橢圓離心率專(zhuān)題.doc

1、橢圓離心率專(zhuān)題1 從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的視角為1200，則此橢圓的離心率 e為2 Fi, F2分別是橢圓=1(a b 0)的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)R為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A B,且；F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為3 若橢圓上一點(diǎn)與其中心及長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，則此橢圓的離心率 為4 以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是5 橢圓的焦距是長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，橢圓的離心率是2 2X V6 橢圓二2 = 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是Fi、F2,過(guò)F2作傾斜角為120。的直線a b與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 M若MF垂直于x軸，則橢圓的

2、離心率為 2 27直線x-2y + 2= 0經(jīng)過(guò)橢圓 令 匕 =1(a b0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢a b2 28 已知橢圓x- 爲(wèi)=1 ( a0, b0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若a bBF丄BA,則稱(chēng)其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為 。9 以Fi、F2為焦點(diǎn)的橢圓2 2xy12.2丄aba b 0 )上一動(dòng)點(diǎn) 巳當(dāng).匕F1PF2最大時(shí)-PF1F2的正切值為2,則此橢圓離心率 e的大小為2 2 10對(duì)于橢圓 篤 2 =1(a b .0,ch*a2-b2)，定義e仝為橢圓的離心率，橢圓 a ba離心率的取值范圍是e (0,1)，離心率越大橢圓越“扁”，離心率越小

3、則橢圓越2 2“圓”若兩橢圓的離心率相等，我們稱(chēng)兩橢圓相似已知橢圓- =1與橢圓4 m2 2X y 1相似，則m的值為m 911如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),f為左焦點(diǎn),當(dāng)？B丄；B時(shí)，其離心豐丫率為壬1,此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓” 類(lèi)比“黃金橢圓”,可2推算出”黃金雙曲線”的離心率 e等于12 以等腰直角ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)作為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為2 213 .直線x 2y 2 =0經(jīng)過(guò)橢圓篤y2 =1(a b o)a b的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率等于14 .已知正方形 ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓-22 _y_ =( a b .0)上，AB/ X軸，AD過(guò)左a b焦點(diǎn)F,則

4、該橢圓的離心率為 .15 已知正方形 ABCD，則以A, B為焦點(diǎn)，且過(guò)C, D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 16 .已知m,n,m+n成等差數(shù)列， m2 2n, mn成等比數(shù)列，則橢圓 =1的離心率為m n2 217 橢圓務(wù)E =1(a b 0)滿(mǎn)足 a ba _ 3 b，離心率為e,則e2的最大值是19 .若橢圓x2 my2 =1的離心率為，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為220 .已知2P是以F2為焦點(diǎn)的橢圓篤a2b2= 1(ab 0)上的一點(diǎn)，若PF1 PF21站卩越匚,則此橢圓的離心率為2 223 .如圖橢圓 篤爲(wèi)=1 ( ab0)的上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B, F為右焦點(diǎn),過(guò)F作平 a b行與AB的直線交橢圓

5、于 C D兩點(diǎn)作平行四邊形 OCED, E恰在橢圓上.(1)求橢圓的離心率；參考答案1. D【解析】由題意得:二 tan 6( =ab2a2 一 3a2，即31 -e2,6e。選 D。32. D【解析】本題考查直線方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 橢圓的左焦點(diǎn)Fi和一個(gè)頂點(diǎn)B分別是直線x2y2=0與x軸和y軸的交點(diǎn)；所以在方程x-2y，2 =0 中，令 y=0 得 F(-2,0),令 x = 0 得 B(0,1);則橢圓中c = 2,b =1,; a = Jb?= J5;所以橢圓離心率為 =.故選 Da V553. D【解析】連接AF1則AF1F2為直角三角形，角 AF2F1為30, AF1 =

6、 c , AF2 - 3c , 所以 e 二 2c =、3-1。v3c +c4. Cx2y2a a【解析】不妨設(shè)橢圓的方程為評(píng)舒1，由題意得橢圓上的點(diǎn)P坐標(biāo)為”，代入橢圓方程可得1 a222222224T1，即3b， a =3b =3(a -c)，二 2a =3c，.6e =35. B【解析】略6. 2 、3【解析】不妨設(shè)|F1F2|= 1. V直線MF的傾斜角為120/ MFF = 60| MF = 2, | MF = 3 , 2a= | MF| + | MF| = 2 +3 , 2c= IF1F2I = 1 , e= = 2、. 3 .a【解析】直線x 2y+ 2 = 0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(

