高考真題——理科數(shù)學(xué)(湖北卷)精校版Word版含答案

1、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)(理工類(lèi))一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的.l i為虛數(shù)單位，則(二)2=() + 1a. - 1 b. 1 c. - z d. i2 .若二項(xiàng)式(2+3)7的展開(kāi)式中上的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)。=() xxa.2 b./ c. 1 d. 43 .設(shè)u為全集，a,8是集合，則“存有集合。使得是“ ac|8 = 0”的()a.充分而不必要的條件b.必要而不充分的條件c.充要條件d.既不充分也不必要的條件4 .根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x315678y4.02. 5-0.50.5-2.0-3.0得到

2、的回歸方程為$ =法+ ，則()a. a 0,z?0 b. a0,b0 c. a0 d. a o,b 05 .在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一沖2中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0, 2), (2,2,0),(1,2,1), (2,2,2),給出編號(hào)、的四個(gè)圖，則該四而體的正視圖和俯視圖分別為 ( )第5題圖a.和 b.和 c.和 d.和 6.若函數(shù)/(x),g(x)滿(mǎn)足工/*”(幻公=0,則稱(chēng)f(x),g(x)為區(qū)間上的一組正交函f(x) = x + tg(x)=工一 1 ：/(x) = x,g(x) = x2數(shù)，給出三組函數(shù)：/(x) = sin x, g(x) = cos x22其中為

3、區(qū)間-1上的正交函數(shù)的組數(shù)是(a. 0 b. 1 c. 2 d. 3a 07.由不等式y(tǒng) 2 0確定的平面區(qū)域記為,y - x - 2 /3 b. c. 3 d. 210 .已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí),f(x) = x-a2 + x-2cr-3a2).若vx e r, f (x-1) wf (x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a. -1,1 b.6 6二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)將答案填在答 題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上，答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分.(-)必考題(11一14題)11.設(shè)向量 7 = (3,3), 1 = (1,t),若

4、 + 碼_1 4),則實(shí)數(shù) 4=.12 .直線(xiàn)y=x+a和 y=x+b將單位圓c:/ + y2=i分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則 a2 +b2 =.13 .設(shè)。是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).將組成。的3個(gè)數(shù)字按從小到大排 成的三位數(shù)記為a),按從大到小排成的三位數(shù)記為0(。)(例如 =815,則“)= 158, 。()=851).閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相對(duì)應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)。，輸出的結(jié)果 b= ./ 演出b /第13題圖14 .設(shè)/（x）是定義在（0,+8）上的函數(shù)，且/（x）0,對(duì)任意40,。0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)3/（4）,（,一/0）的直線(xiàn)與；1軸的交點(diǎn)為（0,0）,則稱(chēng)c為關(guān)

5、于函數(shù)/（x）的平均數(shù)，記 為 m/（a），例如，當(dāng)/（x）=l（x0）時(shí)，可得 m,（a,） = c = q2,即力）為 /的 2算術(shù)平均數(shù).0）時(shí)，為。1的幾何平均數(shù)：（ii）當(dāng)f（x）=（x 0）時(shí)，3,6）為。力的調(diào)和平均數(shù)絲 ;a + b（以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）（-）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題 目序號(hào)后的方框用2b鉛筆涂黑.如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分.）15 .（選修4-1：幾何證明選講）如圖，尸為。外一點(diǎn)，過(guò)戶(hù)點(diǎn)作。的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為a,8,過(guò)pa的中點(diǎn)。作割線(xiàn)交。于co兩點(diǎn)，若qc = lc =

6、 3,則尸8 =.第15底圖16 .（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）x= yt已知曲線(xiàn)g的參數(shù)方程是亞卜為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建 r立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是0 = 2,則g與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17 .（本小題滿(mǎn)分11分）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間t （單位：h）的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：f（t） = 10- vcost- sint,t e 0,24）.（i）求實(shí)驗(yàn)室這個(gè)天的最大溫差；（h）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 c,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？18 .（本小題滿(mǎn)分12分）已知等

