計(jì)數(shù)原理、排列組合題型與方法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案計(jì)數(shù)原理、排列組合題型與方法基本思路：大的方向分類(lèi)，類(lèi)中可能有步或類(lèi)例 1：架子上有不同的 2 個(gè)紅球，不同的 3 個(gè)白球，不同的 4 個(gè)黑球 . 若從中取 2 個(gè)不同色的球，則取法種數(shù)為 _.解：先分類(lèi)、再分步，共有取法 2324 3 4 26 種 . 故填 26.基本思路：大的方向分步，步中可能有類(lèi)或步例 1：如圖所示，使電路接通，開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式有 ()A11 種B20 種C21 種D12 種解：分兩步，第一部分接通，則可能有一個(gè)接通或者兩個(gè)都接通，有3 種可能；第二部分接通，則可能恰有一個(gè)接通或恰有兩個(gè)接通或者都接通，有 7 種可能。從而總共有 3 7=21種方式?；舅?/p>

2、路：排除法間接求解例 1：( 2013濟(jì)南模擬 ) 電路如圖所示，在 A，B 間有四個(gè)開(kāi)關(guān)，若發(fā)現(xiàn) A，B 之間電路不通，則這四個(gè)開(kāi)關(guān)打開(kāi)或閉合的方式有()A.3 種B.8 種C.13 種D.16 種解：各個(gè)開(kāi)關(guān)打開(kāi)或閉合有 2 種情形，故四個(gè)開(kāi)關(guān)共有 24 種可能，其中能使電路通的情形有： 1， 4 都閉合且 2 和 3 中至少有一個(gè)閉合，共有 3 種可能，故開(kāi)關(guān)打開(kāi)或閉合的不同情形共有 24313( 種) . 故選 C.剔除重復(fù)元素例 1：(2013四川)從，這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為，13579ab，共可得到 lg alg b 的不同值的個(gè)數(shù)是 ()A.9B.10C.18D

3、.20a13392解： lg alg blg b，而 39，13，故所求為 A5 2 18個(gè)，故選 C.投信問(wèn)題例 1：將 5 封信投入 3 個(gè)郵筒，不同的投法共有()A.53 種 B.3 5 種 C.3種 D.15種解：第 1 封信，可以投入第1 個(gè)郵筒，可以投入第2 個(gè)郵筒，也可以投入第3 個(gè)郵筒，共有 3 種投法；同理，后面的4 封信也都各有 3 種投法 . 所以， 5 封信投入 3 個(gè)郵筒，不同的文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案投法共有 35 種 . 故選 B.例 2：有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？( 不一定六名同學(xué)都能參加)(1) 每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人

4、數(shù)不限；(2) 每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3) 每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限解(1) 每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3 種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36729( 種) (2) 每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6 種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5 種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4 種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法 654120( 種) (3) 由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法 63216( 種) 數(shù)字排列問(wèn)題例 1：用數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒(méi)有

5、重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) .(1) 可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？(2) 可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)？解： (1) 直接法：A51A53；間接法： A64A53.300300(2) 由題意知四位數(shù)的個(gè)位上必須是偶數(shù)，同時(shí)暗含了千位不能是0，因此該四位數(shù)的個(gè)位和千位是“特殊位置” ，應(yīng)優(yōu)先處理；另一方面，0 既是偶數(shù)，又不能排在千位，屬“特殊元素”，應(yīng)重點(diǎn)對(duì)待 .3解法一： ( 直接法 )0 在個(gè)位的四位偶數(shù)有 A5個(gè)； 0 不在個(gè)位時(shí)，先從 2，4 中選一個(gè)放在個(gè)位，再?gòu)挠嘞碌乃膫€(gè)數(shù) ( 不包括 0) 中選一個(gè)放在千位，應(yīng)有 A12A14A24個(gè).綜上所述，共有A35A12A14A24156( 個(gè)) .解

