容斥原理例題精編版

1、最新資料推薦學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第四講 容斥原理（二）上一講我們已經(jīng)初步研究了簡(jiǎn)單的容斥原理，今天我們繼續(xù)研究較復(fù)雜的容斥問(wèn)題。例 1 五年級(jí)一班有 45 名同學(xué)，每人都積極報(bào)名參加暑假體育訓(xùn)練班，其中報(bào)足球班 的有 25人，報(bào)籃球班的有 20人，報(bào)游泳班的有 30人，足球、籃球都報(bào)者有 10 人，足球、 游泳都報(bào)者有 10 人，足球、籃球都報(bào)者有 12 人。請(qǐng)問(wèn)：三項(xiàng)都報(bào)的有多少人？分析 ：由于問(wèn)題比較復(fù)雜，我們把它簡(jiǎn)化成下圖 . 要計(jì)算陰影部分的面積，我們記 AB 為圓 A與圓 B公共部分的面積， BC為圓 B 與圓 C公共部分的面積， AC表示圓 A與圓 C 的公共部分的面積， x 為陰

2、影部分的面積則圖形蓋住的面積為：A+B+C-A B-B C-A C+X。請(qǐng)同學(xué)們注意：陰影部分的面積先加了3次，然后又被減了 3 次，最后又加了 1次。解答：設(shè)三項(xiàng)都報(bào)的有 x 人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2 。答：三項(xiàng)都報(bào)名的有 2 人。說(shuō)明 ：在“ A+B+C-A B-B C-A C+X”式中， A，B， C，AB，B C，AC，x 和總量 這 8 個(gè)數(shù)中，只要知道了 7 個(gè)數(shù)，就可通過(guò)列方程求出第 8 個(gè)數(shù)。例2 從1至1000這 1000個(gè)自然數(shù)中，不能被 3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一 共有多少個(gè)？分析： 第一步先求出：能被 3、5、

3、7 中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個(gè)？第二步再求出： 不能被 3、5、7 中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個(gè)？能被3 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) +能被 5 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) +能被 7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) （既能被 3 整除又能被 5 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) +既能被 3 整除又能被 7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) +既能被 5 整除又能被 7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)） +能同時(shí)被 3、5、7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) =能被 3、5、7 中任何一個(gè)自 然數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。解答： 能被 3 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？10003=3331有 333 個(gè)。能被 5 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？10005=200有 200 個(gè)。

4、能被 7 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？10007=1426有 142 個(gè)。既能被 3 整除又能被 5 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？100015=6610有 66 個(gè)。既能被 3 整除又能被7 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？既能被 5 整除又能被7 整除的自然數(shù)有多少個(gè)？如圖所示，圖中分成 8 個(gè)部分：D=只有短跑游泳兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)E=只有游泳籃球兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)F=只有籃球短跑兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=短跑、游泳優(yōu)秀人數(shù) - 短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=游泳、籃球優(yōu)秀人數(shù) - 短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=籃球、短跑優(yōu)秀人數(shù)-短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=6-2=4=6-2=4=5-2=3最新資料推薦100021=4713有 47 個(gè)。10

5、0035=2820有 28 個(gè)。能同時(shí)被 3、 5、 7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 1000（357）=955有 9 個(gè)。能被 3、5、7 中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有：333+200+142（66+47+28）+9=457 個(gè)。所以不能被 3、5、7 中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有： 1000543=457例 3 某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有 4 名學(xué)生在這三 個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀， 其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀。 這部分達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、 人 數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑 游泳游泳 籃球籃球 短跑短跑、游 泳、籃球1718156652請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)班有多少名學(xué)

6、生？分析 ：本題是較復(fù)雜的容斥原理的題目， 可以畫一個(gè)長(zhǎng)方形表示全班學(xué)生， 再畫三個(gè)相 交的圓分別表示短跑、 游泳、籃球得優(yōu)秀的學(xué)生。 注意計(jì)算短跑人數(shù) +游泳人數(shù) +籃球人數(shù)時(shí)， 短跑游泳人數(shù)、 游泳籃球人數(shù)、 籃球短跑人數(shù)分別被算過(guò)兩次， 而短跑游泳籃球人數(shù)則被計(jì)算了 3 次。解答 ：至少一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =短跑人數(shù) +游泳人數(shù) +籃球人數(shù) - （短跑游泳人數(shù) +游泳籃球人 數(shù)+籃球短跑人數(shù)） +短跑游泳籃球人數(shù) =17+18+15-（ 6+6+5）+2=35 所以 全班人數(shù) =至少一 項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) +未得優(yōu)秀人數(shù) =39。說(shuō)明 ：本題解中的公式是三個(gè)不同集合相互相交而得的問(wèn)題所用的容斥原理公式