7、差數(shù)列滿(mǎn)足：=2,且, %, %成等比數(shù)列.（i）求數(shù)列（qj的通項(xiàng)公式.（ii）記s”為數(shù)列”.的前n項(xiàng)和，是否存有正整數(shù)n,使得5. 60+ 800?若存有， 求n的最小值：若不存有，說(shuō)明理由.19 .（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體abcd-a,bxcxd中，e,f,m,n分別是棱 a8,ada4，aq 的中點(diǎn)，點(diǎn)p,。分別在棱or , 8以上移動(dòng)，且 dp = bq = a（0a2）.（i ）當(dāng)2 = 1時(shí)，證明：直線(xiàn)8g 平而石尸尸。；（11）是否存有力，使平面efpq與面尸qmn所成的二而角為直二而角？若存有，求出丸 的值：若不存有，說(shuō)明理由.e b第19題圖20 .（

8、本小題滿(mǎn)分12分）計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入 流量x（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和,單位：億立方米）都在40以上,其中， 不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相對(duì)應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.（i）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率； （ii ）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量x限制，并有如下關(guān)系:年入流量x40x8080x120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某分發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)

9、為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損 800萬(wàn)元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？21 .（本小題滿(mǎn)分14分）在平而直角坐標(biāo)系x0v中，點(diǎn)m到點(diǎn)尸（1,0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)m的軌 跡為c.（i）求軌跡為c的方程：（h）設(shè)斜率為k的直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)（-2,1）.求直線(xiàn)/與軌跡c恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共 點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相對(duì)應(yīng)取值范圍.22 .（本小題滿(mǎn)分14分）萬(wàn)為圓周率，e=2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（i）求函數(shù)/（a）= 的單調(diào)區(qū)間：x（ii ）求e3,3,已不，,加3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).（hd將爪3。盧，廣3口？這6個(gè)數(shù)按

10、從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）試題參考答案一、選擇題la 2.c3.c4.b5.d6. c 7.d8. b 9. a 10. b二、填空題11. 312.213.49514.(1)&：(h)x (或填(1)%4 ： (h)八x,其中片次2為正常數(shù)均可)15.416.(國(guó)) 三、解答題出乃乃九冗17. ( i )因?yàn)?/ (1)=10 2(cos t hsin /) = 10 2sin(14),212212123由 0wt24,所以工+ 上，-1 sin(/ + )ll,即 sin(/ +.1232又0wtv24,所以上/ +三上，即10

11、vtv18.61236在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.18. ( i )設(shè)數(shù)列(的公差為4,依題意，2, 2 + 4，2 + 4j成等比數(shù)列，故有(2+ 4)2 =2(2 + 44), 化簡(jiǎn)得小一4 = 0,解得，/ = 0或4 = 4.當(dāng)4 = 0時(shí)，4=2：當(dāng)4=4時(shí),an =2+(h -1)-4 = 4/? - 2,從而得數(shù)列(qj的通項(xiàng)公式為勺=2或/ = 4 -2.(ii)當(dāng)仆=2時(shí)，t=2.顯然2/?60+ 800成立.當(dāng) q =4 2 時(shí)，s, = h2 +(,_2)】=2jj.令2,60 + 800,即2一30-4000,解得 40或 60+ 800成立，a的最小值為41.綜上

12、，當(dāng)勺=2時(shí)，不存有滿(mǎn)足題意的m 當(dāng)q=4-2時(shí)，存有滿(mǎn)足題意的m其最小值為4l19. 幾何方法(i )證明:如圖1,連接ad“由abcd-abcd是正方體，知bc:ad,. 當(dāng)人二1時(shí)，p是dd,的中點(diǎn)，又f是ad的中點(diǎn)，所以fpad： 所以bqfp.而fpu平面efpq,且b02平面efpq,故直線(xiàn)b0平面efpq.鈍19兇桿在圖i外19 rs婚芬圖2笫191g3齊圖3(h)如圖2,連接bd.因?yàn)閑, f分別是ab, ad的中點(diǎn)，所以efbd,且ef=1bd.2 又dp=bq, dpbq,所以四邊形pqbd是平行四邊形，故pqbd,且pq=bd, 從而efpq,且ef=lpq.2在 rtz

13、kebq 和 rtzfdp 中，因?yàn)?bq=dp=be=df=1, 于是eq二fkjl + 無(wú)，所以四邊形efpq是等腰梯形.同理可證四邊形pqmn是等腰梯形.分別取ef, pq, mn的中點(diǎn)為h, 0, g,連接oh, 0g, 則 g0_lpq, h0_lpq,而 g0ch0w,故ngoh是面efpq與而pqmn所成的二面角的平而角.若存有入，使而efpq與而pqmn所成的二面角為直二面角，則ng0h=90 . 連接em, fn,則由efmn,且ef二mn,知四邊形efnm是平行四邊形.連接gh,因?yàn)閔, g是ef, mn的中點(diǎn)，所以ghge=2.在goh 中，gh=4, oh：=1 + a

