第一章度量空間-黎永錦

1、第一章度量空間-黎永錦第1章度量空間在1900年巴黎數(shù)學(xué)家大會上我曾毫不猶豫 地把十九世紀(jì)稱為函數(shù)論的世紀(jì).V. Vol terra (伏爾泰拉)(1860-1940,意大利數(shù)學(xué)家)泛函分析這一名稱是由法國數(shù)學(xué)家P. Levy引進(jìn)的.在十九世紀(jì)后期，許多數(shù)學(xué)家已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)中許多領(lǐng)域處理的是作用在函數(shù)上的變換或者算子，推動創(chuàng)立泛函分析的根本思想是這些算子或變換可以看作某類函數(shù)上算子的抽象形式，把這類函數(shù)全體看成空間，而每個函數(shù)就是空間的點(diǎn)，算子或變換就把點(diǎn)變成點(diǎn)，將函數(shù)變成實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的算子就稱為泛函.泛函的抽象理論是由V. Volterra(1860-1940)在關(guān)于變分法的P. Levy (

2、1886-1971)工作中最先研究的，但在建立函數(shù)空間和泛函的抽象理論中，第一個卓越的成果 是由法國數(shù)學(xué)家M. Frechet 1906年在他的博士論文中得到的.1. 1度量空間M. Frechet是法國數(shù)學(xué)家，他1906年獲得博士學(xué)位.M. Frechet的博士論文 開創(chuàng)了 一般拓?fù)鋵W(xué),G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他數(shù)學(xué)家發(fā) 展了有限維空間的點(diǎn)集理論.V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等開始把 實(shí)值函數(shù)作為空間的點(diǎn)來考慮.M. Frechet的博士論文統(tǒng)一了這兩種思想,并建立 了一個公理結(jié)構(gòu).他給出收斂

3、序列的極限的一組公理，然后定義了閉集、內(nèi)點(diǎn)和完 備集等基本概念,還引入1了相對列緊性和列緊性，并得到了列緊集的基本性質(zhì)，在他的博士論文中,M. Frechet第一次給出了度量空間的公理.定義1.1.1若是一個非空集合,是滿足下列條件的實(shí)值函數(shù),Xd：X, X,Rx, y, X對于任意，有d(x,y),0(l)當(dāng)且僅當(dāng);x,yd(x, y), d(y, x) ; (2)d(x, y), d(x, z), d(y, z) (3).(X, d)則稱d為X上的度量，稱為度量空間.d(x, y), d(y, x), d(x, x)d(x, y), 0明顯地，由(3)可知，故由(2)可知，因此是一 個非負(fù)

4、函數(shù).d(E, d)若X是一個度量空間,E是X的非空子集，則明顯地也是度量空間，稱(X, d) (E, d)為的度量子空間.d(x,y), |x,y| (R, d)例1. 1. 1若R是實(shí)數(shù)集，定義，則容易看出是度量空間.X例1. 1.2對于任意一個非空集，只需定義,0,當(dāng) x , y 時,d(x, y) = , 1,當(dāng) x , y 時.，(X, d)則X是一個度量空間，稱d為上的平凡度量或離散度量.度量不是唯一的，在一個非空集合上，可以定義兒種完全不同的度量.nR例1. 1. 3對于，可以定義幾種不同的度量，對于,有x, (x), y, (y) iin21/2d(x, y), (x, y)

5、; , ii, nl2d(x, y), jx, y| ; , liin, 1d(x, y),maxjx, y|2iinnnn容易驗(yàn)證，和都是度量空間，一般稱為歐兒里得(R, d) (R, d) (R, d) (R, d) 12空間.以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的.例1.1.4如果用記所有實(shí)數(shù)列形成的集合，對于任意，定義x, (x), y, (y)sii,x, y iid(x, y), ,i!(l, |x,y|)il, iix容易知道滿足度量定義中的(1)和(2),由函數(shù)(x)二在(0,)是d, , ,1, xla, b|, |a|, |b|單調(diào)增加的可知對于，有a, b

6、a , ： b a b I, , 1, a, b；l, a , bl, a , bl, a, !b Ia Jb|, , 1, a 1, ibd(x, y), d(x, z), d(y, z) (s, d)令，則可得到，所以 a, x, z, b, z, yiiii是一個度量空間.常見的序列空間還有如下兒個空間.(x), (y), 11, (x) I sup I x I, , ,例 1. 1. 5 ,對于任意的，定義,iiii, i,ld(x, y),sup|x, y|l.即為所有有界數(shù)列所形成的空間，如,x, () ii, ii,但.y, (I, (, D), lz, (i), 1,c, (x

7、) limx, 0 (x), (y), c 例 1. 1. 6 ,對于任意的，定義 iiOOiii,3lcd(x, y), sup x, y|.即為所有收斂于0的數(shù)列所成的空間，如x, (), 0iii2ib (, l)i,但.y, (),cz, (1, (, 1), c0i03,(x), (y), ld(x, y)例 1. 1. 7 ,對于任意的，定義 1, (x) x , , , iill, iili,11.即為所有絕對收斂數(shù)列所成的空間，如，但,x,y|x, (),lliil,iil,31. z, (), lli3R度量就是中距離的推廣，在給定的集合上定義了度量,就可以討論點(diǎn)列的收 斂性

8、.d (x, x), 0 (X, d)定義1. 1.2設(shè)是度量空間,，若，則稱序x,XlinmOn,nxx, x(n,) limx, x列按度量收斂于,記為，或，此時稱為dx x) OnOnOnn, nx收斂點(diǎn)列,稱為的極限.x0n大家都知道,若數(shù)列在數(shù)學(xué)分析中，是收斂的，則其極限是唯一的類似地，在xn度量空間也有下面的結(jié)論.(X, d)定理1.1.1在度量空間中，若是收斂點(diǎn)列，則的極限一定唯x xnn-.x, y, Xlimx, xlimx, yx, y證明用反證法，假設(shè)有,使得,，但，則由nn, nnd(x, y), Od(x, y), 0,可知.又由于，因此 d(x, y), d(x,

