第五章 因素模型

1、 1、掌握因素模型是根據(jù)收益生成過程通過回歸分析建立的收益和風險關(guān)系的資產(chǎn)定價模型2、認識因素模型與資本資產(chǎn)定價模型的關(guān)系3、了解因素模型是實踐中具有操作性的替代資本資產(chǎn)定價模型的測定風險和收益關(guān)系的模型 ： 掌握因素模型的生成性質(zhì)及實際運用 第一節(jié) 單因素模型第二節(jié)資本資產(chǎn)定價模型與因素模型第三節(jié) 多因素模型 第一節(jié)第一節(jié)單因素模型單因素模型 一、系統(tǒng)風險與公司特有風險 二、單指數(shù)模型的估計v 威廉威廉. .夏普（夏普（Sharpe）繼馬科維茲之后于1963年提出了“單指數(shù)模型”，將“均值方差模型”予以簡化。他認為馬科維茲的投資組合分析中，方差協(xié)方差矩陣太過復雜不易計算，因此提出用對角線模式

2、來簡化方差協(xié)方差矩陣中的非對角線元素。此模型假設證券間彼此無關(guān)且各證券的收益率僅與市場因素有關(guān)，這一因素可能是股票市場的指數(shù)、國民生產(chǎn)總值、物價指數(shù)或任何對股票收益產(chǎn)生最大影響的因素。經(jīng)由夏普的模型，任一股票收益率可由單一的外在指數(shù)來決定，這大大簡化了馬科維茲資產(chǎn)組合模型的分析工作。 o 隨后，Sharpe又鑒于馬科維茲“均值方差組合模型”及其早期提出“單指數(shù)模型”中方差與投資比例不呈線性關(guān)系，必須用二次規(guī)劃法求解，求解程序復雜的問題，因而于1967年提出線性規(guī)劃法，將馬科維茲的組合模型以線性規(guī)劃的方式求解。根據(jù)Sharpe進行的實證研究，當股票種類達20種以上時，投資組合的非系統(tǒng)風險逐漸趨于

3、零，此時風險只剩下了系統(tǒng)風險，從而只與市場因素的方差有關(guān)，投資組合的標準差逐漸成為一個線性函數(shù)，因此可用“線性規(guī)劃法”迅速找出有效邊界。一、系統(tǒng)風險與公司特有風險一、系統(tǒng)風險與公司特有風險 由第二章的內(nèi)容可知，總風險系統(tǒng)風險非系統(tǒng)風險。其中： 1.系統(tǒng)風險系統(tǒng)風險是指整個市場所承受到的風險，如經(jīng)濟的景氣情況、市場總體利率水平的變化等因為整個市場環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風險，即每一證券的風險來源是一樣的。由于市場風險與整個市場的波動相聯(lián)系，因此，無論投資者如何分散投資資金都無法消除和避免這一部分風險。 2.非系統(tǒng)風險非系統(tǒng)風險是公司特有的風險，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開發(fā)失敗等等，即每一證

4、券的風險來源是獨立的。風險與整個市場的波動無關(guān)，投資者可以通過投資分散化來消除這部分風險。o 當所有的風險都是對特定公司有影響時，分散化就可以把風險降至任意低的水平。這是因為所有風險來源都是獨立的，任何一種風險來源的暴露可以降低至可以忽略的水平。當共同的風險來源影響所有的公司時，即便是最充分的分散化亦不能消除風險。資產(chǎn)組合的標準差隨著證券的增加而下降，但是它不能降至為零。o 因為投資者可以通過分散化投資降低以至于消除非系統(tǒng)風險，所以持有風險分散化投資組合的投資者比起不進行風險分散化的投資者，可以要求相對較低的投資回報率，這樣，在市場競爭中就處于比較有利的競爭地位。市場均衡定價將根據(jù)競爭優(yōu)勢者的

5、行為來確定，因此，市場定價的結(jié)果，將只對系統(tǒng)風險提供風險補償，只有系統(tǒng)風險才是市場所承認的風險。所以，對于有風險資產(chǎn)而言，通過市場交易定出對于有風險資產(chǎn)而言，通過市場交易定出的均衡價格，其收益率只包含系統(tǒng)風險的風險的均衡價格，其收益率只包含系統(tǒng)風險的風險補償而不對非系統(tǒng)風險提供風險補償。補償而不對非系統(tǒng)風險提供風險補償。 o ( )iiiirE rmo 我們還可以得出進一步的結(jié)論，即不同企業(yè)對宏觀經(jīng)濟事件有不同的敏感度。因此，如果我們記宏觀因素的非預測成分為F，記證券i對宏觀經(jīng)濟事件的敏感度為 ；o 則證券i的宏觀成分為 ，則上面的等式則可表達為等式山：o 這個等式被稱為股票收益的單因素模型（