6、法二：( 間接法 ) 從這六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成最后一位是偶數(shù)的排法，有13A3A5個(gè)，其中千位是 012個(gè)，故適合題意的數(shù)有1312156(個(gè)) .的有 A2A4A3A5A2A4點(diǎn)撥：本例是有限制條件的排列問(wèn)題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時(shí)注意題中隱含條件 0 不能在首位 .例 2：用數(shù)字 2，3 組成四位數(shù)，且數(shù)字 2，3 至少都出現(xiàn)一次， 這樣的四位數(shù)共有 _個(gè)( 用數(shù)字作答 ) 解析數(shù)字 2，3 至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1個(gè)) 四位數(shù)“ 2”出現(xiàn) 1 次，“3”出現(xiàn) 3 次，共可組成 C44(2個(gè)) 四位數(shù)“ 2”出現(xiàn) 2 次，“

7、3”出現(xiàn) 2 次，共可組成 C6(43個(gè)) 四位數(shù)“ 2”出現(xiàn) 3 次，“3”出現(xiàn) 1 次，共可組成 C44(綜上所述，共可組成14 個(gè)這樣的四位數(shù)例 3：(2014武漢模擬)如果正整數(shù) M的各位數(shù)字均不為，且各位數(shù)字之和為，則稱(chēng)46M為“幸運(yùn)數(shù)”，則三位正整數(shù)中的“幸運(yùn)數(shù)”共有_個(gè).解：不含 4，且和為 6 的三個(gè)自然數(shù)可能為 (1 ，2，3) ，(1 ， 5， 0) ，(2 ， 2， 2) ，(3 ，3， ，. 因此三位正整數(shù)中的“幸運(yùn)數(shù)”有322 個(gè). 故填.0)(60)A3A2 A20211 14()14錯(cuò)位排列例 1：將數(shù)字 1，2，3，4 填入標(biāo)號(hào)為 1，2，3，4 的四個(gè)方格中，

8、每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有 _種解析編號(hào)為 1 的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有 3 種不同填法；編號(hào)為1 的方格內(nèi)填數(shù)字3，共有 3 種不同填法；編號(hào)為1 的方格內(nèi)填數(shù)字4，共有 3 種不同填法于是由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有3 3 39( 種) 不同的填法例 2：( 2013成都模擬 ) 用 6 個(gè)字母 A， B， C， a， b， c 編擬某種信號(hào)程序 ( 大小寫(xiě)有區(qū)別) . 把這 6 個(gè)字母全部排到如圖所示的表格中，每個(gè)字母必須使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信號(hào)， 如果恰有一對(duì)字母 ( 同一個(gè)字母的大小寫(xiě) ) 排到同一列的上下格位置，那么稱(chēng)此信號(hào)為“微錯(cuò)號(hào)

9、” ，則不同的“微錯(cuò)號(hào)”總個(gè)數(shù)為()A.432B.288C.96D.48C31解：根據(jù)題意，分 3 步進(jìn)行：先確定排到同一列的上下格位置的一對(duì)字母，有 3種情況，將其放進(jìn)表格中，有C313 種情況，考慮這一對(duì)字母的順序，有A222 種不同順序；再分析第二對(duì)字母，其不能排到同一列的上下格位置，假設(shè)選定的一對(duì)大小寫(xiě)字母為A和 a，則分析 B 與 b：B 有 4 種情況， b 的可選位置有 2 個(gè)；最后一對(duì)字母放入最后兩個(gè)位置，有 A222 種放法 . 則共有 332422288 個(gè)“微錯(cuò)號(hào)” . 故選 B.選派分配問(wèn)題文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 1：2010 年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、

10、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 ( )A36 種B12 種C18 種D48 種解：根據(jù)題意分 2 種情況討論，若小張或小趙入選，則有選法C21C21A33=24；若小張、小趙都入選，則有選法A2 2A32=12，共有選法 12+24=36種，故選 A例 2：2015 年開(kāi)春之際，六中食堂的伙食在百升老師的帶領(lǐng)下進(jìn)行了全面升級(jí)某日5名同學(xué)去食堂就餐，有米飯，花卷，包子和面條四種主食每種主食均至少有一名同學(xué)選擇且每人只能選擇其中一種花卷數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)因腸胃不好不能