9、x), d(x, y) nnd(x, y), Ox, y,但這與假設(shè)矛盾，所以由反證法原理可知的極限唯一.xn(X, d)另外，容易看出，在度量空間中,若是收斂點(diǎn)列，則的任意子x xnn列也 是收斂點(diǎn)列，并且極限是一樣的.d (x, y), d (x, y) d (x, y) x, xy, y 定理 1. 1. 2 若，則.即是 nnOOnOnO4和的二元連續(xù)函數(shù).yx證明由于d (x, y), d (x, x), d (x, y) nnnOOn,d(x, x), d(x, y), d (y, y) nOOOOn因此d (x, y), d (x, y), d (x, x), d (y, y)

10、nnOOnOnO同樣地，有d (x, y), d (x, y), d (x, x), d (y, y) OOnnnOnO因而d(x, y), d(x, y) I, d(x, x), d(y, y) nnOOnOnOd (x, y), d (x, y)所以，.nnOO如果考慮如下的問題呢，(X, d)問題1.1.1若X是線性空間，為度量空間，加法是否連續(xù)呢，不一定，下 而的例子是 D. D. Rothmann A nearly discrete metric. Amer. Math.Monthly 81 (1974), 1018-1019.作出的.R, (,，, )x, y, R例1. 1. 8

11、設(shè)，對于任意，定義0,當(dāng) x , y 時,d (x, y)二,xy, max | |, | |當(dāng) x , y 時.,(R, d)則容易驗(yàn)證是一度量空間.lyx, lx, ly, 1 其實(shí)，只要取,則，nnOOn11, d(y, y), d(, 0), 0. d(x, x), d(l, 1), 0, OnOnOnnld(x, y, x, y)d(x, y, x, y), d(l, 1), 1 但，因此不收斂于 0.所以，雖 nnOOnnOOn5x, yy, yx, x 然，但是不收斂于.x, yOOnOnOnn231/23R在空間解析兒何中，稱(x, x, x) ( x,x ),r是中一個以,i

12、l230i, 1rx為球心，為半徑的球.同樣地，球的概念可以推廣到一般的度量空間.0r(X, d)定義1.1.3若為度量空間，為大于0的實(shí)數(shù)，則稱,x, X d (x, x), r xrU (x, r) U (x, r)是以為球心,為半徑的開球，記為.而0000,x, X d (x, x), r xrB (x, r)稱是以為球心，為半徑的閉球.000抽象的度量空間與現(xiàn)實(shí)的世界有著較大的區(qū)別，下面的問題是很有意思的.問題1.1.2在度量空間中，一個半徑較小的開球能否真包含一個半徑較大的開球,度量空間的開球與真實(shí)世界的球有著本質(zhì)的區(qū)別，一個半徑為6的開球，可能會 真包含在一個半徑為4的開球內(nèi).22

13、X, (x, x) | x, x 例1.1.9 設(shè) X 為實(shí)數(shù),在上定義度量 |x|, 1x1,16121212221/2,則以x二(0, 0)為球心4為半徑的小球真包含以d(x,y), (|x,y|, x,y|)01122y二(3, 0)為球心6為半徑的大球.0進(jìn)一步，還可以考慮下面的問題.r, r, 0問題1. 1. 3對于任意,是否都可找到一個度量空間，存在兩球,使得小21U(x, r)U(x, r)球真包含大球呢，01026利用開球還可以刻畫點(diǎn)列的收斂性，類似于數(shù)學(xué)分析中的數(shù)列收斂與開區(qū)間的x ,0n,N聯(lián)系，序列依度量收斂于當(dāng)且僅當(dāng)對于任意，存在，使得xNnOxU(x,)時，都包含在

14、開球中.n00,1例1. 1. 10若為非空集合的平凡度量,則對任意及，Xdx, X0 xn, NU(x,)只包含一個點(diǎn)，因此如果序列收斂于，則必有,使得時，一定xNnOOx, x 有.n0r,0 1. 1.4設(shè)M是度量空間X定義的子集,若存在xX,使得M包含在,0U(x,)(X,d)開球中，則稱M是的有界集.0r, 0明顯地,M是有界集當(dāng)且僅當(dāng)存在x及，使得對任意，有x, M0.d(x, x), r0定理1.1.3若為度量空間的收斂序列,則是有界的.x xnnN, In, Nlimx, x證明設(shè)，則對于，存在，使得時，有.d(x, x), InOnO, nn 令，則對任意的，有，故 r, m

15、ax 1, d (x, x), d (x, x), ld(x, x), rOlOn, lOn，所以是有界的.x x, U(x, r) nnO(X, d)有界集是一個與度量有關(guān)的概念，因?yàn)閷τ谌我庖粋€度量空間，都可以引M, X入另一度量，使任意子集都是有界集.，d(x, y), (x,y),M,XX事實(shí)上，只需令，則容易看出對任意,M都是(,),1, d(x,y)d(x, x),0, (x, x), 0的有界集，并且有當(dāng)且僅當(dāng).nn7d(x, y)例 1. 1. 11 設(shè) s 為全體實(shí)數(shù)列，對于任意,x, (x), y, (y), sii, x, y I ii=, 試證明(s, d)中序列按度量

