彈性力學(xué)習(xí)題(新)[共23頁]

1、1-3 五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后,物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的,因此,建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義,亦即二者成線性的關(guān)系,符合胡克定律,從而使物理方程成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下,所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此,反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的。進(jìn)一

2、步地說,就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時(shí),不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí),在研究物體的變形和位移時(shí),可以將他們的二次冪或乘積略去不計(jì),使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性微分方程。在上述假定下,彈性力學(xué)問題都化為線性問題,從而可以應(yīng)用疊加原理。2-1 已知薄板有下列形變關(guān)系：式中A,B,C,D皆為常數(shù),試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件,若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。解：1、 相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中 所以滿足相容方程,符合連續(xù)性條件。2、 在平面應(yīng)力問題中,用形變分量表示的應(yīng)力分量為3

3、、平衡微分方程其中 若滿足平衡微分方程,必須有分析：用形變分量表示的應(yīng)力分量,滿足了相容方程和平衡微分方程條件,若要求出常數(shù)A,B,C,D還需應(yīng)力邊界條件。例2-2 如圖所示為一矩形截面水壩,其右側(cè)面受靜水壓力（水的密度為）,頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面：右側(cè)面：上下端面為小邊界面,應(yīng)用圣維南原理,可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡化,得到面力的主矢量和主矩分別為 y=0坐標(biāo)面,應(yīng)力主矢量符號(hào)與面力主矢量符號(hào)相反；應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以下端面的面力向截面形心D簡化,得到主矢量和主矩為y=l坐標(biāo)面,應(yīng)力主矢

4、量、主矩的符號(hào)與面力主矢量、主矩的符號(hào)相同。所以分析：1、與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式,而且與邊界平行的應(yīng)力分量不會(huì)出現(xiàn)。如在左、右側(cè)面,不要加入或。2、在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件,當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法精確滿足時(shí),可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足,使問題的求解大為簡化。應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號(hào)的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷,二者方向一致時(shí)去正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。2-8試列出題2-8圖（a）,題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。解： 圖（a） 圖（b）1、 對(duì)于圖（a）的問題在主要邊界上,應(yīng)精確

5、滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）上,能精確滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）上,有位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理,改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替,當(dāng)板厚時(shí), 2、 對(duì)于圖（b）所示問題在主要邊界上,應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 在次要邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,當(dāng)板厚時(shí),在小邊界（次要邊界）上,有位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理,改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替,2-17 設(shè)有矩形截面的懸臂梁,在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示,體力可以不計(jì)。根據(jù)材料力學(xué)公式,寫出彎應(yīng)力x和切應(yīng)力xy的表達(dá)式,并取擠壓應(yīng)力y=0,然

6、后證明,這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程,再說明,這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。解：1、 矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形,任意橫截面上的玩具方程為,橫截面對(duì)z軸(中性軸)的慣性矩為,根據(jù)材料力學(xué)公式,彎應(yīng)力；該截面上的剪力為,剪應(yīng)力；并取擠壓應(yīng)力。2、 經(jīng)驗(yàn)證,上述表達(dá)式能滿足平衡微分方衡也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件： 能滿足。在次要邊界上,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界上,列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力條件。因此,它們是該問題的正確解答。例3-1 如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用,試取應(yīng)力函數(shù)求簡支梁的應(yīng)力分量

7、（體力不計(jì)）。解：1、相容條件：代入應(yīng)力函數(shù),得：由此得于是應(yīng)力函數(shù)可改寫為2、應(yīng)力分量表達(dá)式3、考察邊界條件：確定應(yīng)力分量中的各系數(shù)聯(lián)立求解以上各式,得再根據(jù)簡支梁的端面條件確定常數(shù)D,F。由圣維南原理得可得再帶入式（f）得4、應(yīng)力分量表達(dá)式例3-2 圖示懸臂梁,梁的橫截面為矩形,其寬度取為1,右端固定、左端自由,荷載分布在自右端上,其合力為P（不計(jì)體力）,求梁的應(yīng)力分量。解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問題,采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知,懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比,而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比,因此可設(shè) (a)式中的為待定常數(shù)。將

