傅里葉變換、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)表插值算法

1、傅里葉變換周期函數(shù)可表示為：其中：周期函數(shù)的周期為。頻率，角頻率，為正整數(shù)。周期函數(shù)的直流分量。為各次諧波的頻率。周期函數(shù)可化為：(三角函數(shù)公式：)其中： 即周期函數(shù)可表示為不同頻率成分的正弦函數(shù)的和。其中頻率為基波的頻率。 根據(jù)歐拉公式，有：所以周期函數(shù)可表示為： = 而 = = = = 令 為正整數(shù) 則當(dāng) 取整數(shù)時(shí)，可以合寫為一個(gè)式子 （n = 0, 1，2，.）所以有 為整數(shù)非周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有所以取，當(dāng)時(shí)，。從而亦即令則 = =因此有 (1) (2)稱式(1)中函數(shù)為函數(shù)的傅里葉變換，式(2)中函數(shù)為函數(shù)的傅里葉逆變換。函數(shù)即為函數(shù)的頻譜。圖1 是函數(shù)y1和y2的函數(shù)圖。其中y1=si

2、n(t)。y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。y1是標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)，y2中加入了高次諧波分量。圖1 諧波分量圖圖2 是偶次諧波的函數(shù)圖。圖2 偶次諧波圖圖3 是偶次諧波的頻譜圖。圖3 偶次諧波頻譜圖圖4 是偶次諧波5次諧波含量和20次諧波含量的波形圖。圖4 偶次諧波5次諧波含量和20次諧波含量的波形圖傅里葉分析在電路上的應(yīng)用函數(shù)的傅里葉變換記為 ，函數(shù)的傅里葉變換記為，即，。 則有傅里葉變換的線性性質(zhì) = 傅里葉變換的微分性質(zhì) 傅里葉變換的積分性質(zhì) 電路上的一個(gè)例子。有一段rlc電路如圖5所示圖5 rlc電路求電路的電流 ，列方

3、程有函數(shù)的傅里葉變換為，函數(shù)的傅里葉變換為，對(duì)方程兩邊做傅里葉變換，有求得求的傅里葉逆變換得代入具體的參數(shù)值，即可求得電路的電流。函數(shù)的卷積已知函數(shù)，則積分稱為函數(shù)和的卷積，記為按傅里葉變換的定義，有 = = = = = =即兩個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于這兩個(gè)函數(shù)傅里葉變換的乘積。數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)模擬二階低通濾波器的電路如圖6所示。圖6 模擬二階低通濾波器電路用傅里葉變換分析電路，可以證明其中，。設(shè)則有函數(shù)為圖6模擬二階低通濾波器的傳遞函數(shù)。為放大系數(shù)，為濾波器的截止角頻率，為濾波器的品質(zhì)因數(shù)。取，則，。函數(shù)的頻譜圖如圖7所示。圖7 函數(shù)的頻譜圖()特別的，取，則, ，函數(shù)的頻譜圖如圖8所

4、 示。圖8 函數(shù)的頻譜圖()取, 的參數(shù)，當(dāng)， 求得。即為函數(shù)的半功率點(diǎn)。函數(shù)的零極點(diǎn)圖如圖9所示。時(shí)極點(diǎn)位于左半平面。圖9 函數(shù)的零極點(diǎn)圖()特別的，當(dāng)，時(shí)，。當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零極點(diǎn)位于右半平面。取，函數(shù)的零極點(diǎn)圖如圖10所示。函數(shù)極點(diǎn)位于右半平面。圖10 函數(shù)的零極點(diǎn)圖()函數(shù)的相頻圖如圖11所示。圖11函數(shù)的相頻圖將函數(shù)級(jí)聯(lián)，構(gòu)成多階低通濾波器，如圖12所示的2階、4階、6階低通濾波器的頻譜圖。圖12 2階、4階、6階低通濾波器的頻譜圖()由，根據(jù)卷積定理得。在頻域上對(duì)函數(shù)采樣，并對(duì)函數(shù)做傅里葉逆變換得 。二階模擬低通濾波器在時(shí)域上的傳遞函數(shù)的圖形如圖13所示。對(duì)函數(shù)和函數(shù)做卷積運(yùn)算，求得函

5、數(shù)，即通過數(shù)字濾波器濾波后的結(jié)果。函數(shù)和函數(shù)的圖形如圖15所示。圖14是函數(shù)的基波經(jīng)過濾波器后產(chǎn)生相位延時(shí)的例子。圖16是模擬二階低通濾波器電路運(yùn)行后的結(jié)果。函數(shù)和圖6中模擬電路給出的結(jié)果是一致的。圖13時(shí)域上的傳遞函數(shù)圖14 濾波器的相位延時(shí)圖15 函數(shù)和函數(shù)圖16 模擬二階低通濾波器電路運(yùn)行后的結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)表的計(jì)算公式電壓表達(dá)式： 電流表達(dá)式： 電壓有效值 電流有效值瞬時(shí)有功功率平均有功功率瞬時(shí)無功功率 (注)平均無功功率視在功率功率因數(shù) (注)有功電能無功電能視在電能 脈沖頻率離散傅里葉變換(dft)離散傅里葉變換的逆變換(idft)奈奎斯特采樣定理標(biāo)準(zhǔn)表的插值算法定頻采樣的同步問題需要插值

6、算法。對(duì)采樣到的波形分段插值。一副正弦曲線圖用線性分段插值后的圖形如下。將線性分段插值的圖像局部放大，如下圖所示。使用三次樣條插值算法，得到的圖形如下將三次樣條插值的圖像局部放大，如下圖所示。三次樣條插值對(duì)于 n+1 個(gè)給定點(diǎn)的數(shù)據(jù)集 xi ，我們可以用 n 段三次多項(xiàng)式在數(shù)據(jù)點(diǎn)之間構(gòu)建一個(gè)三次樣條。如果表示對(duì)函數(shù) f 進(jìn)行插值的樣條函數(shù)，則樣條函數(shù)滿足以下條件。插值特性：s(xi) = f(xi)樣條相互連接：si-1(xi) = si(xi), i=1,.,n-1兩次連續(xù)可導(dǎo)：si-1(xi) = si(xi) 以及 si-1(xi) = si(xi), i=1,.,n-1。由于每個(gè)三次多項(xiàng)式需要四個(gè)條件才能確定曲線形狀，所以對(duì)于組成 s的 n 個(gè)三次多項(xiàng)式來說，這就意味著需要 4n 個(gè)條件才能確定這些多項(xiàng)式。但是，插值特性只給出了 n + 1 個(gè)條件，內(nèi)部數(shù)據(jù)點(diǎn)給出 n + 1 2 = n 1 個(gè)條件，總計(jì)是 4n 2 個(gè)條件。我們還需要另外兩個(gè)條件，根據(jù)不同的因素我們可以使用不同的條件。其中一項(xiàng)選擇條件可以得到給定 與 的鉗位三次樣條，s(x0) =s(xn) =另外，可以設(shè)s(x0) = s(xn) = 0這樣就得到自然三次樣條。自然三次樣條幾乎等同于樣條設(shè)備生成的曲