16、收斂當(dāng)且僅當(dāng)序列按坐標(biāo)收斂.d,i!(l, |x,y|)ii,il(n) (0), x, x iix, s 證明 若，則 d(x, x)二 0, d(x, x), Onn, nO (n) (0) i ! (1, x,x|)il, ii故對每一個固定的i,有0(n) (0) x, x iiOO, d(x, x) nO (n) (0) i ! (1, I x, x I) OiiOO因而i !d(x, x) (n) (n)OnOIx, xI, iiOOl, i !d(x, x)OnO(n) (n)所以，即按坐標(biāo)收斂于.xxlimx, xnOiiOO, n,lx若反過來,按坐標(biāo)收斂于，則對于任意0,1

17、,由于級數(shù)收x0, ni!,il,1,斂，因此存在正整數(shù)m,使得.，i!4im,n() (0)對于每個im,有，使得n N時，有.令N二max N,.,lx, x, ii lii4N ，則當(dāng) n N 時，有 m-1,(n) (0)m, lm, 1 |x, x|4ii , (n) (0), i! (1, |x, x|) i, li, liii! (1, )43, ,4因此(n) (0) (n) (0)ml, |x,x| |x,x|iiiid (x, x), , nO, (n) (0) (n) (0) i ! (1,x, x ) i ! (1, I x, x I) ilim, iiii,3 , ,

18、.,448limd (x, x), 0.所以即依度量收斂到.d x xnOnO, n1. 2度量拓?fù)湓跀?shù)學(xué)分析，對實(shí)數(shù)集R,已經(jīng)有了開區(qū)間，閉區(qū)間，開集和閉集等概念，將這些概(X, d)念推廣到一般的度量空間，就可以建立起度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).(X, d)定義1.2.1設(shè)是度量空間，是X的子集,x,G稱為的內(nèi)點(diǎn)，若存GGO在的某個開球，使得.若G的每一個點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，則稱GU(x, r)U(x, r), G00為開集.G,另外，規(guī)定空集是開集,明顯地X定是開集.(X, d)定理1.2.1對于任意，開球是度量空間的開集.x, X, r, 0U(x, r)00證明只需證明對于任意的，是的內(nèi)點(diǎn).xx,

19、U(x,r)U(x,r)00r, r, d(x, x)d(x, x), IT, 0 對于，有，令，則且 x, U(x, r)000d(x, y),r時，有，因而 y, U(x, r )d(x, y), d(x, x), d(x, y), d(x, x), r , r 000所以，即是的內(nèi)點(diǎn)，由是任意的可知是xxU(x, r ), U(x, r)U(x, r)U(x, r)000開 集.下面關(guān)于開集的基本性質(zhì)就是一般拓?fù)鋵W(xué)的公理基礎(chǔ).(X, d)定理1. 2. 2設(shè)是度量空間，則(1)任意個開集的并集是開集；9(2)有限個開集的交集是開集.(X, d)證明(1)設(shè)為的一族開集，則對任意,有某個下

20、標(biāo),x, :GG,0,U(x, r), GU(x, r), G使，由于G是開集，因而有開球，因此,故x, G, :000,GG為的內(nèi)點(diǎn)，由是任意的可知是開集.xx:,nG, ,Gx, G (2)設(shè)為開集，對于任意，對，有,i, 1, 2, nx, Glnii： i, 1Gr, minr i, 1, 2, nU(x, r), Gr由于是開集，因此有使得，令，則iiiiinnnU(x, r),GU(x, r),GGG,因而,所以，為 的內(nèi)點(diǎn)，從而 為開集. 叫 哼XII ： ： ： 1111, 1, 11, 1例1. 2. 1設(shè)X是非空集合，為X上的平凡度量，則對任意，開球dx, X0U(x, 1

21、), xI d(x, x), 1, x,因而是開集,所以,X的任意子集x0000G, x都是開集.:x問題1.2.1任意多個開集的交集是否一定為開集，任意多個開集的交集不一定是開集.lld(x, y), |x, y |例1. 2. 2在實(shí)數(shù)空間中,，對于任意自然數(shù),G, (,) Rnnnn,11, ： (,), 0G是的開集，但不是開集.Rn：nn, nlC (X, d)F, X定義1.2.2度量空間的子集稱為閉集，若的余集是開集.FFF 山上面的定理，容易看出下面定理成立.(X, d)定理1. 2. 3設(shè)是度量空間，則,X(1)和是閉集；10(2)任意閉集的交集是閉集；(3)有限個閉集的并集

22、是閉集.與閉集有著密切聯(lián)系的概念是極限點(diǎn).(X, d)定義1.2.3設(shè)F是中的集合,，若包含的任意開集都含有不同x, XxFF于 的的點(diǎn)，則稱為的極限點(diǎn).XXFFR明顯地，為的極限點(diǎn)時，不一定屬于.例如在實(shí)數(shù)空間中,0是F = xx1| n = 1, 2,，n,的極限點(diǎn)，但.0,FnF容易看出，有兒種方法可以檢查一個點(diǎn)是否為的極限點(diǎn).xx,X(X,d)定理1.2.4設(shè)為度量空間，則下列條件等價(jià):F, X0F (1) x為的極限點(diǎn)；0F(2)包含x的任何一個開集都含有異于x的無窮多個點(diǎn)；00 x, x, xlimx, x. F (3)在中存在序列，且 nnOnO, n(X, d)FF定義1.2.

