彈性力學(xué)復(fù)習(xí)題1

1、名詞解釋1 .彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或者溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2 .圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。3 .外力：其它物體對(duì)研究對(duì)象（彈性體）的作用力。外力可以分為體積力和面積力。4 .體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力。5 .面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。二、填空題1 .彈性力學(xué)的基本假設(shè)為均勻性、各向同性、連續(xù)性、完全彈性和小變形。2 .彈性力學(xué)正面是指 外法線方向與坐標(biāo)軸正向一致的面,負(fù)面指

2、 外法線方向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的面。3 .彈性力學(xué)的應(yīng)力邊界條件表示在邊界上應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。除應(yīng)力邊界條件外彈性力學(xué)中還有 位移、混合 邊界條件。4 .在平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題中，除物理方程不同外,其它基本方程和邊界條件都相同。因此，若已知平面應(yīng)力問題的解答，只需將其彈性模量 e換為 e 1 2 ,泊松比換為/1,即可得到平面應(yīng)變問題的解答。5 .平面應(yīng)力問題的幾何形狀特征是一個(gè)方向上的尺寸遠(yuǎn)小于另外兩個(gè)方向上的尺寸；平面應(yīng)變問題的幾何形狀特征是一個(gè)方向上的尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)方向上的尺寸。三、單項(xiàng)選擇題1 .下列關(guān)于彈性力學(xué)問題中的正負(fù)號(hào)規(guī)定，正確的是d 。(a)應(yīng)力分量是以沿坐標(biāo)軸

3、正方向?yàn)檎?，?fù)方向?yàn)樨?fù)(b)體力分量是以正面正向?yàn)檎?fù)面負(fù)向?yàn)檎?c)面力分量是以正面正向?yàn)檎?，?fù)面負(fù)向?yàn)樨?fù)(d)位移分量是以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?fù)方向?yàn)樨?fù)2 .彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題中應(yīng)力分量表達(dá)正確的是a 。(a)z0(b)z z( x y)/e(c)z ( x y)(d) zfz3 .彈性力學(xué)中不屬于基本方程的是a 。(a)相容方程(b)平衡方程(c)幾何方程(d)物理方程4 .彈性力學(xué)平面問題中一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由a 個(gè)應(yīng)力分量決定。(a) 3(b) 2(c) 4(d) 5四、問答題1 .彈性力學(xué)的基本假定是什么，各有什么作用？答：彈性力學(xué)中主要引用的五個(gè)基本假定及各假定用途為：1)連續(xù)

4、性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是 連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們 的變化規(guī)律。2)完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系， 復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3)均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。e和泊松比u等)就不隨位置因此，反應(yīng)這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)(如彈性模量 坐標(biāo)而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的

5、改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，可以將它們的二次哥或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。2 .彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性體？?jī)深惼矫鎲栴}各有哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：（1）平面應(yīng)力問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量x, y , xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。（2）平面應(yīng)變問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，

6、外力沿z軸無(wú)變化，只有平面應(yīng)變分量 x, y, xy存 在，且僅為x,y的函數(shù)。3 .常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：40 ； （2）應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。4 .請(qǐng)說明應(yīng)力和面力符號(hào)規(guī)定的區(qū)別；答：當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力或切應(yīng)力） 以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 與此相,這個(gè)面上的應(yīng)力就以反，當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)）沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。5 .請(qǐng)說明彈性力學(xué)和材料力學(xué)中

7、關(guān)于切應(yīng)力符號(hào)規(guī)定的區(qū)別。答：在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定不盡相同：材料力學(xué)中規(guī)定，凡企圖使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正；在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，作用于?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎喾吹姆较蚓鶠樨?fù)。6 .平面問題的位移解法是如何推導(dǎo)出來的？請(qǐng)?jiān)敿?xì)推導(dǎo)。7 .平面問題的應(yīng)力解法是如何推導(dǎo)出來的？請(qǐng)?jiān)敿?xì)推導(dǎo)。8 .求解彈性力學(xué)問題的三類基本方程是什么？?jī)H由基本方程是否可以求得具體問題的解答？為什么？答：平衡方程，幾何方程和物理方程。 僅由基本方程不可以求得具體解答，因?yàn)槿鄙龠吔鐥l件，只能得到問題的通解而不是特解。9 .簡(jiǎn)述圣維南原理及其在