7、， 本題也可依次計(jì)算圖中每一小塊所代表的集合的人數(shù)最后再求和。G=短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =2A=只有短跑一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =短跑優(yōu)秀人數(shù) - （D+G+F） =17- （4+2+3）=8B=只有游泳一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =游泳優(yōu)秀人數(shù) - （D+G+E） =18- （ 4+2+4） =8C=只有籃球一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =籃球優(yōu)秀人數(shù) - （E+G+F） =15- （4+2+3）=6H=三個(gè)項(xiàng)目均未達(dá)到優(yōu)秀人數(shù) =4；所以 A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39例 4 如下圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中， AD=15厘米， AB=8 厘米，四邊形 OEFG的面積是 9 平 方厘米。請(qǐng)問(wèn)

8、：陰影部分的面積是多少平方厘米？最新資料推薦分析 ：注意到三角形 ABD、三角形 ACD面積的和比所求的陰影部分多算了三角形AED與三角形 DOG面積的和，而這兩個(gè)三角形的面積和可由三角形AFD的面積減去四邊形 OEFG的面積得到，這樣就可以求出陰影部分的總面積。解答 ：三角形 ABD、三角形 AFD、三角形 ACD都可以 AD為底， AB為高，故它們的面積 都等于 AD AB 2=1582=60（平方厘米）。陰影部分面積 =（三角形 ABD面積 +三角形 ACD面積）（三角形 AFD面積 -四邊形 DEFG面積）=（60+60）- （ 60-9 ） =69（平方厘米） 。說(shuō)明： 本題還有其它

9、（例 3的第 2 中方法）的方法，請(qǐng)你想一想。例 5 某班同學(xué)參加期末測(cè)試，得優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)如下：數(shù)學(xué) 20 人，語(yǔ)文 20 人，英語(yǔ) 20 人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科都是優(yōu)秀成績(jī)的有 8 人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科成績(jī)都是優(yōu)秀的有7 人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科成績(jī)都是優(yōu)秀的有 9 人，三科都沒(méi)得優(yōu)秀成績(jī)的有 3人。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)班最多 有多少人？最少有多少人？分析 ：如下圖，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué)都包含在這個(gè)班中，設(shè)這個(gè)班有 y 人，用長(zhǎng)方形表示 .A 、B、C分別表示數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)得優(yōu)秀成績(jī)的的人，由已知有AC=8，AB=7，B C=9，ABC=X.解答： 由容斥原理有Y=A+B+C-AB-AC-BC+

10、A BC+3即 y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x 。以下我們考慮如何求 y 的最大值與最小值。由 y=39+x 可知，當(dāng) x 取最大值時(shí)， y 也取最大值；當(dāng) x 取最小值時(shí)， y 也取最小值。因 為 x 是數(shù)學(xué)、 語(yǔ)文、 英語(yǔ)三科都得優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)， 所以他們中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得優(yōu) 秀成績(jī)的人數(shù)，即 x=7， x=8 且 x=9，由此我們得到 x=7. 另一方面數(shù)學(xué)得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué) 有可能語(yǔ)文都沒(méi)得優(yōu)秀成績(jī)的，也就是說(shuō)也有這種可能：沒(méi)有三科都得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué)， 故 x=0 ，故 x =0 或 x=7 。當(dāng) x 取最大值 7時(shí)，y 有最大值 397=46，當(dāng) x 取最

11、小值 0時(shí)，y 有最小值 390=39。 答：這個(gè)班最多有 46 人，最少有 39 人。例 6 五年級(jí) 2 班有 46 名學(xué)生參加三項(xiàng)課外興趣活動(dòng)，其中 24 人參加了數(shù)學(xué)小組， 20 人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組人數(shù)的 3.5 倍， 又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的 7 倍，既參加文藝小組又參加語(yǔ)文小組相當(dāng)于三項(xiàng)活動(dòng)都參加人 數(shù)的 2 倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的學(xué)生有 10 人。請(qǐng)問(wèn)：參加文藝小組的學(xué)生有 多少人？分析： 這里涉及了三個(gè)對(duì)象：數(shù)學(xué)小組、語(yǔ)文小組、文藝小組，然而從題目的敘述來(lái)最新資料推薦看，在容斥原理的等式中都涉及了一個(gè)關(guān)鍵的量， 即三項(xiàng)活