23、4設(shè)是度量空間，稱的極限點(diǎn)全體為的導(dǎo)集，記F,XF,F:F FF為.稱為的閉包.F,FF, 1,2: 3,4F，1,2例 1. 2. 3 在實(shí)數(shù)空間中，若，則，且.R(X, d)FX定理1.2.5設(shè)是度量空間，為的子集，則下列條件等價(jià)：F (1)是閉集；FF(2);F,F(3) CF,FF,F證明(1)(2)若是閉集，則是開集如果，則.如果F,x,Fx,F,則對任意，必有.F,CCCx, Fx, FF:F, F,不然，假設(shè)，則有,由于是開集,且,但這與11x, F矛盾.F,F:F,F (3)若 F,F,則.，CF,F,F:F,F, (3) 若，則F,F.如果，則是閉集；F, X,CCx, FF

24、, x, F,，如果，則對任意,由F, F可知，因而存在開球CCCFFU(x, r):F, F,故,即是的內(nèi)點(diǎn)，因此是開集，所以是閉xU(x, r),F 集.x,X(X, d)定理1.2.6設(shè)是度量空間,，則下列條件等價(jià):F,X；x,F(2)的每個開球都包含有的點(diǎn)；Fxlimx, x. x, F (3)有序列，使得 nn, nx, F, F:Fx, FU(x, r)證明(1)(2)對，若，則明顯地對每個開球，xx, F U(x, r)U(x, r)U(x, r)包含有的點(diǎn).若，則對于的每個開球，必含有的FFxU(x, r)異于的點(diǎn),所以一定含有的點(diǎn).Fxllx (2) (3)對于任意正整數(shù)，中

25、含有的點(diǎn)，因而dxx,所U(x,)F, (,), nnnnn limx, x.以，n, nx, Fx, Flimx, x. 設(shè)存在，使得如果，則明顯地有,nn, nx, xx, Fx, Fx, Flimx, x.如果，則由可知，因而由可知nnn, nx, Fx, F,所以,.容易證明，的閉包就是包含的最小閉集,因此需要考慮下面的問題.FFU(x, r) (X, d)問題1.2.2在度量空間中，開球的閉包是否一定是閉球OB(x, r),rU(x, r) (X, d)B(x, r)x在度量空間中，都以為球心，為半徑的開球和閉球00012雖然半徑一樣，但開球的閉包不一定是閉球.R,(,)例1. 2.

26、 4在上,定義平凡度量,0,當(dāng) x , y 時，d(x, y)= , 1,當(dāng) x , y 時.，U(0, l)U(0, 1), 0則對于開球，由于是閉集，因此它的閉包仍是0,不是閉球B(0, 1),(,).(X, d)定義1.2.5設(shè)是度量空間,，稱的內(nèi)點(diǎn)全體為的內(nèi)部，記GGG,X0G為.容易證明，對于的內(nèi)部和閉包，有下面的定理成立.G(X, d) F, X定理1.2.7設(shè)為度量空間,，則G,X0G,G (1)是開集當(dāng)且僅當(dāng)；G0G, G, G (2);00G, FG,F(3)當(dāng) G,F 時，一定有，.利用閉包這一概念，還可以引進(jìn)一些與閉包有關(guān)的概念.F, X(X, d)定義1.2.6設(shè)X為度

27、量空間的子集，若，則稱在中稠密.FFF(X, d)定義1.2.7設(shè)為度量空間的子集，若不包含任何內(nèi)點(diǎn)，則稱稱在FFX中 是疏朗的.R,(,)例1.2. 5全體有理數(shù)Q在實(shí)數(shù)空間中是稠密的,而全體自然數(shù)在中 是疏朗的.ZR(X, d)在度量空間d中，利用度量,可以定義開集，閉集，閉包，內(nèi)部等概念，也可13以利用開集來刻畫序列依度量收斂于.dxxOnF. Hausdorff (1868-1942)發(fā)現(xiàn)對于一個給定的點(diǎn)集，可以不必引進(jìn)度量，也能 用某種方式來確定某些子集為開集，然后利用開集就可以建立閉集，閉包和序列收斂 等概念,F. Hausdorff利用這些概念建立了拓?fù)淇臻g的完整理論.定義1.2

28、.8設(shè)X是一個非空集合，是X的一族子集，若滿足下面的三個公,，理， 則稱(X,)是拓?fù)淇臻g，X, (1);(2)中任意個集合的并集屬于；,(3)中任意有限個集合的交集屬于.，此時稱中每一個集合為開集，則稱為拓?fù)洌?X,) (X, d)明顯地，若是度量空間，為度量空間中的全體開集，則為拓?fù)?，空間，稱為度量d產(chǎn)生的拓?fù)洌?X, )XX例1. 2.6設(shè)是一個非空集合，為的子集的全體，則是一個拓?fù)?，X空間，此時稱為的離散拓?fù)?此時，對于任意，都是開集.若d為上的平凡x, Xx,X度量,則度量d產(chǎn)生的拓?fù)渚褪堑碾x散拓?fù)?(X, )X, x, y, zX, x, x, y, x, z,例 1. 2. 7

29、設(shè),=,則為一拓?fù)淇眨?z(X,)UUy間.但在中，對含有點(diǎn)和含有點(diǎn)的任意開集和，都有zyU：U,. yz lx, y, X(X, d)明顯地，在度量空間中，對于任意，只需取，則r, d(x, y)4U(x, r) ：U(y, r),具有這種性質(zhì)的拓?fù)淇臻g稱為Hausdorff空間.14(X,)定義1. 2. 9拓?fù)淇臻g稱為Hausdorff空間，若對于中的任意，Xx, yx, yUx, U,存在兩個開集和，使得,，且.UU：U, y, Uxxyxyy(X, d)另外,度量空間還具有下面例題中的性質(zhì)，而具有這種性質(zhì)的拓?fù)淇臻g為正規(guī)空間.(X, d)FFF:F,例題1. 2. 1設(shè)，是度量空間中