11、吃米飯，則不同的食物搭配方案種數(shù)為（）A96B120C132D240解：分類(lèi)討論：甲選花卷，則有2 人選同一種主食，方法為=18，剩下 2 人選其余主食，方法為=2，共有方法 182=36 種；甲不選花卷，其余 4 人中 1 人選花卷，方法為 4 種，甲包子或面條，方法為 2 種，其余 3 人，若有 1 人選甲選的主食，剩下 2 人選其余主食，方法為 3 =6；若沒(méi)有人選甲選的主食，方法為=6，共有 42（ 6+6）=96 種，故共有 36+96=132種，故選： C分堆與分配問(wèn)題例 1：現(xiàn)有 6 本不同的書(shū)：(1) 甲、乙、丙三人每人兩本，有多少種不同的分配方法？(2) 分成三堆，每堆 2

12、本，有多少種分堆方法？(3) 分成三堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少種不同的分堆方法？(4) 分給甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少種不同的分配方法？(5) 甲、乙、丙三人中，一人分 4 本，另兩人每人分 1 本，有多少種不同的分配方法？解： (1) 在 6 本書(shū)中，先取 2 本給甲，再?gòu)氖Ｏ碌?4 本書(shū)中取 2 本給乙，最后兩本給丙，共有 C26C24 C2290( 種) 分配方法；(2)6 本書(shū)平均分成 3 堆，用上述分法重了3C62C42A3倍，故共有315( 種 ) 分堆方法；A3(3) 從 6 本書(shū)中，先取 1 本作為一堆，再在剩下的

13、 5 本中取 2 本作為一堆，最后 3 本作為一堆，共有 C16C25C33 60( 種) 分堆方法；(4) 在 (3) 的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有C16 C25C33 A33360( 種) 分配方法 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案411先分堆、再分配，共有C6C2C13種分配方法 .(5)2A390(A2)點(diǎn)撥：平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列 . 分堆到位相當(dāng)于分堆平均分堆到指定位置后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：. 對(duì)于分堆與分堆數(shù)的階乘配問(wèn)題應(yīng)注意：處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配 . 被分配的元素是不同的 ( 像“名額”等則是相同元素，不適用

14、) ，位置也應(yīng)是不同的 ( 如不同的“盒子” ) . 分堆時(shí)要注意是否均勻. 如 6 分成 (2 ， 2， 2) 為均勻分組，分成 (1 ，2，3) 為非均勻分組，分成 (4 ， 1， 1) 為部分均勻分組 .例 2：4 個(gè)不同的球， 4 個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi) .(1) 恰有 1 個(gè)盒不放球，共有多少種放法？(2) 恰有 2 個(gè)盒不放球，共有多少種放法？解： (1) 為保證“恰有 1 個(gè)盒不放球”，先從 4 個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球， 3 個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有多少種放法？”即把4 個(gè)球分成 2， 1， 1 的三2111C4C2C13組，然后進(jìn)行全排列，共

15、有 C4 A22A3144(種) 放法 .(2) 確定 2個(gè)空盒有 C42種方法 . 4個(gè)球放進(jìn) 2 個(gè)盒子可分成 (3 ，1) ，(2 ，2) 兩類(lèi)，第一類(lèi)為有序不均勻分組，有C43 C11 A22種放法；第二類(lèi)為有序均勻分組，有C42C222 A22種放法，故共有C42C22A23 1 22種 ) .C4C1A22 A2 C4284(A2相鄰捆綁，不鄰插空例 1：3 名女生和 5 名男生排成一排(1) 如果女生全排在一起，有多少種不同排法？(2) 如果女生都不相鄰，有多少種排法？(3) 如果女生不站兩端，有多少種排法？(4) 其中甲必須排在乙前面 ( 可不鄰 ) ，有多少種排法？(5) 其

