固體物理 5_2一維單元子鏈

1、5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1、一維單原子晶格、一維單原子晶格 N個原胞個原胞,各含一原子各含一原子(m)，t時刻時刻n原子原子偏離平衡位偏離平衡位置位移置位移nu平衡時原子間距平衡時原子間距a n、n1原子間的相對位移原子間的相對位移nnuu1t時刻，時刻，n、n1原子間距原子間距 arnx1nxanu1nu5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)平衡位置時平衡位置時，兩原子間的，兩原子間的作用勢能作用勢能)(aU)(aU發(fā)生相對位移發(fā)生相對位移 后，后，相互作用勢能相互作用勢能nnuu1itemsHighdrUddrdUaUaUrUaa222)(21)()()()(簡諧

2、近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項adrUd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力ddUf常數(shù)常數(shù)0nnuu15-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)原子的運(yùn)動方程原子的運(yùn)動方程 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnnuuuuuuu第第n個原子的運(yùn)動方程個原子的運(yùn)動方程 每一個原子運(yùn)動方程類似每一個原子運(yùn)動方程類似)2(1122nnnnuuudtudm5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)設(shè)方程解設(shè)方程解)(naqtinAeunaq 第第n個原

3、子振動位相因子個原子振動位相因子2(2)iaqiaqmee得到得到224sin ()2aqm05/27q 一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系一維簡單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動頻譜，即振動頻譜)2(1122nnnnuuudtudmaqntinAeu11aqntinAeu115-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波的意義格波的意義對比對比連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波格波和和連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波具有完全具有完全類似的形式類似的形式)(naqtinAeu格波方程格波方程 晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動,

4、 ,不同不同原子間有振動位相差，這種原子間有振動位相差，這種振動以波的形式在整個晶體振動以波的形式在整個晶體中傳播中傳播，稱為，稱為格波。格波。5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)格波的色散關(guān)系的特點(diǎn)格波的色散關(guān)系的特點(diǎn))2(sin422aqm)2sin(2aqm 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性色散關(guān)系曲線具有周期性15/27 q空間的周期空間的周期2a5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)頻率極小值頻率極小值0min頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的

5、格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m)2sin(2aqm5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)), 0(aq0q當(dāng)當(dāng))2sin(2aqm/am q2)2sin(qaqa格波傳播速度格波傳播速度/am連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度/ElasticK 長波極限下，一維單原子晶格格波可看作是彈性波長波極限下，一維單原子晶格格波可看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) 5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))(aq2/sin()2aqmmax2/m5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))(naqtinAeu224sin ()2aqmnaqq2當(dāng)

6、當(dāng)時，時，n為整數(shù)為整數(shù) qq ququnn格波格波2(Green)波矢波矢格波格波1(Red)波矢波矢 兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同格波格波q的取值：的取值：aaq242aaq255/425-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)qaa波矢的取值波矢的取值第一第一布里淵區(qū)布里淵區(qū) 只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題 其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)10/27玻恩卡門（玻恩卡門（Born-Karman）周期性邊界條件）周期性邊界條件 形成的鏈不

7、是無窮長，鏈兩頭的形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述原子不能用中間原子的運(yùn)動方程來描述nnNuu5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)設(shè)第設(shè)第n個原子的位移個原子的位移nu再增加再增加N個原子之后，第個原子之后，第N+n個原子的位移個原子的位移nNu則有則有nnNuu)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq2hNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqa22NhNh N個整數(shù)值個整數(shù)值q 取取N個不同分立值個不同分立值5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)22NhNq 取取N個不同分立值個不同分立值hNaq2結(jié)論結(jié)論:

8、h N個整數(shù)值個整數(shù)值給定一組給定一組q，)(naqtinAeu，表表標(biāo)志晶體中的標(biāo)志晶體中的q，數(shù)目數(shù)目=獨(dú)立振動模式數(shù)獨(dú)立振動模式數(shù)=格波數(shù)目格波數(shù)目=晶體總的自由度數(shù)晶體總的自由度數(shù)晶格振動的波矢數(shù)目晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)晶體的原胞數(shù)5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)模型模型運(yùn)動方程運(yùn)動方程 試探解試探解色散關(guān)系色散關(guān)系波矢波矢q范圍范圍B-K條件條件波矢波矢q取值取值5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2、一維復(fù)式格子、一維復(fù)式格子 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個原胞個原胞力常數(shù)為力常數(shù)為01/20 M原子位于原子位于2n-1，

9、2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a（晶格常數(shù)）（晶格常數(shù)）5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個原胞，有個原胞，有2N個獨(dú)立的方程個獨(dú)立的方程 第第2n+1個個M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個個m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì))12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMB

10、eeAB22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，有非零的解，2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第2n個個m原子原子方程的解方程的解5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)02cos2cos2222Maqaqmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)sin)(41 1

11、)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在 兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波05/205-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(212222()411sin ()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)色散關(guān)系的特點(diǎn)色散關(guān)系的特點(diǎn) qa

12、q qq-短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因為因為 Mmmaxmin)()(5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)maxmin)()(maxmin)()( 不存在頻率為此區(qū)間的格波不存在頻率為此區(qū)間的格波頻率間隙頻率間隙 一維雙原子晶格一維雙原子晶格 叫做帶通濾波器叫做帶通濾波器5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)長波極限長波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm應(yīng)用應(yīng)用11/2xx 1)(sin)(422aqMmmM)

13、sin(2qaMm2()aqmM與與的色散關(guān)系的色散關(guān)系形式形式相同相同.時，0q5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致代表原胞質(zhì)心的振動代表原胞質(zhì)心的振動2()aqmM5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)光學(xué)波光學(xué)波 長波極限長波極限0qsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM22()2cosmBAaq ()BmAM 長光學(xué)波中，相鄰不同原子振動方向相反長光學(xué)波中，相鄰不同原子振動方向相

14、反.原胞質(zhì)心不變的振動原胞質(zhì)心不變的振動, ,原胞中原子相對動原胞中原子相對動5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)波矢波矢q范圍及取值范圍及取值 qaq)12(2aqntinAeq增增a的整數(shù)倍，原子位移、色散關(guān)系不變的整數(shù)倍，原子位移、色散關(guān)系不變.即即波矢波矢q限制于：限制于：aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)5-2一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)為保證為保證)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第2n個個m原子原子方程的解方程的解2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第