30、的兩個閉集，且,試證明1212UUF, UF,UU:U,存在開集,，使得,，且.12112212ccF:F, F證明:由于,因此.由是閉的可知是開集，故對于任意FF, F122122ex, Fr, 0,存在，使.U (x, r), Flx2xrxUF, UU, U(x,)令,則是開集,且.1111:2, xFlrycy, F, (,)UUy類似地，對于任意，存在，使得U(y, r),F,令，則r, 0221yy:2, xF2UF, U 是開集，且.222rryx: (,)z,U:UUx：,如果存在，則由可知一定有：(,)Uy, 122, xF2, yF12rryxx, F(, )z, Uy (

31、,) y, Fz, Ux,使且.1222因此rryxd(x, y), d(x, z), d(y, z), , maxr, r xy22cy,Fd(x, y),r但這是不可能的，因?yàn)槿?，則與矛盾；若d(x, y) 0,RIf(x) |,Mf(F)f(F)使得對任意x,有.由于為實(shí)數(shù)的緊集，因而包含上確界Rf (x), yf (x), yyyx, x, F 和下確界，所以存在，使得，.11221212(X, d)由上面定理可知，若為度量空間，為緊集，則上每個實(shí)值連續(xù)函數(shù)FF都是有界的，但下面的問題乂如何呢，(X, d)問題1.3.1設(shè)為度量空間，若X上的每個實(shí)值連續(xù)函數(shù)都是有界的，則X 是否一定是

32、緊的呢，XX E. Hewitt在1948年肯定地回答了上述問題，他證明了是緊的當(dāng)且僅當(dāng)上的每個實(shí)值連續(xù)函數(shù)都是有界的.Emile Borel在1895年首先給出并證明了現(xiàn)在的Heine - Borel定理,PierreCousin (1895), Lebesgue (1898)和 Schoenflies (1900)推廣和完善了該定理. nR定理1.3.6 (Heine - Borel theorem)空間中的子集是緊的當(dāng)且僅當(dāng)是有FF 界閉集.證明當(dāng)是緊集時，明顯地是有界閉集.FFnRd (x, 0), x, F反過來，若是的有界閉集,則存在M 0,使得對于任意，有F19nnk()21/2

33、21/2(|x|),Md(0, x), (|x|),M.故對于中的任意序列,有，因Fx ikik, ii, 1, 1(k) (k) (k)kix,R而對于每個固定的，有 對任意成立，由及x為有界數(shù)x , Miii(k)Ri, 1列可知它一定有收斂子序列.對于，在中一定有收斂的子序列x 1(k) (k)mmRi,2;同樣,對于，在中一定有收斂的子序列，不妨仍記為x x 12(k) (k) (k) (k)mmmm,依照同樣的方法,可以找到個子序列，即，,.,nx x x xnl22nR都收斂由中度量的定義容易知道的子序列一定收斂，所以，是緊xFXkkm 集.緊集上的連續(xù)算子還具有一些關(guān)于不動點(diǎn)的性

34、質(zhì).下面先看看不動點(diǎn)的定義和 一個非常簡單的例子.x, F(X, d)F, XT定義1.3.4設(shè)為度量空間，為到的映射，若，使FF0Tx, xxT得，則稱為的不動點(diǎn).000先看看下面很有意思的例子.xff例1.3.2若是0, 1到0, 1的連續(xù)函數(shù)，則在0, 11-定有不動點(diǎn)，使得Of (x), x. 00f(O),Of(l), If實(shí)際上，如果或，則明顯地，在0,11-定有不動點(diǎn).假如g(0), Of (0), Of (1), lg(x), f (x), X和都不成立，那么對于,有，并且x, (0, l)g(x),f(x),x,0g(l),0,有連續(xù)函數(shù)的中值定理可知，存在，使得,0000

35、f所以，在0, 1-定有不動點(diǎn).容易知道，0, 1是R上的閉凸集,將上面的結(jié)果推廣到0, 1上的緊凸集，就得nR到了 Brouwer不動點(diǎn)定理,L. E. J. Brouwer在1912年證明了歐兒里得空 間的不20動點(diǎn)定理.nnRR定理1.3.7 (Brouwer不動點(diǎn)定理)設(shè)為歐兒里得空間，為的緊凸集，若FTx, xx, FT為到的連續(xù)映射，則存在，使得.FFOOOx, y, XFF, X設(shè)為線性空間,，則是凸集指的是對于任意的，及任意X,x, (l,)y, F,有，(0, 1)凸集非凸集1922年,G. D. Birkhoff和0. Kellogg證明在中不動點(diǎn)定理成立.J.Schaud

36、er 12在1930年還把上述不動點(diǎn)定義推廣到賦范空間，即賦范空間中的任一緊凸集具 有不動點(diǎn)性質(zhì)，而Tychonoff進(jìn)一步證明局部凸空間的任一緊凸集也具有不動點(diǎn)性 質(zhì).1.4完備性與不動點(diǎn)定理22x在數(shù)學(xué)分析討論實(shí)數(shù)數(shù)列的極限時，大家都知道數(shù)列是Cauchy列當(dāng)且僅nx當(dāng)為收斂數(shù)列,Cauchy列這一概念亦可推廣到度量空間.n,0 x(X,d)X定義1.4.1設(shè)是度量空間，為的序列，若對任意，存在正nxm, n, Nd(x, x), N整數(shù)，使得時，有，則稱為Cauchy列.mnn21x x (X, d)明顯地，若為度量空間的收斂列，則一定是Cauchy歹山但反之nn 不然.d(x,y),

