小升初奧數(shù)專題-第六講圖形面積

1、精編學(xué)習(xí)資料歡迎下載第六講圖形面積簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等,然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是4 X 4= 16 （格）；右圖是3 X 5的長方形,它的面積是3 X 5 = 15 （格）.7f1/3高*/上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，咼是4,面積是5 X 4 2= 10 （格）；右圖是一個鈍角三角形，底是 4，高也是4,它的面積是4 X 4十2= 8 （格）.這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍角三

2、角形的高線有可能在三角形的外面(4+7 )X 4 - 2 = 22 (格).上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是 1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是 1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位,1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位6.1 三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是:三角形面積=底X高十2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ) 因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用 例1右圖中BD長是4, DC長是2,那么三角形

3、 ABD的面積是三角形 ADC面積的多少倍呢？解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4X高十2.三角形ADC面積=2X高十2.因此三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條高.例2右圖中，BD, DE EC的長分別是2, 4, 2.F是線段AE的中點，三角形 ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC= 2 + 4 + 2 = 8.三角形ABC面積=8 X 4 - 2 = 16.我們把A和D連成線段，組成三角形 ADE它與三角形ABC的高相同，而DE長是4,

4、也 是BC的一半，因此三角形 ADE面積是三角形 ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半， 三角形DFE面積是三角形 ADE面積的一半.這樣-來三角形陀的面積是三角形ABC面積時三角形DFE面積=16十4= 4.例3右圖中長方形的長是 20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積BE 一樣長.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FEX BE- 2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的 一半因此所有陰影的面積是長方形 ABCD面

5、積的一半，也就是20 X 12-2 = 120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形 ABCD面積的的一半例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線段，四邊形 ABCD就分成了兩個，三角形 ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10,因此面積=4X 10- 2= 20.對三角形ADC來說，DC是底邊，高

6、是8，因此面積=7X 8- 2= 28.四邊形ABCD面積=20 + 28 = 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形 BEF,線段AE= 3, DF= 2,求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形 BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面 積三角形 ABE面積=3X 6 X 2= 9.三角形 BCF 面積=6 X( 6-2 )- 2= 12.三角形 DEF 面積=2X( 6-3 )- 2 = 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF 面積=6X 6-9-12-3 = 12.

7、例6在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABM(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中,已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形 DCE 與三角形MBE的面積，然后用長方形 ABCD勺面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形DCE的面積是7 X 2十2=7.因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形 MCE面積是72 = 3.5.因為BE = 8是CE = 2的4倍，三角形 MBE與三角形 MCE高一樣，因此三角形 MBE面積是3.5 X 4

8、= 14.長方形 ABCD面積=7 X( 8+ 2) =70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 = 49.6.2 有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長， 這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形 它有一個直角（90度），還有兩個角都是 45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直 角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形,如圖（a）.四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）一個等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是直角邊長的平方十2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是（） 斜邊的平方十4例

9、7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半， 第一個等腰直角三角形的面積是8X 8十2= 32.這一個圖形的面積是32+ 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63.例8如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2, A點是大長方形一邊的中點,并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D , E, F, G.三角形ABC的面積=2X 2 -2=

10、2.三角形ABC ADE EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形ADE面積=ABC面積X 2 =4.三角形EFG的斜邊與三角形 ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積十2=1.陰影部分的總面積是 4 + 1 = 5.例9如右圖，已知一個四邊形 ABCD勺兩條邊的長度 AD= 7, BC= 3，三個角的度數(shù)：角B和D是直角，角A是45 .求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE切掉一個等腰直角三角形BCE.因為A是45，角D是90,角E是180 -45 -90 = 45 ,所以ADE是等腰直角三角形，BCE

11、也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即7 X 7 - 2-3 X 3-2 = 20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題 .原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多但是有一些同學(xué)，用直線 AC把圖形分成兩個直角三角形，并認(rèn)為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了 這樣做，角A是45。，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何， 千萬不要隨便對圖形下結(jié)論我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索有45和直角，你應(yīng)