12、動(dòng)都參加人數(shù)。 因而必須先求出 這個(gè)三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)。再利用參加文藝小組的人數(shù)與它的關(guān)系即可求解。解答： 設(shè)三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)為 x，根據(jù)題意得參加文藝小組的人數(shù)為7x，既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組的人數(shù)為 7x3.5=2x ，既參加文藝小組又參加語(yǔ)文小組的人數(shù)為2x 。根據(jù)容斥原理可以得到下面等式：24+20+7x- （ 2x+2x+10 ） +x=464x=16x=3 人所以： 7x=21 人。所以：參加文藝小組的學(xué)生有 21 人。說(shuō)明 ：在很多問(wèn)題中涉及一個(gè)基準(zhǔn)量，經(jīng)過(guò)分析找到這個(gè)基準(zhǔn)量后，問(wèn)題便可以解決。閱讀材料“ 1 名數(shù)學(xué)家 =10 個(gè)師”的由來(lái) 第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)曾經(jīng)宣稱：

13、一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的作用超過(guò) 10 個(gè)師的兵力。你 可知這句話的由來(lái)嗎？1943 年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國(guó)限 于實(shí)力，無(wú)力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的 潛艇戰(zhàn) 搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)， 艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件， 按數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問(wèn)題， 它有一定的規(guī)律。 一定數(shù)量 的船（如 100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（如每次20 艘，就要有 5個(gè)編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。比如 5 位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找一位同學(xué)的話， 隨便去哪家都行， 但若這 5 位同學(xué)

14、都在其中某一家的話， 老師要找?guī)准也拍苷业剑?一次找到 的可能性只有 20%。美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過(guò) 危險(xiǎn)海域， 然后各自駛向預(yù)定港口。 結(jié)果奇跡出現(xiàn)了： 盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來(lái)的 25%降低為 1%，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)。練習(xí)題1如下圖，長(zhǎng)方形長(zhǎng)為 4 厘米，寬為 3 厘米，請(qǐng)你求出四邊形 GHEF的面積。分析與解答： 所求四邊形四條邊的長(zhǎng)都不知道，我們還不會(huì)直接求它的面積 . 由于所求四邊形面積與 4 個(gè)三角形面積之和等于長(zhǎng)方形面積，我們可以利用容斥原理把不規(guī)則圖形 HEFG的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積。SHEFG=SABCD

15、-S AHE-S EBF-S CFG-SGDH1 1 1 13 4 3 1 2 1 3 1 2 12222最新資料推薦=7（平方厘米）2在邊長(zhǎng)是 10 厘米的正方形紙片中間挖掉一個(gè)小正方形后， 成為一個(gè)寬度為 1 厘米的方框，把 5 個(gè)這樣的方框放在桌面上（如下圖）。請(qǐng)你算一算：桌面被這些方框所蓋住的面 積是多少平方厘米？分析： 觀察圖，可知重疊部分相當(dāng)于 8 個(gè)邊長(zhǎng) 1厘米的正方形。解答：（ 102-8 2） 5-1 28=172（平方厘米）3張宏、王剛、李立三人練習(xí)投籃球，一共投了 100 次，有 43 次沒(méi)投進(jìn)，已知張宏和王剛一共投進(jìn)了 32次，王剛和李立一共投進(jìn)了 46 次，王剛投進(jìn)了

16、多少次？分析與解答： 三人投的總次數(shù)減去沒(méi)投進(jìn)的次數(shù)， 就是三人共投進(jìn) 100-43=57 次。張宏 和王剛、王剛和李立共投進(jìn)的次數(shù)為 32+46=78 次，這是三人共投進(jìn)的次數(shù)，在加上王剛投 進(jìn)的次數(shù)，從中減去共投進(jìn)的次數(shù)，就是王剛投進(jìn)的次數(shù)，列式為 78-57=21 次，所以王剛 投進(jìn)了 21 次。答：王剛投進(jìn)了 21 次。4育新小學(xué)舉行各年級(jí)學(xué)生畫展，其中有18 幅畫不是六年級(jí)的， 20 幅畫不是五年級(jí)的。現(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出 22 幅畫，請(qǐng)問(wèn)：其他年級(jí)共展出多少幅畫？分析與解答： 其中 18 幅不是六年級(jí)的，換句話說(shuō)，一至五年級(jí)共展出 18 幅， 20 幅不是五年級(jí)的，換句話說(shuō)，就