37、|x,y| (Q, d)例1. 4. 1設(shè)為全體有理數(shù),，則為度量空間，且Qllnn(Q, d)Cauchy列,但在度量空間中不是收斂列.，(1) (l)nn(X, d)定義1.4.2若度量空間的每一個Cauchy列都收斂于中的點(diǎn)，則稱X(X, d) 為完備的度量空間.完備的度量空間具有很好的性質(zhì),M. Frechet在他的博士論文中就已經(jīng)仔細(xì)地區(qū) 別完備與非完備的度量空間了.d(x, y), sup ： x, y |例1. 4. 2所有實(shí)數(shù)收斂數(shù)列全體c在度量下是一個完備ii的 度量空間.nRx例1. 4. 3歐兒里得空間是完備的度量空間，事實(shí)上，如果是Cauchy列,k則對于每個固定的，由

38、in(l) (m) (1) (m) 21/2 x, x ；, (x, x ), d(x, x) , iiiilm, il(k) (k)xx, (x) x可知是中的 Cauchy 列，因而存在，使得令,Rlimx, x. iiiii, knRlimx,x則，所以，是完備的度量空間.k, k常見的序列空間c, 1, 1 (1, p,)都是完備的度量空間.Olp22a, b在數(shù)學(xué)分析中，大家都知道閉區(qū)間套定理:如果閉區(qū)間列滿足如下條nn件:23a, b, a, b (1) n, 1, 2, 3, n, In, Innlim a, b i, 0 (2) . nnn,a, b (n, 1, 2, 3,)

39、 lima, limb,則存在唯一的，使得.nnnnn, n, 在完備的度量空間，有類似的結(jié)論.(X,d)定理1.4. 1設(shè)是完備的度量空間,B, x | d (x, x), r nnn,B, B, B, B,并且 limr, 0.則必有唯一的.x, :B12nn, Innin, n,r, Olimr, On, NN證明由于，因此對于任意的，存在，使得時，有.nnk, xd(x, x), r, m, n, N對于，由，可知，因而是 Cauchy 列.因?yàn)?B, Bnmnnmn limx, xX是完備的度量空間，所以有，使.x, Xn, n,d(x, x),r由,可知對任意成立，因此 x, :B

40、. d(x, x), rnnnn, pnnnln,d (y, x), ry, : Blimx, y 假設(shè)，則由可知,所以,即，:Bx, ynnnlnn, nn, In, 中只含有一點(diǎn).該定理的兒何意義是很明顯的，如果有一列閉球，像洋蔥一樣，閉球內(nèi)還有閉球, 并且半徑越來越小趨于0,則一定有一點(diǎn)，在所有的球里面.(X, d)X例題1.4.1設(shè)是一個度量空間,若對中任意一列閉球B, B, B, B, limr, 0,這里，當(dāng)時，一定有 B, x|d(x, x), r 12nn, lnnnnk,(X,d)唯一的，試證明是完備的度量空間.x, :Bnln,lxn, NNX證明 設(shè)是的Cauchy歹！J

41、,則對，存在，使得時，有，nkkkkk, 12n, n, n, nd (x, x),.不妨把取為.12kknnkkk, 123ly, B 令，則當(dāng)時，有 B, x d(x, x),k, lknkk2Ill d(y, x), d(y, x), d(x, x), , nnnnk, lk, lkkk, lk, lk222B,B 因而.kk, 111,由 可知存在唯一的，從而，因此 limr, Ox, :Bd(x, x), klkk, kkkk, 22x (X, d) limx, xlimx, x,由是Cauchy列可知，所以度量空間是完備的.nkn, knlimr, 0思考題1. 4. 1在上面定理

42、中，若去掉條件，定理是否成立，nk,x, y, X實(shí)際上，設(shè)為所有的正整數(shù)全體,對任意，定義X1, 1,當(dāng) x, y 時,x, y, (x, y),0,當(dāng) x, y 時.，則是X上的一個度量，容易驗(yàn)證(X,)是完備的度量空間.對任意正整數(shù)，取,nIB, B, B, B,就有，但 B, x d(n, x), 1, , n, l,n, 2, ,12nn, ln2n，為空集.:Bnn, 1思考題1.4.2在上面定理中，若去掉度量空間完備的條件，定理是否成立，一個度量空間如果不是完備的，則用起來比較困難，好在F. Haus dor ff早就證 明一個度量空間能夠，并且只能夠按一種方式擴(kuò)展成一個完備的度

43、量空間.x,f(x)把某些方程寫成的形式,把求解問題轉(zhuǎn)化為求算子的不動點(diǎn)，然后利用逐 次逼近法來求不動點(diǎn)，是一種很早就使用的方法，牛頓求代數(shù)方程的根時用的切線法 就是這種方法，后來Picard用逐次逼近來求解常微分方程,S. Banach在1922年用 度量空間及壓縮算子描述這個方法，這就是Banach不動點(diǎn)定理.24(X, d)T定義1.4.5設(shè)是度量空間，是到的算子，若存在實(shí)數(shù)0, XX,x, yx, y, X,都有1),使得對一切d(Tx, Ty), d(x, y)T則稱為壓縮算子.fir (x)|,l例1.4. 4設(shè)為實(shí)數(shù)上的可微函數(shù)，且在上有，則RR,f (y) I, IF (,)

44、； x, y I, d(x, y)d(f (x), f (y), If (x)f,為到的壓縮算子,RRx如就是到的壓縮算子.f(x), 1RR3ff反過來，若為實(shí)數(shù)上的可微函數(shù)，為到的壓縮算子，則一定有RRRx,R|f (x)|,l對所有的.實(shí)際上，由于fxxfxxxx, | (,),()丨丨(，,),fx 11 () |, lim, lim, 1, x, 0, x, Oxx,x,R|f (x) I, 1因此，對所有的都成立.T(X, d)T明顯地，若是度量空間的壓縮算子，則一定是連續(xù)的.事實(shí)上，若x, xd(Tx, Tx), d(x, x), 0T,則，因而是連續(xù)的.nOnOnO壓縮算子最重