12、首先考慮等腰直角三角形現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題例10在右圖11 X 15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標(biāo)號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？15一三二P1-二三解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和長-寬=15-11 = 4是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長=11-4 X 2 = 3.中間小正方形面積=3X 3 = 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地

13、（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.1米解：剩下的長方形土地，我們已知道長-寬=1 （米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和15.75157515.75115.7S可是這個大正方形的中間還有一個空洞它也是一個正方形，仔細(xì)觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面

14、積：15.75 X 4+1 X 1= 64 （平方米）64是8X 8,大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的長+寬=8 （米）因此長=（8 + 1）- 2= 4.5（米）寬=8-4.5 = 3.5 （米）那么劃出的長方形面積是4.5 X 1 = 4. 5 （平方米）例12如右圖.正方形 ABCD與正方形 EFGC并放在一起.已知小正方形 EFGC勺邊長是6, 求三角形AEG（陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長十2三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+

15、大正方形邊長），因此三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長十 2.四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形 EHG面積后，就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半=6 X 6-2= 18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)， 而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系6.3 其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細(xì)體會例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積解：直接計算粗線圍成的面積是困難

16、的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍 成面積是4X 4-3-5-1.5= 6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14下圖中ABCD是 6 X 8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.3解：三角形AEF中，我們知道一邊 AF,但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形 AEB底邊AB就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長,面積就可以求出三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積因此三角形

17、AEF面積=（三角形 AEB面積）-（三角形AFB面積）=8X 6-2-4 X 8-2=8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當(dāng)然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？16161D解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底X高.從圖上可 以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10 X 2的長方形面 積相等.可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成10 X

18、 2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積=（16-2 ）X（ 10-2 ） = 112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形 BCE合在一起，就是原直角三角形 你是否看出，ABCD也是梯形, 它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣 大梯形ABCD勺上底BC,是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=(8+ 8-3 )X

19、5- 2= 32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等 積變形要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF，F(xiàn)E, EC都等于3，CB,BD都等于4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的三角形 ABC面積=(3 + 3+ 3)X 4-2= 18.三角形 CDE面積=（4 + 4）X 3 - 2 = 12.這兩個直角三角形有一個重疊部分-四邊形BCEG只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出因為AF = FE = EC= 3,所以AGF, FGE, EGC是三個面

20、積相等的三角形因為CB= BD= 4,所以CGB BGD是兩個面積相等的三角形2X三角形DEC面積=2 X 2X（三角形 GBC面積）+ 2X（三角形 GCE面積）三角形ABC面積=（三角形GBC面積）+ 3 X（三角形 GCE面積） 四邊形BCEG面積=（三角形GBC面積）+ （三角形 GCE面積）=（2X 12+ 18）- 5=8.4.所求圖形面積=12+ 18- 8.4= 21.6.例18如下頁左圖，ABCG! 4X 7長方形，DEFG是 2 X 10長方形.求三角形 BCM與三角 形DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長

21、方形的和.（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）=(梯形ABEF面積)-(兩個長方形面積之和=(7+ 10)X( 4+ 2) - 2- ( 4X 7 + 2 X 10)=3.10B13, 35, 49.例19上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為 13, 49, 35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此（三角形ABC面積）+ （三角形CDE面積）+ （ 13 + 49+ 35）=（長方形面積）+ （陰影部分面積）三角形ABC底是長方形的長，高

22、是長方形的寬；三角形 CDE底是長方形的寬，高是長方形的長因此，三角形 ABC面積，與三角形 CDE面積，都是長方形面積的一半，就有陰影部分面積=13 + 49 + 35 = 97.6.4 幾種常見模型、等積模型ab 等底等高的兩個三角形面積相等； 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如右圖S1 :S2 =a:b 夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖Sxacd二Sbcd ；反之，如果SxACDBCD，則可知直線AB平行于CD . 等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以特殊的平行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半; 兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于 它們的高之比.二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比.如圖在 ABC中，D,E分別是 AB, AC上的點如圖 （或D在BA的延長線上，E在AC上）,則 Sx abc ：Sxade = (AB AC) ： (AD AE)D圖三、蝶形定理任意四邊形中