7、2, 0) , (0,1)，依題意得,c = 2, b= 1? a= . 5 ?2 2 2 2 2 2 2【解析】|AB| =a +b , |BF|= a, |FA|= a+c，在 RtABF中，（a + c） =a +b +a化簡(jiǎn)得：c2+ac-a2=0,等式兩邊同除以 a2得：e2，e_1=0，解得：e=玄-29.-PF-F2的正切值為2，即【解析】當(dāng) F-PF2最大時(shí)P為橢圓與y軸的交點(diǎn)，e，則橢圓離心率2 .2 2 2a b c = a5 2 c21he KUF*9F*a25 o510. 6【解析】11.75+1【解析】猜想出“黃金雙曲線”的離心率e等于一=.事實(shí)上對(duì)直角 ABF應(yīng)用勾

8、股定2小22222222理，得 AF| =|BF +|AB ,即有(a+c)2 =(b2+c2)+(a2+b2),注意到b2二c2 -a2, e = ,變形得e2 -e -1 = 0,從而e =a點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)圓錐曲線的有關(guān)知識(shí)考查類(lèi)比推理，屬于難題212. 2 或 2 一1【解析】略13.2.55【解析】略14.,5 -1【解析】略【解析】略16.丄2【解析】由2n = 2m + n* n2 =m2nm _ 222二，橢圓冬乞=1的離心率為上 n = 4mn17. 23【解析】V318.3【解析】因?yàn)?ca 2a |PFi | | PF?|于是在 PFF2中，由正弦定理知sin 60e= s

9、in90 sin30 319. 1,或2【解析】當(dāng)m 1時(shí),x2=1,a =1 ；當(dāng) 0 : m : 1 時(shí)，2,2ca b彳 31 -m , m 4a21,a420. 3【解析】設(shè) |PR Fn, IPF2 Fa 則 A21 22，r12 s 2*5r2 =(2c)，e = -3-2-121. e-2【解析】由題設(shè)得：2c二2a 2b=ab,c4 二 a2Ce1=0 ,e2，即e =.5-1.5 -1e 諄,1);(2)(i)所求橢圓方程為|16=1 , ( ii )當(dāng)94. 94 丄亍0)- (0,)時(shí),A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱(chēng)。c4 =a2 a2 -c2 ,展開(kāi)后等式兩邊同除以a

10、4得：e4 =1-e2 ,即e4【解析】(I )設(shè)M (xo, yo)22x0y0M G. -0? =1a b(22 a -) c又 FiM F2M =0(xoc, y)(Xo-c, y) = 02 2 2 2 由得y二c -X。代入式整理得X。2a 、2又 0 土 x0 士 a . 0 士 a (22)二 ace2 _ 丄，又0 e 12e彳1)(n) (i )當(dāng) e-時(shí)，設(shè)橢圓G方程為:22b2汁1設(shè)H (x, y)為橢圓上一點(diǎn)，則I HN |2 = x2 (y -3)2 = (y 3)2 2b2 18,其中一 b 乞 y 乞 b若0 : b : 3,則當(dāng)y = -b時(shí)，I HN |2有最

11、大值b2 6b 9由 b2 6b 9 = 50得b=-35.2 (舍去) 若b 3，當(dāng)y= 3時(shí)，|HN|2有最大值2b2+1822由 2b+18=50 得 b =1622所求橢圓方程為y 13216(ii )設(shè) A (X1, y 1), B (X2, y2), Q ( x。，y)，則由 OQ的直線對(duì)稱(chēng)k)=O2 -32解得疋：:：47,又k = 02Q0或0*上2 2j94J94故當(dāng)k(，0) 一 (0,)時(shí)，A B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱(chēng)。22(ii )另解；設(shè)直線I的方程為y=kx+by = kx bI 由x2 y2得132162 2 2(1 2k )x 4kbx 2b - 32 =

12、0(*)設(shè) A(Xi, yi)，B(X2，y2)，Q(x, y),貝UXiX222bk21 2k二 kx0 bb21 2k又直線PQL直線I直線PQ方程為1丄73y xk 3將點(diǎn)Q( X0, y0)代入上式得,1y0X0k將代入b 3(1 2k2)3T X1, X2是(*)的兩根2 2 2 2 2-江=(4kb)2 -4(1 2k2)(2b2 _32) =8 16(1 2k2) _8b2 _ 0247代入得k2 : 一,又k = 029494當(dāng)k，(,0)(0,)時(shí)，A B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱(chēng)。222 223.) (1) e =-=a 2(2)故橢圓方程為1142【解析】(1) T焦點(diǎn)為F(c, 0), AB斜率為,故CD方程為y=b(x c).于橢圓聯(lián)立后消aa去y得2x2 2cx b2=0. / CD的中點(diǎn)為G(-bC),點(diǎn)E(c,蟲(chóng))在橢圓上，