16、中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法？解 (1)( 捆綁法 ) 由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起有 6 個(gè)元素，排成一排有 A66種排法，而其中每一種排法中，三個(gè)女生間又有A33種排法，因63種) 不同排法此共有 A6A34 320(56 個(gè)位置，從中選取 3(2)( 插空法 ) 先排 5 個(gè)男生，有 A 種排法，這 5 個(gè)男生之間和兩端有5353個(gè)位置排女生，有 A6種排法，因此共有 A5A6 14 400( 種) 不同排法(3) 法一 ( 位置分析法 )因?yàn)閮啥瞬慌排?，只能?5 個(gè)男生中選22 人排列，有 A 種排法，5文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案62614 400

17、( 種) 不同排法剩余的位置沒(méi)有特殊要求，有 A6種排法，因此共有A5A6法二 ( 元素分析法 )從中間 6 個(gè)位置選 3 個(gè)安排女生，有3A 種排法，其余位置無(wú)限制，有6535A5種排法，因此共有A6A5 14 400( 種 ) 不同排法81(4)8 名學(xué)生的所有排列共A8種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中2，符合要求1 8的排法種數(shù)為 2A820 160( 種) (5) 甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置法一 ( 特殊元素法 ) 甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有7種；甲不在最右邊時(shí)，可從余下A76 個(gè)位置中任選一個(gè)，有16 個(gè)中的任一個(gè)上，A6種而乙可排在除去最右邊位置后剩余的11

18、16有 A 種，其余人全排列，共有A AA種66667116由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有 A7 A6A6A6 30 960( 種 ) 法二 ( 特殊位置法 ) 先排最左邊，除去甲外，有17A7種，余下 7 個(gè)位置全排，有A7種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法161716A6A6種，因此共有 A7A7A6A6 30 960( 種 ) 法三(間接法)8 個(gè)人全排，共 A88 種，其中，不合條件的有甲在最左邊時(shí)，有A77種，乙在最右邊時(shí)，有76種因此共A 種，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有A76876種) 有 A82A7A6 30 960(規(guī)律方法(1) 對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題

19、時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類(lèi)過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法(2) 對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法例 2：有 5 盆菊花，其中黃菊花 2 盆、白菊花 2 盆、紅菊花 1 盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求 2 盆黃菊花必須相鄰， 2 盆白菊花不能相鄰，則這 5 盆花不同的擺放種數(shù)是 ( )A12B 24C36D 48解：由題意，第一步將黃1 與黃 2 綁定，兩者的站法有2 種，第二步將此兩菊花看作一個(gè)整體，與除白1，白 2 之外的一菊花看作兩個(gè)元素

20、做一個(gè)全排列有2A2 種站法，此時(shí)隔開(kāi)了三個(gè)空，第三步將白 1，白 2 兩菊花插入三個(gè)空，排法種數(shù)為2，則不同的排法種數(shù)為 2A3A22A32=226=24故選 B文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 3：編號(hào)為 1、2、3、4、5、6、7 的七盞路燈，晚 上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開(kāi)燈方案有 ()A60種B8種C20種D10種解：四盞不亮燈有5 個(gè)空位，再安排3 亮燈，總有 C5310 種方案。例 4：某班元旦晚會(huì)已經(jīng)排好 4 個(gè)節(jié)目的順序， 先臨時(shí)要增加 2 個(gè)節(jié)目進(jìn)來(lái)， 要求不打亂原來(lái)節(jié)目的順序，則晚會(huì)節(jié)目的安排方案有 _種。解：原來(lái) 4 個(gè)節(jié)目有 5 個(gè)空位，先安排第一個(gè)節(jié)目，有5

