bc 可能為 4 2、 63 ，其中沒有符合(4)的 (b, c) 精選.如果 a6 ，那么 b5 ， c4 ， abcbcacab700600500210000000222334586 ，因此這時 abc 不可能符合題意綜上所述，abc983 是本題唯一的解【例 12 】一個大于 1 的數(shù)去除290，235，200 時，得余數(shù)分別為a ， a2 ， a5 ，則這個自然數(shù)是多少？【解析】 根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290， 233， 195 時，得到相同的余數(shù)（都為a ）既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其

41、中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0那么這個自然數(shù)是 29023357 的約數(shù)，又是23319538 的約數(shù)，因此就是57 和 38 的公約數(shù) ,因為 57和 38 的公約數(shù)只有19 和 1，而這個數(shù)大于1，所以這個自然數(shù)是19【鞏固】一個大于 10的自然數(shù)去除 90、164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220 后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？【解析】 這個自然數(shù)去除 90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除90164254后所得的余數(shù)，所以 254 和 220 除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是25422034 的約數(shù)， 又大于 10，這個自然數(shù)只能是 17

42、或者是 34如果這個數(shù)是34，那么它去除 90、164、220 后所得的余數(shù)分別是22、 28、 16，不符合題目條件；如果這個數(shù)是17，那么他去除90、164、 220 后所得的余數(shù)分別是5、 11、 16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是17【例 13 】甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393某數(shù) A 除甲數(shù)所得余數(shù)是A 除乙數(shù)所得余數(shù)的2 倍， A除乙數(shù)所得余數(shù)是A 除丙數(shù)所得余數(shù)的2 倍求 A 等于多少？【解析】 根據(jù)題意，這三個數(shù)除以A 都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來：603AK1 L L r1939AK 2 L L r2393AK 3 L L r3由于 r12r2

43、 ， r22r3 ，要消去余數(shù)r1 , r2 , r3 ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2 倍，同理，第三個式子乘以4于是我們可以得到下面的式子：603AK 1 L L r19392A2K 2 L L 2r2393 4 A 2K 3 L L 4r3 這樣余數(shù)就處理成相同的 最后兩兩相減消去余數(shù)， 意味著能被 A 整除939 2 6031275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 1751的約數(shù)有 1、3、 17、 51，其中 1、 3 顯然不滿足，檢驗17 和 51 可知 17 滿足，所以 A 等于 17【鞏固】一個自然數(shù)除429、 791、 500 所得的余數(shù)分別是 a 5 、 2a、 a ，求這個自然數(shù)和a 的值 .精選.【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a 的數(shù)：42952848