14、2 -()2 = a2 + -,2. 20gc=l + (2-2)2- =(2-2)2 + ,由 og)h 三 gh 二，得(2-/1)2+1 + 萬(wàn)+2_ = 4,解得九=1衛(wèi)，222故存有九=1 土，二，使面efpq與而pqmn所成的二面角為直二而角. 2向量方法：以d為原點(diǎn)，射線(xiàn)da, dc, dl分別為x, y, z軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz.由已知得b(2, 2, 0), g(0, 2, 2), e(2, 1, 0), f(l, 0, 0), p(0, 0, x)8g 二(-2, 0, 2), fp = (-1, 0, a), fe =(1, 1, 0)(i )

15、證明：當(dāng)人二1 時(shí)，fp = (-b 0, 1),因?yàn)槲鞫?-2, 0, 2),所以西二2而，即bc/fp.而fpu平面efpq,且b&a平面efpq,故直線(xiàn)b3平面efpq.(ii)設(shè)平面efpq的一個(gè)法向量為n=(x, y, z),則由(笠 = (),可得卜+ 1(),于是可取(入，-x, 1).fp = o,1_x + 4z = o.同理可得平面mnpq的一個(gè)法向量為m=c-2, 2-a, 1)若存有入，使而efpq與面pqmn所成的二而角為直二而角，則 m n=(入-2, 2-入，1) (人，一人，1)二0,即、(入-2)-入(2- 人)+1=0,解得 a = 1 .2故存有 = 1

16、土=二，使面efpq與而pqmn所成的二面角為直二面角. 220. ( i )依題意，p = p(40 x 80) = 0.2, p2 =p(80x120) = a=o.l.由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為： =c： (1 - p3 )4 +c；(1 %)3 =(臺(tái)4 + 4 x (q x(1)= 0.9477.(h)記水電站年總利潤(rùn)為y (單位：萬(wàn)元)(1)安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.因?yàn)樗畮?kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn) y=5000, e(y) =5000x1=5000.(2)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40vxv80時(shí)，一臺(tái)發(fā)

17、電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)y=5000-800=4200,所以p(y=4200)=p(40vxv80)=pf0.2；當(dāng)x280時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí) =5000x2=10000.所以 p(y=10000) =p(x80) =p=+p3=0. 8： 由此得y的分布列如下y420010000p0.20.8所以 e (y) =4200 x 0. 2+10000 x 0. 8=8840.(3)安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40vx120)=p3=0. b由此得y的分布列如下y3400920015000p0. 20.70. 1所以，e(y) =3400x0. 2+9200x0. 7+15000x0. 1=862

18、0.綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2 %21. ( i )設(shè)點(diǎn)m3,)，)，依題意得im/ 1=1x1+1,即場(chǎng)-1尸 + )? =|川+1, 化簡(jiǎn)整理得y2=2(ui+x).故點(diǎn)必的軌跡。的方程為v4x, x0, 0, x0.（1【）在點(diǎn)必的軌跡。中，記g：爐=4x, c2： y = 0（x0）.依題意，可設(shè)直線(xiàn)/的方程為y-l = k（x + 2）.由方程組!二一 = k（x + 2）9 可得正 -4y + 4（2k + 1） = 0.y =4%，（1）當(dāng)女=0時(shí)，此時(shí)y = l把y = l代入軌跡。的方程，得x = ；.故此時(shí)直線(xiàn)l：y = l與軌跡。恰好有一個(gè)公共點(diǎn)（l 1）.4（2）當(dāng)女工0時(shí)，方程的判別式為 = 16（2代+女1）.設(shè)直線(xiàn)/與x軸的交點(diǎn)為（七, 0）,則由，-l = k（x + 2）,令），=0, wxd=-一.（i）?由解得&一1.3，或一，三人0.x0 0,22即當(dāng)ke-l, ；時(shí)，直線(xiàn)/與g只有一個(gè)公共點(diǎn)，與c?有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)ke-；,0）時(shí)，直線(xiàn)/與g有兩個(gè)公共點(diǎn)，與g沒(méi)有公共點(diǎn).故當(dāng)*-l