21、 種方案；這時(shí)有6 個(gè)空位，再安排第二個(gè)節(jié)目，有6 種方案，所以總共有30 種方案。最短路走法問(wèn)題例 1：A , B 兩地街道如圖所示，某人要從A 地前往 B 地，則路程最短的走法有種（用數(shù)字作答）解：3 右 2 上，共 5 步，從中選 3 步來(lái)右走余下則上走，走法有 C5310種。無(wú)區(qū)別元素分配的隔板法例 1.求方程 X+Y+Z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：將 10 個(gè)球排成一排，球與球之間形成9 個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、 中、右三部分的球數(shù)分別為x、y、z 之值（如下圖）。則隔法與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為C92=36（個(gè)

22、）。例 2：求方程 X+Y+Z=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：注意到 x、y、z 可以為零，故上題解法中的限定 “每空至多插一塊隔板” 就不成立了，怎么辦呢？只要添加三個(gè)球，給 x、y、z 各一個(gè)球。這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求 X+Y+Z=13的正整2數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的個(gè)數(shù)為C12 =66（個(gè)）。例 3：將 20 個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為 1， 2，3，4 的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，求放法總數(shù)。解法1：先在編號(hào) 1， 2， 3，4 的四個(gè)盒子內(nèi)分別放 0， 1，2， 3個(gè)球，剩下 14 個(gè)球，有1 種方法；再把剩下的球分成4 組，每組至少 1 個(gè)，由例 1 知方法有313

23、C =286（種）。解法2：第一步先在編號(hào)1，2， 3， 4 的四個(gè)盒子內(nèi)分別放1， 2，3，4 個(gè)球，剩下 10 個(gè)球，有 1種方法；第二步把剩下的10 個(gè)相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4 的盒子里，由例 23知方法有 C13 =286（種）。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案涂色問(wèn)題例 1：有一個(gè)圓被兩相交弦分成四塊，現(xiàn)用 5 種不同的顏料給這四塊涂色，要求相鄰的兩塊顏色不同，每塊只涂一種顏色，共有多少種涂色方法？解：如圖，分別用 A，B，C，D 記這四個(gè)部分， A 與 C，B 與 D 不相鄰，因此，它們可以同色，也可以不同色 . 首先分兩類(lèi)，即 A， C 涂相同顏色和 A， C 涂不同顏色：類(lèi)型一，分三步

24、：第一步，給A， C 涂相同的顏色，有5 種涂法；第二步，給 B 涂色有 4種涂法；第三步，給 D涂色，由于 D 與 B 可以涂相同的顏色，所以有4 種涂法 . 由分步計(jì)數(shù)原理知，共有54480 種不同的涂法 .類(lèi)型二，分四步：第一步，給A 涂色，有 5 種涂法；第二步，給 C 涂色，有 4 種涂法；第三步，給B涂色有3種涂法；第四步，給 D涂色有3 種涂法. 由分步計(jì)數(shù)原理知，共有54 3 3 180 種不同的涂法 .綜上，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，共有 80180260 種不同的涂法 .點(diǎn)撥：本題也可以在分四步的基礎(chǔ)上再分類(lèi)來(lái)完成：A有 5種涂法，B有 4 種涂法，若 C與 A相同，則D有4種涂

25、法，若 C 與 A 不同，則 C有3種涂法，且 D有3種涂法，故有 (4543 3) 260 種涂法 . 涂色問(wèn)題多以平面、空間為背景，涂色對(duì)象以平面區(qū)域居多，也有以點(diǎn)或線為對(duì)象的涂色問(wèn)題 . 此類(lèi)問(wèn)題往往需要多次分類(lèi)、 分步 ( 也有用窮舉法解決的題目 ) ，常用分類(lèi)依據(jù)有：所涂顏色種類(lèi) ( 如本題，可依用 4 種、3 種、 2 種色來(lái)分類(lèi) ) ；可涂同色的區(qū)域( 或點(diǎn)、線等 ) 是否涂同色 .例 2：給一個(gè)各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有多少種？解法一：如圖，染五條邊總體分五步，染每一邊為一步 . 當(dāng)