45、要的性質(zhì)是它在完備度量空間的Banach不動點(diǎn)定理.(X, d)TT定理1.4.2設(shè)度量空間是完備的，是壓縮算子，則有唯一的不動點(diǎn)，Tx, xx即存在唯一的，使得.Xx證明在上取一固定的點(diǎn)，令02nx, Tx, x, Tx, Txx, Tx, Tx, 10, 10nn210P,1則對正整數(shù)n,l及，有25d(x, x), d(x, x), d(x, x)n, pnn, pn, p, In, p, In,d(x, x), d(x, x), d(x, x)n, pn, p, In, p, In, p, 2n, p, 2n,d(x, x), d(x, x),，八 d(x, x)n, pn, p, I

46、n, p, In, p, 2n, In1121n, pm p, n, p, n, p, n, n , d(Tx, Tx), d(Tx, Tx),，八 d(Tx, Tx) 00000012231m p, n, p, n, p, n,nn, , d(Tx, Tx), , d(Tx, Tx),，八,d(Tx, Tx) 00000012n, p, n, p, n , d(Tx, x), d(Tx, x), d(Tx, x)000000n, . , d(x, x) 10, 1(X, d)由0, ,1可知為Cauchy列,因?yàn)槭峭陚涞?，所以存?使,xx, Xnx, Txx, TxTlimx, x.由，可

47、知，因此為的不動點(diǎn).xn, Inn, nyx, yd(x, y), d(Tx, Ty), d(x, y)T 假設(shè)是的另一個不動點(diǎn)，并且，則,d(x, y)T, 矛盾，所以是唯一的不動點(diǎn).x22TT容易看出，若是壓縮算子，則也是壓縮算子.但是壓縮算子時，不一定TT是 壓縮算子.nT例1. 4. 5不是壓縮算子時，可能存在，使得是壓縮算子.Tn, NtTx(t),x(u)dux,C0, lC0, lC0, 1設(shè)是從空間到內(nèi)的映射，對于,T,0d(x, y), max x(t), y(t) |C0, l0, t, 1.這里的度量為.明顯地，有tt d (Tx, Ty), max | x (u) du

48、, y (u) du I, d (x, y), 0026x(t),A,y(t),B令，這里A和B為常數(shù)，則ttd (Tx, Ty), max Adu, Bdu I , 000, t, 1,A, B , d(x, y),0,l)因此,不存在，使得d(Tx, Ty), d(x, y)從而不是壓縮算子.Tx, y, C0, 1對任意，有tu22d (Tx, Ty), max x (v), y (v) dvdu | , 000, t, 1tl . , max | ud(x, y) du I, d (x, y), 00, lt22T所以，是壓縮算子.A(X, d)XX推論1.4.1設(shè)是完備度量空間，為到

49、的算子，若存在某個正 nAA整數(shù)n, 1,使得是壓縮算子,則有唯一的不動點(diǎn).nnnx, yT, Ad (Ax, Ay), d (x, y)證明 若，對任意的 x, y, X,成立，則令，Tx, x由上面定理可知存在唯一的，使得.Tx, Xnn, lTx, x, AxTAx, Ax, Ax,則 ill,及，可知 假如 x, Axd(x, Ax), d(Tx, TAx), d(x, Ax), d(x, Ax)yyx, AxxAA矛盾，從而，即為的不動點(diǎn)，并且當(dāng)是的另一個不動點(diǎn)時,一x, yxA定是的不動點(diǎn)，因而，所以只有唯一的不動點(diǎn).T27nxxAA刃外，明顯地，若是的不動點(diǎn)，則對于任意正整數(shù)，也

50、是的不n, 100動點(diǎn). x, 2, 2, 2, x例題1.4.2試求方程的根.X, 0, , ,),d(x,y), |x,y|(X,d)解令,則是完備的度量空間，定義T:X,X,Tx, 2, x,容易驗(yàn)證ld(Tx, Ty),d(x, y) 2x, 2xTx, x因而，存在不動點(diǎn)，使得，并且.000033x,2T:X,X,Tx,2, 2, 2, x明顯地，也是的不動點(diǎn)，0 x,2x,2, 2, 2, x所以，方程有根.0(X, d)思考題1.4.3在不動點(diǎn)定理中，若條件“度量空間完備”去掉，則定理成 立否,d(Tx, Ty),思考題1.4.5在不動點(diǎn)定理中，若條件存在01使得,d(x, y)

51、d(Tx, Ty), d(x, y)對任意都成立”換為對任意都成立”，則x, yx, y定 理成立否，容易找到例子，上面兩個問題的答案都是否定的.x, Tx上面在證明不動點(diǎn)定理時，采用進(jìn)行逐次迭代的方法，這是一種在n, InX近似訃算中很常用并且很有效的方法，利用逐次迭代法,就可以很容易地佔(zhàn)訃 與n的誤差，只須在 不動點(diǎn)xn,. d(x, x) d(x, x), lOnpn, 1P,中令則可得到誤差估計(jì)式28n, d(x, x) d(x, x). lOn, 1根據(jù)S. Banach不動點(diǎn)定理，不但可以知道不動點(diǎn)的存在性和唯一性，而且可以 容易x, Tx地構(gòu)造出迭代程序，由n, Inn, d(x

52、, x) d(x, x). lOn, 1可以逼近不動點(diǎn)到任意精確的程度，因此在S. Banach提出不動點(diǎn)定理半個多 世紀(jì)許多有關(guān)不動點(diǎn)的結(jié)果已經(jīng)成功以來，壓縮算子和不動點(diǎn)定理得到了深入的研 究，地應(yīng)用于Banach空間中非線性Volterra積分方程，非線性積分方程和非線性 泛函微分方程解的存在性與唯一性的研究.S. Banach不動點(diǎn)定理有著非常廣泛的應(yīng)用,但壓縮算子的假設(shè)卻太強(qiáng)了.從S. Banach不動點(diǎn)定理的證明不難看出下面關(guān)于Picard迭代的結(jié)果.x,X(X, d)例題1.4.3設(shè)度量空間是完備的，是連續(xù)算子,，TOx, Txxd(x, x),滿足,則序列收斂到的某個不動點(diǎn)x,并