8、彈性力學(xué)中的簡(jiǎn)化作用。答：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢和主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力做分布的面力替代；（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。10 .如何正確寫出彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力邊界條件？請(qǐng)寫出具體步驟。答：（1）找出邊界的外法線方向n l,m，求出l和m;（2）寫出邊界上的應(yīng)力的 x分量x以及y分量y的表達(dá)式;（3）按如下公式寫出邊界條件xy s mxy s下標(biāo)s表示在邊界上取值。11 .什么是半逆解法？請(qǐng)寫出半逆解法求解彈性力學(xué)平面問題的步驟。12 .闡

9、述你對(duì)有限元方法的認(rèn)識(shí)。1.試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否有可能存在3_2(1) xaxy,yby , xy c dy；22(2) xay ,ybx y， xy cxy ；(3) x 0, y 0 , xy cxy解：應(yīng)變分量存在的必要條件是應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)條件，即222xyxy22y x x y因此，(1)相容；(2)須滿足b 0, 2a c ；(3)不相容。只有c 0 ,則x y xy 0 o2.在無(wú)體力的情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在單連通彈性體中存在(1) xax by, y cx dy,刈 exfy ；2222_(2) xa x y, y b x y , xycxy解：彈

10、性體中的應(yīng)力，在單連體中必須滿足平衡微分方程、相容方程和邊界條件,xxxyx因此，(1)該組應(yīng)力滿足相容方程，為了滿足平衡微分方程，必須滿足a f和d e; (2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足a b 0,為了滿足平衡微分方 c一程，其系數(shù)必須滿足 a b 鼻。這只能是a b c 0,即彈性體內(nèi)無(wú)應(yīng)力，無(wú)意義。3.已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)力ax by,其他應(yīng)力分量為零，求位移場(chǎng)。解：由平面應(yīng)力問題的物理方程2 1xy exy可以得到1 e 1 e2axbyxy(1)式代入幾何方程得到(2)式的前兩式分別對(duì)axbyxyxyu x v y v x1 axebyx、y積分，得112u - - axe

11、2v - axy將(3)式代入(2)式的第三個(gè)方程中，可得f1 y此方程的左邊的自變量為一個(gè)常數(shù)c,故可以令:ax by(2)bxy1 22byea yf2f2x,fifi y(4)右邊的自變量為y,等式要恒成立則要求兩邊等于同bf2 x x ce, afi y e y c將這兩個(gè)方程分別對(duì)x和y積分就得到f2 xfi yb 2x cx c2(6)2ea 2一 y cy ci2e（6）式代入（3）式得到u112axe 2bxya 2y 2ecy gvaxy e1 2-by 2b 2x2ecx4.如圖所示三角形柱體，下部受均勻載荷，斜面自由，不計(jì)體力，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量, y xy . arctan

12、 22 bx x yy xy y a arctan 22 cx x y2a yxy a 22x y是否滿足應(yīng)力表示的全部方程，并求常數(shù)a, b, c使其滿足給定的邊界條件。解：（1）驗(yàn)證（略）應(yīng)力分量滿足如下平衡方程xy 0xy和相容方程（2）對(duì)y 。有邊界條件xyarctan yxxy22x yxy a2y2x代入（1）式得到ac對(duì)ob邊有如下邊界條件xyxycos2sincoscos代入式得到sinxycos 0scosxysin 0s(4)ob邊的方程為tan x將（5）式代入應(yīng)力分量y a arctanxxy22x yy a arctanx2yxy2xxy并利用(2)式得到sincos

13、sincos(6)xy_ _2 sin將(6)式代入(4)式有sin cossin cosb sinc cos解得3 sin c cossincossinsintan(7)式代入(2)式得到q tancos0sin0(8)5.如圖所示，設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力忽略不計(jì),l ho試用應(yīng)力函數(shù)axy by2 cy3 dxy3求解應(yīng)力分量。解：(i) 顯然，應(yīng)力函數(shù)233axy by cy dxy(1)滿足雙調(diào)和方程。(ii) 寫出應(yīng)力的表達(dá)式(不計(jì)體力)將(2)代入(10)得到2x 2 2by6cy 6 dxy220x2 -2 a 3dy2 x y(2)(4)(iii)