26、染邊 1 時(shí)有 3 種染法，則染邊2有2種染法.(1) 當(dāng)邊 3 與邊 1 同色時(shí)有 1 種染法，則邊 4 有 2 種染法，邊 5 有 1 種染法，此時(shí)染法總數(shù)為 3212112( 種) .(2) 當(dāng)邊 3 與邊 1 不同色時(shí)，邊 3 有 1 種染法，當(dāng)邊 4 與邊 1 同色時(shí)，邊 4 有 1 種染法，邊 5 有 2 種染法；當(dāng)邊 4 與邊 1 不同色時(shí)，邊 4 有 1 種染法，邊 5 有 1 種染法 . 則此時(shí)共有染法 321(1 211) 18( 種) .綜合 (1) 、(2) ，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得染法的種數(shù)為30種.解法二：通過(guò)分析可知，每種色至少要染1 次，至多只能染2 次，即有

27、一色染 1 次，剩余兩種顏色各染2 次 . 染五條邊總體分兩步 . 第一步選一色染1 次有 C31 C51種染法，第二步另兩色各染 2次有2C31C5130種染法 .種染法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，一共有 2文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題例 1：從正方體的 6 個(gè)面中選取 3 個(gè)面，其中有 2 個(gè)面不相鄰的選法共有種解：使用間接法，首先分析從6 個(gè)面中選取 3 個(gè)面，共 C6 3 種不同的取法，而其中有2 個(gè)面相鄰，即 8 個(gè)角上 3 個(gè)相鄰平面，選法有8 種，則選法共有 C638=12 種，故答案為： 12例 2：如圖，設(shè) P 為正四面體 ABCD 表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P

28、到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合 M中有且只有 2 個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)P有（）A4 個(gè)B.6個(gè)C. 10個(gè)D.14 個(gè)解：分以 下兩種 情況 討論：（ 1 ）點(diǎn) P 到其 中兩 個(gè)點(diǎn) 的的 距離 相等，到另 外兩個(gè) 點(diǎn)的距離 分別 相等，且這 兩個(gè) 距離 相等，此時(shí) 點(diǎn) P 位于 正四 面體 各棱的 中點(diǎn)，符合 條件的有 6 個(gè)點(diǎn)；（ 2）點(diǎn) P 到其 中三 個(gè)點(diǎn) 的的 距離 相等，到另 外一 個(gè)點(diǎn) 的距 離與 它到 其它三個(gè)點(diǎn)的距離不相等，此時(shí)點(diǎn) P在正四面體各側(cè)面的中心，符合條件的有 4 個(gè)點(diǎn)；綜上，滿足題意的點(diǎn)共計(jì) 10 個(gè)，故答案選 C.例 3：正方體 8 個(gè)頂點(diǎn)中取出

29、 4 個(gè)，可組成（）個(gè)四面體A.70B.64C.61D.58解：所求問(wèn)題的方法數(shù) =任意選四點(diǎn)的組合數(shù) - 共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共 C(8，4)-12=70-12=58個(gè)。創(chuàng)新問(wèn)題例 1：( 2014福建 ) 用 a 代表紅球， b 代表藍(lán)球， c 代表黑球 . 由加法原理及乘法原理，從 1 個(gè)紅球和 1 個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由 (1 a)(1 b) 的展開(kāi)式 1abab表示出來(lái)，如：“ 1”表示一個(gè)球都不取、 “a”表示取出一個(gè)紅球、而“ ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái) . 依此類(lèi)推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從 5 個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、 5 個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、 5 個(gè)有區(qū)別的黑球

30、中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A.(1 aa2a3 a4 a5)(1 b5)(1 c) 5B.(1a5)(1 bb2 b3b4b5)(1 c) 5C.(1 a) 5 (1 bb2 b3b4b5)(1 c5 )D.(1a5)(1 b) 5(1 c c2c3c4c5)解：分三步：第一步， 5 個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出0 個(gè)， 1 個(gè)， ， 5 個(gè)，則有 (1 aa2 a3a4 a5 ) 種不同的取法；第二步， 5 個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有(1 b5 )122種不同的取法；第三步，5 個(gè)有區(qū)別的黑球中任取0 個(gè)， 1 個(gè)， ， 5 個(gè)，有 (