6、single-factor model）iiimF( )iiiirE rF二、單指數(shù)模型的估計二、單指數(shù)模型的估計 1 1. .單因素模型的定義單因素模型的定義v單因素模型單因素模型是描述證券收益率生成過程的一種模型，往往以指數(shù)形式出現(xiàn)（如GNP指數(shù)、股價指數(shù)、物價指數(shù)等）,所以又稱為指數(shù)模型。單因素模型相對CAPM是為了解決兩個問題，一是提供一種簡化地應用CAPM的方式；二是細分影響總體市場環(huán)境變化的宏觀因素，如國民收入、通脹率、利率、能源價格等具體帶來風險的因素。o 根據(jù)指數(shù)模型，依照與等式三相似的原理，我們可以把實際的或已實現(xiàn)的證券收益率區(qū)分成宏觀（系統(tǒng)）的與微觀（公司特有）的兩部分。我

7、們把每個證券的收益率寫成三個部分的總和，也就是我們這的等式四：o 我們用大寫的R代表超過無風險收益的超額收益，把這個等式改寫為等式五：()ifiiMfirrrr iiiMiRR o 一些投資者可能認為證券的回報率生成過程僅包含一個因素，例如他們認為證券的回報率與預期國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率有關(guān)，那么預期國內(nèi)生產(chǎn)總值與證券回報率之間的關(guān)系以方程形式可以表示為：iiiiRGo o o o 3.3.以回歸分析得出單指數(shù)或單一因素模型以回歸分析得出單指數(shù)或單一因素模型o 假設先考慮經(jīng)濟增長GDP對公司之股票收益率的影響，即只考慮GDP變化對風險補償?shù)挠绊?。歷史數(shù)據(jù)庫 年GDP增長率（%）證券收益率（%）1

8、 12 23 34 45 56 65.75.76.46.47.97.97.07.05.15.12.92.914.314.319.219.223.423.415.615.69.29.213.013.0o 用回歸分析的方法可以得出二者的關(guān)系，如下：iiiiRG()iifRrr 兩邊求期望得 假定上例中，i =4%，i =2，則()( )iiiE RE G4%2iiRGo 這一關(guān)系也可用下面的圖形表示 24201612844826ri0GDPo 為了闡明圖中所反映的數(shù)量關(guān)系，我們使用一元回歸分析的統(tǒng)計技術(shù)做一條直線來擬合圖中的點。那么，圖中這條直線的回歸方程則為Ri=4%+2GDPo 回歸方程和直線

9、都表示較高預期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。4.單因素模型的兩個重要特征單因素模型的兩個重要特征 1）切點組合首先，所有證券的回報率只對一個共同的因素起反應的假設大大地簡化了確定切點組合的任務。為了確定切點組合構(gòu)成，投資者需要估計出所有的預期回報率，方差和協(xié)方差。這可以通過估計單因素模型中每種證券的i、i和it來完成。當然，我們還必須知道因素的預期值F和它的標準差F，進而可以導出彎曲的馬氏有效集。最后，對于一個給定的無風險利率，切點組合可以被確定。證券對因子共同作出反應的假設，使得我們沒有必要直接估計證券之間的協(xié)方差，而只需要通過證券的敏感性和因素的方差即可獲得協(xié)方差。 2）分散化）分散化

10、 單因素模型的第二個有意義的特征與分散化有關(guān)。在前面已經(jīng)說明，分散化導致系統(tǒng)風險的平均化和個別風險的降低。對任何因素模型，除了術(shù)語上用因素風險和非因素風險分別代替系統(tǒng)風險和非系統(tǒng)風險外，上述特征總是成立的。在單因素模型中，組合的方差由下式給出：2222222()()()pppeppiiepieiXX 其 中 ； 上述方程表明組合的總風險也可視為有兩部分構(gòu)成，這與單個證券的總風險可以分解成兩個部分一樣。相應地，分別稱上述方程的右邊第一項和第二項為組合的因素風險和非因素風險。 當一個組合變得更加分散時（即含有更多的證券），每一個比例xi將變得更小，這并不導致p明顯的降低或升高，除非可以加進那些i值