8、式（a）對(duì)y積分兩次,得 (b)式中的,為x的待定函數(shù),可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程,得 上式是y的一次方程,梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它,可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零,即,積分上二式,得式中為待定的積分常數(shù)。將,代入式（b）,得應(yīng)力函數(shù)為. (c)(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式 (3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù),自由端無水平力；上、下部無荷載；自由端的剪力之和為P,得邊界條件 ,自然滿足； ,得;上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿足,因此得,即,得X取任何值均應(yīng)滿足,因此得.將式（e）代入上式積分,得計(jì)算得 ,其中,橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為3-3 試考察應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程,并求

9、出應(yīng)力分量(不計(jì)體力),畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布(在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩),指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。 解 （1）相容條件：將代入相容方程,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3)邊界條件：在主要邊界上,應(yīng)精確定滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界x=o, x=l上,應(yīng)用圣維南原理,可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 (a) (b) (c)對(duì)于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系,當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí),由應(yīng)力邊界條件式（a）(b)、(c)可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶,和鉛直面力。所以,能解決懸臂在自由端受集中力作用的問題。3-6 如題3

10、-6圖所示的墻,高度為h,寬度為b,hb,在兩側(cè)上受到均布剪力q的作用,試用函數(shù)求解應(yīng)力分量。解：（1）相容條件將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程,其中,。很顯然滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3)考察邊界條件,在主要邊界上,各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件,即在次要邊界y=0上,而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0）,可用積分的應(yīng)力邊界條件代替.(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件,得應(yīng)力分量為3-7 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用,體力可以不計(jì),lh 如題3-7圖所示,試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解（1）相容條件將代入相容方程,顯然滿足。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式(3) 考察邊界條件,在主要邊界

11、上,各有兩個(gè)應(yīng)精確滿足的邊界條件得 (a)在次要邊界x=0上,只給出了面力的主矢量和主矩,應(yīng)用圣維南原理,用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面,由此得 (b)由式（a）(b)解出最后一個(gè)次要邊界條件（x=l上）,在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下,是必然滿足的,故不必再校核。代入應(yīng)力公式,得 3-9 設(shè)題3-9圖中的簡支梁只受重力作用,而梁的密度為,試用教材3-4中的應(yīng)力函數(shù)(e)求解應(yīng)力分量,并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。解 （1）應(yīng)力函數(shù)為(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的,因此,如果能夠選擇適當(dāng)?shù)某?shù)A,B,K,使所有的邊界條件都滿足,則應(yīng)

12、力分量式（b）,(c),(d)就是正確的解答。（3）考慮對(duì)稱性。因?yàn)閥z面是梁和荷載的對(duì)稱面,所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于yz面。這樣是是x的偶函數(shù),而是x的奇函數(shù),于是由式（b）和（d）可見（4）考察邊界條件：在主要邊界上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件將應(yīng)力分量式（c）和（d）代入,并注意到前面已有,可見這些邊界條件要求聯(lián)立求解得到將以上已確定的常數(shù)代入式（b）,式（c）和（d）,得考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對(duì)稱性,只需考慮其中的一邊,例如右邊。梁的右邊沒有水平面力,x=l時(shí),不論y取任何值,都有。由式（f）可見,這是不可能滿足的,除非是均為零。因此,用多項(xiàng)式求解,只能要求在這部分邊界上合成

13、的主矢量和主矩均為零,也就是要求將式（f）代入式（i）,得積分以后得將式（f）代入式（j）,得積分以后得將K,H的值代入式（f）,得另一方面,梁右邊的切應(yīng)力應(yīng)當(dāng)合成為反力積分以后,可見這一條件是滿足的。將式（g）,(h),(k)略加整理,得應(yīng)力分量的最后解答 注意梁截面的寬度取為一個(gè)單位,可見慣性矩是,靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力,可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為。式（l）可以寫成3-10 如題3-10圖所示的懸臂梁,長度為l,高度為h, lh,在上邊界受均布荷載q,試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以,試求出應(yīng)力分量。解 （1）相容條件將代入相容方程,得,若滿

14、足相容方程,有(2)應(yīng)力分量表達(dá)式(3)考察邊界條件;主要邊界上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上x=0上,主矢和主矩為零,應(yīng)用圣維南原理,用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替 (e) 聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e）,得將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,得3-12 為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件,教材中式（2-15）,而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理,用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15）,將會(huì)發(fā)生什么問題？解：彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題,而要