31、1 C5cC5c C35 c3C45c4C55c5) (1 c) 5 種不同的取法，所以所求為 (1 a a2 a3a4a5)(1 b5 )(1 c) 5，故選 A.例 2：如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足 a1a3 ，則稱(chēng)這樣的三位數(shù)為凸數(shù)( 如120， 343，275 等 ) ，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A240 B 204 C 729 D 920解析若a2 ，則“凸數(shù)”為120與，共1 2個(gè)若 a2 ，則“凸數(shù)”有32121232 6 個(gè)若 a2 4，滿足條件的“凸數(shù)”有 3412 個(gè)， ，若 a29，滿足條件的“凸數(shù)”有 8972 個(gè)所有凸數(shù)有 261220 3042567224

32、0( 個(gè)) 習(xí)題薈萃1、(2014 北京卷 ) 把 5 件不同產(chǎn)品擺成一排若產(chǎn)品A 與產(chǎn)品 B 相鄰，且產(chǎn)品 A 與產(chǎn)品 C 不相鄰，則不同的擺法有 _種解析A、B、C、D、E，A、B 相鄰視為一個(gè)元素，先與23記 5件產(chǎn)品為D、E 排列，有 23種A A方法；再將C插入，僅有 3 個(gè)空位可選，共有231種) 不同的擺法AA C26336(233答案362、 (2014 重慶卷 ) 某次聯(lián)歡會(huì)要安排3 個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、 2 個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1 個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72B120C 144D168解析先不考慮小品類(lèi)節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法共有33種

33、，A3A4 144再剔除小品類(lèi)節(jié)目相鄰的情況，共有322AA A 24 種，于是符合題意的排法共有種答案B3、(2015 杭州調(diào)研 ) 四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案有 _種文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解析 分兩步：先將四名優(yōu)等生分成22， 1，1 三組，共有 C4種；而后，對(duì)三組學(xué)生全排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有323種3種依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N 4336(ACA)4、在某種信息傳輸過(guò)程中，用4 個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列 ( 數(shù)字允許重復(fù) ) 表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息， 若所用數(shù)字只有0 和 1，則與信息 0110 至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的

34、數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為 ()A10 B 11 C 12 D 15解析與信息 0110 至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類(lèi)：2第一類(lèi)：與信息0110 有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4 6( 個(gè)) ；1第二類(lèi)：與信息0110 有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4 4( 個(gè)) ；0第三類(lèi)：與信息0110 沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C41( 個(gè) ) ；故與信息 0110 至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有64111( 個(gè)) 答案B5、將甲，乙等 5 位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，上海交通大學(xué)，浙江大學(xué)等三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為()種A240 B180 C150

35、D 540解：當(dāng) 5 名學(xué)生分成 2，2，1 或 3，1，1 兩種形式，當(dāng) 5 名學(xué)生分成 2， 2， 1時(shí)，共有223=90 種結(jié)果，C5C3A3當(dāng) 5 名學(xué)生分成 3， 1， 1時(shí)，共有 C53A33=60 種結(jié)果，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有90+60=150 故選： C6、小明有 4 枚完全相同的硬幣，每個(gè)硬幣都分正反兩面他想把4 個(gè)硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對(duì)，不同的擺法有（）A4種B5 種C6 種D9種解：記反面為 1，正面為 2；則正反依次相對(duì)有12121212，21212121 兩種；有兩枚反面相對(duì)有 21121212，21211212，21212112；共 5