14、通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界條件為：邊界y h2上：邊界y h上：2由(2)(4)(5)(6)式有xy2ha 3d02a 3h2d 04(6)(8)(10)(11)(12)由(2)(4)(8)式也可得到(9)式。在邊界x 0上，用圣維南原理提出如下邊界條件h2hx x 0 dy 1fn2h2h xy x 0 dy 1fs2h2hx x 0 dy 1 y m2h2h 2b 6cy2dybfnfn2h2bh將(4)代入(11)得到h2h a23dy2 dyfsa1 dh42 fs h聯(lián)立(9)(14)得到a3fs2hd2fs h3將(2)代入(12)得到h2h 2b26cyy dymc2m h3由

15、(13)(15)(16)(17) 及(2)(3)(4)得到fnh12mh3 y12fs3 xy h3xy3fs 6fs 2 2h h3 y(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)6.如圖所示的墻，高度為h,寬度為b, hb,在兩側(cè)面上受到均布剪力 q的作用,試用應(yīng)力函數(shù)axy bx3y求解應(yīng)力分量。解：(i) 顯然，應(yīng)力函數(shù)3=axy bx y滿足雙調(diào)和方程。(ii)寫出應(yīng)力的表達(dá)式(不計(jì)體力)(2)xy(iii)通過邊界條件確定待定系數(shù)22 6bxy xa 3bx2(4)邊界條件為:b邊界x 2上:xy(6)邊界x 2上:xy由(2)(4)(5)(6)式有a3b 2由

16、(2)(4)(8)式也可得到(9)式。在邊界y 0上，有(10)xy(11)條件(10)自動(dòng)滿足，然而，條件(11)會(huì)導(dǎo)致0,這說明問題原應(yīng)力函數(shù)取得不合適。因?yàn)閔 b ,可以用圣維南原理，在邊界0處提出如下邊界條件b2b2xyy 0 dxi(12)由(4)(12)有由(9)(13)有b2b23bx2 dx(13)(14)2q b2(15)(iv) 將(14)(15)代入(2)(3)(4)有xy(13)12qb2xy(14)q 6qb2(15),試用純?nèi)味囗?xiàng)式為應(yīng)7.設(shè)圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：(i) 取應(yīng)力函數(shù)為-3=ax bx23cxy dy顯然

17、應(yīng)力函數(shù) 滿足雙調(diào)和方程。(ii)寫出應(yīng)力的表達(dá)式xxx02cx 6dy(2)yyyg6ax 2bygyxy2bx 2cy(4)(iii)通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界。上:xy(6)邊界xtan 上：y xtanxyxtanl cos 一 2sinxyy xtanx tanm cosx tansinxyxtancosxyx tansinxtancos(8)由(3)(5)式有(10)2 cx 6dyy x tansin2cy , cos 0 y y x tan2cysin |y xtangycos 0y x tan2cx 6dxtansin2cx tan cos 02cxtan singxtan

18、cos 0g2tang 3tan2(iv)將(9)(10)(11)(12)代入(2)(3)(4)g x tan2 g tan2 yxy8.固定端為無(wú)限遠(yuǎn)的三角形懸臂梁,gyg tan上表面受到均勻分布的載荷q作用,(11)(12)(13)(14)(15)如圖所示。6ax 0 a 0由(4)(6)式有2bx 0 b 0由(2)(3)(4)(8)及(9)(10)有40取應(yīng)力函數(shù)為,2222, 丫2 ,k x y x y arctan xy x tanx求應(yīng)力分量（不計(jì)體力）。解：（1）驗(yàn)證應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程32216x y 16xy x y22 3x y16xy3 16xy x2 y222 3x y一 3 一 2216x y 8xy x y(2)寫出應(yīng)力表達(dá)式c , y2