53、且Tn, Inn, nnl, no,d(x, x), d(x, x) lniii, nm, n, N, 0, n, m證明 對于任意的,有m, 1d(x, x), d(x, x) , nmii, li, nx limx, x 因而為 Cauchy 列，因此對，有 x, Tx. nn, n令，有m,d(x, x), limd(x, x), d(x, x). , nnmi i 1, n, in,29不動點(diǎn)定理在代數(shù)方程、微分方程、積分方程等的求解問題上有著非常重要和 廣泛的應(yīng)用.6x, 12x,1例題1.4.4試用不動點(diǎn)定理證明方程在上有實(shí)根.166x, 12x, 11,0證明令，則方程有解等價(jià)于

54、f (x), (11, x) 12f：0, 1,0, lx, 0, lf(x),x 有不動點(diǎn),使得.d(x, y), |x,y|X, 0,1 (X, d)明顯地，取，時,是完備的度量空間.x, y, X由于對任意，有1166 d(f(x), f(y) If (x), f(y)I, I(11, x), (11, y)1121213333 , I(y, x)(y, x)11213322 , | (y, x) (y, xy, x) (x, y) 1213322 , i (1, 1) (1, 1, 1, 1) (x, y) )121 , d(x, y)2x, Xf因此為壓縮算子，因而山S. Banac

55、h不動點(diǎn)定理可知存在唯一的，使得06f(x),xxx, 12x, 11,00,1,所以方程在上有實(shí)根.000德國數(shù)學(xué)家Rudolf Lipschitz在1876年給出了關(guān)于微分方程的初值問題有唯 一解的結(jié)果.dx, f (t, x),例題 1. 4. 5 對于微分方程 dt, x(t), x, 00,M, (t,x) I It, 11, a, |x, x|,bf (t, x)若在矩形上連續(xù)，并且在上關(guān)于滿MxOO足李普希茲條件,即存在，使得K, 0|f(t, x),f(t, y) l,K|x,y| (t, x), (t, y),M,.a, b試證明微分方程的初值問題有唯一解，其中30bl, a

56、, t, h, b, t, h,. h, min a, , H, | f (t, x) I maxOOHK (t, x), M證明(1)構(gòu)造一個合適的完備的度量空間., Ca, b a, b令為上的所有連續(xù)函數(shù)全體，定義d(x, y), |x(t), y(t) I max,，&, t, b,(Ca, b,d)則為完備的度量空間.,Y, x, Ca, b丨d(x, x), Hhx(t), x, Ca, b (Ca, b,d)對，取，則為的 Y000(Y, d)閉子集，因此是完備的度量空間.(2)定義到的算子.YYT山于上面微分方程的初值問題可以用等價(jià)的積分方程表示為t, x, Ca,b, x(t

57、),x, f (s, x(s)dsO, tO定義為T:Y,Yt, (Tx)(t),x, f (s, x(s)dsx, Y0, tO容易驗(yàn)證將映到.TYY(3)下證為到的壓縮算子.TYYf對于任意x, y, Y,由于在上關(guān)于滿足李普希茲條件，故Mx11 (Tx) (t), (Ty) (t) I, I f (s, x(s), f (s, y(s)ds| , tOt , K |x(s), y(s) |ds|, tO,K|t, t|d(x, y) 0故d (Tx, Ty), d (x, y)這里，因此為到的壓縮算子.0, Kh, 1TYY(4) III Banach不動點(diǎn)定理可知，存在唯一的不動點(diǎn)，使

58、得.其實(shí)x, YTx, xx31t就是積分方程的唯一解，所以微分方程的初值問題有唯一 x(t), X,f (s, x(s) dsO, tO,x(t), t, a, b解.Vol terra積分方程是由意大利數(shù)學(xué)家Vito Volterra引入，并由TraianLalescu 1908在論文 Sur les Equations de Vo It err a 中研究的.K(X,y)x,y, 0,1, (x),C0,1例題1.4.6設(shè)是矩形上的連續(xù)函數(shù),supK (x, y), M,試證明 Vo It err a 積分方程 0, x, y, 1xf(x),K(x,y)f(y)dy, ,(x),0C0

59、, 1在中有唯一解.x證明對Volterra積分方程，定義算子f(x),K(x, y)f (y)dy, , (x), 0T:C0, 1, C0, 1為x (T(f) (x),K(x, y)f(y)dy, , (x),0則對于，有 f, f,C0, 112x T (f) (x), T (f) (x) I, I, K (x, y) f (y), f (y) dy i 1212, 0,I, i Mxmax f(x), f(x)I 12x故x22 |T(f) (x),T(f) (x) I, |,K(x, y) Tf (y), Tf (y)dy 11212, 0X, I, ,M yK(x, y)max

60、f (y), f (y) IdyI 12, Oy, 0, 1x22, |, Mmax f (x), f (x) | ydy 12, Ox, 0, 12x22, I, I Mmax f (x), f (x) 1, 12x, 0, 112類似地，有32nxnnnn, I, Mmax f (x), f (x) I ： T (f) (x), T (f) (x) ! 1212x, 0, ln!Inn , |, |Mmax f(x), f(x) 12x, 0, ln!從而lnnnn d (Tf, Tf), |, |Md(f, f)1212n!InnM由，可知存在足夠大的，使得lim , ,0n, ,nn!