17、是一、二、三、四、六年級(jí)共展出20 幅，從中可以看出一、二、三、四年級(jí)總張數(shù)的 2 倍加上五、六年級(jí)張數(shù)的和，一共是18+20=38 幅，又因?yàn)槲?、六年?jí)共展出 22 幅畫，因此一至四年級(jí)張數(shù)和的 2 倍是 38-22=16 張。從而可以求出一至四年 級(jí)共展出 16 2=8 張。答：其它年級(jí)共展出 8 張。5在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線，它們分別將木棍分成 10 等分、 12 等分、 15 等分。如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，請(qǐng)問(wèn)：木棍總共被鋸成多少段？分析 ：由于木棍的端點(diǎn)處沒(méi)有刻度線， 所以，這三種刻度線分別有 10-1=9（條），12-1=11 （條），15-1=14 （條），不妨設(shè)木棍長(zhǎng)

18、為 60 厘米。那么，與三種刻度線相對(duì)應(yīng)的每一份長(zhǎng)分 別是： 6010=6（厘米），6012=5（厘米），6015=4（厘米）。根據(jù) 5和 6 的最小公倍數(shù) 是 30，可算出第一、 第二種刻度線重復(fù)的條數(shù)是 60 30-1=1（條），用同樣的方法可以求出： 另兩種重復(fù)的刻度線分別有 2 條、 4條。解答：（ 9 11 14-1-2-4 ） 1=28（段）想一想：（1）在計(jì)算刻度線條數(shù)時(shí)為什么都要減去1？（ 2）為什么可以設(shè)木棍長(zhǎng)是 60厘米？（ 3）最后為什么要用所有刻度線條數(shù)加 1？6某班 45 名同學(xué)參加了體育測(cè)試， 其中百米得優(yōu)者 20 人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者 18 人，又知百 米、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者

19、 7 人，跳高、百米均得優(yōu)者 6 人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者 8 人，跳高得優(yōu)者 22 人，全班只有 1 名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)到優(yōu)，請(qǐng)問(wèn)：三項(xiàng)都是優(yōu)的有多少人？解答： 設(shè)三項(xiàng)都達(dá)到優(yōu)的有 x 人，由逐步排除法有：20+18+22-7-8-6+x+1=45解得 x=57“六一”兒童節(jié)，某校有 25 個(gè)小朋友得獎(jiǎng)，學(xué)校為他們準(zhǔn)備了甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品最新資料推薦讓他們自由選擇，有 14人要甲種獎(jiǎng)品， 12人要乙種獎(jiǎng)品， 10人要丙種獎(jiǎng)品， 其中 4人既要 甲種又要乙種， 但不要丙種獎(jiǎng)品， 2 人既要甲種又要丙種， 但不要乙種， 只有 1 人三種都要。 每個(gè)小朋友至少選擇其中的一種，請(qǐng)問(wèn)：有多少人要乙種和丙種

20、而不要甲種獎(jiǎng)品？分析與解答 ：根據(jù)題意，可以畫圖表示已知量之間的關(guān)系，并用A、B、C表示圖中的三個(gè)未知量。則A+B=10-(2+1)=7B+C=12-(4+1)=7A+B+C=25-14=118如下圖，在桌面上放置兩兩重疊，邊長(zhǎng)都相等的三個(gè)正方形紙片。已知蓋住桌面的總面積是 144平方厘米。三張紙片共同重疊部分的面積是42 平方厘米，圖中陰影面積為 72平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？解答： 三個(gè)正方形總面積是： 144+陰影面積 (2-1)+ 中間重疊面積 (3-1)=144+72 (2-1)+42 (3-1)=300( 平方厘米 ) ；每一個(gè)正方形的面積是： 300 3=100(平方厘米 )；因?yàn)?一個(gè)正方形面積是 100平方厘米，所以正方形邊長(zhǎng)是 10 厘米。9某班四年