11、 相 對 低 或 高 的 證 券 。 其 原 因 正 如 方 程p=xii所表明的，p僅僅是證券敏感度i以xi為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均。于是，分散化導致因素風險的平均化。 然而，組合的更加分散化，可望使得非因素風險2(ep)下降。這可以通過考察方程2(ep)=xi22(ei)來加以說明。假設投資者投資于每種證券的數(shù)量相等，那么可以用1/N代替xi，即2(ep)= （1/N）2 2(ei) = 1/N(2(ei)/N）。這說明隨著組合的更加分散化，組合種證券的數(shù)目N會越來越大，從而使得組合的非因素風險變小。簡而言之，分散化降低非因素風險。第二節(jié)、資本資產(chǎn)定價模型與因資本資產(chǎn)定價模型與因素模型素模型 一、

12、市場模型二、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系 一、市場模型一、市場模型(MarketModel) 在實際應用過程中常用市場指數(shù)來作為影響證券價格的單因素，此時的單因素模型被稱為市場模型。市場模型實際上是單因素模型的一個特例。 假設一種股票在某一特定時期內(nèi)的收益率與同一時期市場指數(shù)（如標準普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上揚，則很可能該股票價格會上升，市場行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場模型的方程表示這一關(guān)系：iiIiI IiIrr 式中：r i代表某一給定時期證券i的收益率 I代表市場指數(shù) rI代表相同時期市場指數(shù)I的收益率 iI是隨機誤差項o iI 代表了證券市場線的

13、斜率，它表明了每當市場收益變化1%，證券收益變化的程度。用市場模型來描述證券收益，可以幫助我們確定系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)性風險，證券系統(tǒng)性風險等于市場收益的標準差乘以值，因此，代表了股票相對于市場的系統(tǒng)風險，非系統(tǒng)性風險等于非系統(tǒng)性收益的標準差。如果1，表明了此股票的風險大于市場的風險，反之，則表明了股票的風險小于市場的風險；如果截距aiI為正，則證券的表現(xiàn)要優(yōu)于市場，反之，則劣于市場。 v這一分析結(jié)果可用下表表示：這一分析結(jié)果可用下表表示：變量數(shù)值與市場的比較正優(yōu)于0相同負劣于大于1風險大1相同小于1風險小o 我們可以運用對歷史數(shù)據(jù)的回歸分析估計出市場模型中的參數(shù)，從而得出值。例如，可以計算過去

14、5年內(nèi)的月收益率，這樣市場指數(shù)和某一證券的收益率就分別有60個觀察值，然后對這些觀察值進行回歸分析。的觀察值越多，值的估算就越準確。o 而資產(chǎn)組合系統(tǒng)性風險的計算公式為 pm p=X1 1 +X 2 2 +X3 3 +Xn n Xi為證券i在資產(chǎn)組合中所占的比重。 例子：考慮股票A，有iI =2%，iI =1.2，這意味著股票A的市場模型為： 2%1.2AiIAIrr因此，如果市場指數(shù)回報率為10%，則證券A的回報率預期為14%（=2%+1.2*10%）。同樣，如果市場預期的回報率為-5%，則證券A的預期回報率為-4%。注意：由于隨機誤差項的存在（表示證券回報率中沒有被市場模型所完全解釋的部分

15、），當市場指數(shù)上升10%或下降5%時，證券A的回報率將不會準確地為14%或-4%。即，實際回報率和所給定市場指數(shù)回報率之間的差額將歸結(jié)于隨機誤差項的影響。二、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系二、資本資產(chǎn)定價模型與因素模型的關(guān)系 1.實際收益與期望收益 資本資產(chǎn)定價模型是一個很好的模型。問題是它是否具有現(xiàn)實世界的價值它的含意是否由經(jīng)驗得來。我們現(xiàn)在要扼要地重點討論更基本的問題：資本資產(chǎn)定價模型在原則上是否可以檢驗？首先，資本資產(chǎn)定價模型的核心預言是，市場資產(chǎn)組合是一個均方差有效的資產(chǎn)組合，目前無法檢驗。再者，資本資產(chǎn)定價模型暗示了各種期望收益之間的關(guān)系，而所有我們可以觀察到的只是實際的或已實現(xiàn)的

16、持有期間的收益，并且它們并不需要等于先前的預期值。 同資本資產(chǎn)定價模型的簡單與深入一樣，我們必須提出附加的假定條件，以使它可以起作用并可以檢驗。o 兩個方程都表明證券的預期回報率與證券的一個特征i相聯(lián)系，假定因素E(F)和(E(rM)-rf)的預期回報率為正，那么特征的值越大，證券的預期回報率就越大。在這一點上兩個方程幾乎沒有區(qū)別。 關(guān)鍵在于每個方程右邊的第一項：i和rf。根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型，決定預期收益率的唯一特征為iM，而rf表示無風險利率，對所有證券都是同一個值。然而在因素模型中，決定證券的預期收益率還有第二個特征，i它需要估計。正是一種證券與另一種證券i的大小不同，妨礙了因素模型成為