36、 種擺法，故選 B7、我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5 架殲 15 飛機(jī)準(zhǔn)備著艦如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A 12B18C24D 48文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：把甲、乙看作1 個(gè)元素和戊全排列，調(diào)整甲、乙，共有種方法，再把丙、丁插入到剛才“兩個(gè)”元素排列產(chǎn)生的3 個(gè)空位種，有種方法，由分步計(jì)算原理可得總的方法種數(shù)為：=24故選 C8、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4 名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排 2 名，則不同的安排方案種數(shù)為（） 60 90 120 180解：把新轉(zhuǎn)來(lái)的 4 名學(xué)生平均分兩組，每組2

37、人，分法有C4212A222C4種，把這兩組人安排到 6 個(gè)班中的某 2 個(gè)中去，有 A62 種方法，故不同的安排種數(shù)為1 A62C42，故選答案29、如圖， A、B、C、D 為四個(gè)村莊，要修筑三條公路，將這四個(gè)村莊連起來(lái)，則不同的修筑方法共有()A8 種B12種C16 種D20 種10、平面內(nèi)有 4 個(gè)紅點(diǎn)， 6 個(gè)藍(lán)點(diǎn)，其中只有一個(gè)紅點(diǎn)和兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)共線，其余任意三點(diǎn)不共線，過(guò)這十個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)所確定的直線中，至少過(guò)一紅點(diǎn)的直線的條數(shù)是（）CA27B28C29D3011、已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的

38、排法共有（）A48種B72種C78種D84 種解析：由題意知先使五個(gè)人的全排列，共有A55 種結(jié)果去掉相同顏色衣服的人相鄰的情況，穿藍(lán)色相鄰和穿黃色相鄰兩種情況穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是A55A22A22A332A22A22A32=48，故選 A12、兩個(gè)三口之家，共4 個(gè)大人， 2 個(gè)小孩，約定星期日乘“奧迪” 、“捷達(dá)”兩輛轎車(chē)結(jié)伴郊游，每輛車(chē)最多只能乘坐4 人，其中兩個(gè)小孩不能獨(dú)坐一輛車(chē)，則不同的乘車(chē)方法種數(shù)是（）A40B48C60D68文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：只需選出乘坐奧迪車(chē)的人員，剩余的可乘坐捷達(dá)若奧迪車(chē)上沒(méi)有小孩，則有=10 種；若有一個(gè)小孩，則有（+）=28種；若有兩個(gè)小孩

39、，則有+=10 種故不同的乘車(chē)方法種數(shù)為10+28+10=48種故選： B13、現(xiàn)有 16 張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4 張，從中任取 3 張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1 張，不同取法的種數(shù)為（）A 232B 252C472D484解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的取法共有=560 1672=472故選 C14、如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()CA24種B48種C72種D96種15、給四面體

40、 ABCD 的六條棱分別涂上紅，黃，藍(lán)，綠四種顏色中的一種，使得有公共頂點(diǎn)的棱所涂的顏色互不相同，則不同的涂色方法共有()A 96B144C. 240D. 360解析：先從紅，黃，藍(lán)，綠四種顏色中選一種，有 C14 種，排列種數(shù)有 A44 , 故不同的涂色方法共有 C14 A44 96 ，故選 A.16、某人根據(jù)自己愛(ài)好，希望從 W , X , Y, Z 中選 2 個(gè)不同字母，從 0,2,6,8 中選 3 個(gè)不同數(shù)字編擬車(chē)牌號(hào)，要求前 3 位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字 2 不能排在首位，字母 Z 和數(shù)字2 不能相鄰，那么滿足要求的車(chē)牌號(hào)有（A）198 個(gè)（B）180 個(gè)（C）216 個(gè)（D）234 個(gè)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解析：不選 2 時(shí)，有 A33 A42 = 72種，選 2，不選 Z 時(shí)，有 C21C32 A22 A32 = 72 種，選 2，選 Z 時(shí)， 2 在數(shù)字的中間，有A32C12C31 = 36 種，當(dāng) 2 在數(shù)字的第三位時(shí)，A32 A31 =18 種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有7