17、一種均衡模型。 換一個角度看，根據(jù)因素模型，兩個具有相同值的證券戲劇性地具有不同的預期回報率。例如，如果GDP的預期增長率為5%，A、B兩種證券的i、i分別為4%，2；-2%，2。那么，兩種證券的預期收益率分別為14%和8%。 相反，由基于均衡的資本資產(chǎn)定價模型，兩個具有相同的iM的證券將具有相同的預期收益率。例如，如果A、B兩種證券的iM都為1.2，那么在給定無風險利率為8%，市場預期收益率為13%的情況下，它們都具有14%的預期收益率。 o o 3.資本資產(chǎn)定價模型與市場模型資本資產(chǎn)定價模型與市場模型 在資本資產(chǎn)定價模型和市場模型中都有一個被稱為值的斜率，并且這兩個模型或多或少地包含了市場

18、，但是它們之間卻有明顯的區(qū)別：q 首先首先，資本資產(chǎn)定價模型是一個均衡模型，它描述證券的價格如何確定；市場模型是一個因素模型。q其次其次，資本資產(chǎn)定價模型是相對于整個市場組合而言的，即相對于市場中所有證券的集合。而市場模型是相對于某個市場指數(shù)而言，即基于市場中的一個樣本。 雖然從嚴格意義上講，資本資產(chǎn)定價模型中的值和市場模型中的值是有區(qū)別的，但是在實際操作中，由于我們不能確切知道市場組合的構(gòu)成，所以一般用市場指數(shù)來代替，因此我們可以用市場模型中測算的值來代替資本資產(chǎn)定價模型中的值。第三節(jié)、多因素模型多因素模型 一、多因素模型的經(jīng)驗基礎(chǔ)二、多因素模型 一、多因素模型的經(jīng)驗基礎(chǔ)一、多因素模型的經(jīng)驗

19、基礎(chǔ) 經(jīng)濟狀況影響著大部分企業(yè)，因而對經(jīng)濟前景的預期的變化被認為對絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟并不是一個簡單、統(tǒng)一的實體，因而我們需要確認一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：1.國內(nèi)生產(chǎn)總值；2.利率水平；3.通貨膨脹率；4.石油價格水平等。 多因素模型對現(xiàn)實的近似程度更高。這一簡化形式使得證券組合理論廣泛應用于實際成為可能，尤其是20世紀70年代以來計算機的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場化，極大地促進了現(xiàn)代證券組合理論在實踐中的應用。 二、多因素模型（二、多因素模型（Multifactor modelsMultifactor models） 與單因素模型不同，當考慮多個因素對

20、證券收益率的影響時，則產(chǎn)生多因素模型，多因素模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風險，從而有可能展示不同的股票對不同的因素有不同的敏感性，這可能會使精確性得以提高。作為多因素模型的一個例子，我們考慮一個雙因素模型雙因素模型，這意味著假設收益率生成過程中包含有兩個因素。 例子例子：考慮兩個公司，一個是公用事業(yè)單位，另一個是航空公司。 航空公司，它的預期收益的影響因素更多的是：GDP、國際油價等。 公用事業(yè)單位，如供電公司，它的預期收益對未來的GDP、國際油價等因素也相關(guān)，但相關(guān)程度就差距很大。o F1t和F2t是兩個對證券回報率具有普遍影響的因素，i1和i2分別是證券i對兩個因素的敏感性。同單因素模型一樣，i是隨機誤差項是解釋其他影響的，i是當兩個因素都取值為0是證券i的預期回報率。 在雙因素模型中，我們需要為每種證券估計4個參數(shù)：i, i1, i2以及隨機誤差的標準差i。對每個因素，需要估計兩個參數(shù)：因素的預期值以及因素的方差和。此外還要估計兩個因素的協(xié)方差cov(F1, F2)。 同單因素模型一樣，在多因素模型中，一個組合對某一因素的敏感性是對所含證券的敏感性的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)為投資于各證券的比例。 切點組合切點組合 跟單因素模型一樣，一旦利用前面那些方程計算出預期回報率、方差和協(xié)方差后，投資者便可以使用最優(yōu)化來導出彎曲