15、邊界條件完全得到滿足,往往遇到很大的困難。這時(shí),圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同,但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同）,只影響近處的應(yīng)力分布,對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊界條件來代替精確的邊界條件。教材中式（2-15）,就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布,會(huì)使問題的解答具有的近似性。3-15 試分析簡支梁受均布荷載時(shí),平面截面假設(shè)是否成立？解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別,是由于各自解法不同。簡言之,彈性力學(xué)的解法,是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程,幾何方程和物理方程,以及邊界上的邊界條件

16、而求解的,因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴(yán)格考慮上述條件,因而得出的是近似解答。例如,材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系,但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以,嚴(yán)格來說,不成立。例4-2 如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用,試求應(yīng)力分量?！窘狻浚?）楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于q、,其中q的量綱為NL-2,與應(yīng)力的量綱相同。因此,各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取Kq的形式,而K是以,表示的無量綱函數(shù),亦即應(yīng)力表達(dá)式中不能出現(xiàn),再由知,應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函數(shù)乘以,可設(shè) （a）將式（a）代入雙調(diào)和方程,得 ,=0,上式的通解為 ,將上式代入式（a）,得應(yīng)力函數(shù)為。 （b）(2)應(yīng)力表

17、達(dá)式為 (c)(3)應(yīng)力邊界條件 ,得2（A+D）=q ; (d) ,得Acos2+B sin2+C+D=0, (e),得2BC=0, (f),2Asin22Bcos2=0 。 (g)聯(lián)立求解式(d)(g),得各系數(shù) ,。將系數(shù)代入(c),得應(yīng)力分量 （h） 分析：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式（a）中不出現(xiàn),這是因?yàn)閒()中包含了角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時(shí), 處,中體現(xiàn)）。4-3 在軸對(duì)稱位移問題中,試導(dǎo)出按位移求解的基本方程,并證明可以滿足此基本方程?！窘狻浚?）設(shè)代入幾何方程,教材中式（4-2）得形變分量 （a）將式（a）代入物理方程,教材中式（4-3）得用位移表示的應(yīng)力分量 （b）將式（b）代入平衡微分

18、方程,教材中式（4-1）,在軸對(duì)稱問題中,平衡方程為 （c）式（c）中的第二式自然滿足,第一式為 （d）上式即為求的基本方程。（2）將將代入式（d）,很顯然滿足方程。4-7 實(shí)心圓盤在的周界上受有均布?jí)毫的作用,試導(dǎo)出其解答?！窘狻繉?shí)心圓盤是軸對(duì)稱的,可引用軸對(duì)稱應(yīng)力解答,教材中式（4-11）,即 （a）首先,在圓盤的周界（）上,有邊界條件,由此得, （b）其次,在圓盤的圓心,當(dāng)時(shí)式（a）中的第一、第二項(xiàng)均趨于無限大,這是不可能的。按照有限值條件（即,除了應(yīng)力集中點(diǎn)以外,彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。）,當(dāng)時(shí),必須有A=B=0。把上述條件代入（b）式中,得所以,得應(yīng)力的解答為4-9半平面體表面上

19、受有均布水平力q,試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量,如題4-9圖所示。【解】(1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程,顯然滿足。(2)由求應(yīng)力分量表達(dá)式（3）考慮邊界條件：注意本題有兩個(gè)面,即,分別為面,在面上,應(yīng)力符號(hào)以正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?。因?有 將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,得4-12 楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如題4-12圖所示,試求其應(yīng)力分量。【解】（1）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù),進(jìn)行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱性,得 （a） (b) (c) (d)同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）得 (g)同式（d）得 (h)式(e) 、(f) 、(g)、 (h)聯(lián)立求

20、解,得將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量,得4-14 設(shè)有一剛體,具有半徑為R的圓柱形孔道,孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒,圓筒受內(nèi)壓力為q,試求圓筒的應(yīng)力。【解】本題為軸對(duì)稱問題,故環(huán)向位移,另外還要考慮位移的單值條件。（1）應(yīng)力分量引用軸對(duì)稱應(yīng)力解答,教材中式（4-11）,取圓筒解答中的系數(shù)為A,B,C,剛體解答中的系數(shù)為A,B,C由多連體中的位移單值條件,有B=0, （a）B=0 (b)現(xiàn)在,取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為 （c）剛體的應(yīng)力表達(dá)式 (d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù)A,A,C,C和相應(yīng)的位移解答。首先,在圓筒的內(nèi)面,有邊界條件,由此得 （e）其次,在遠(yuǎn)離圓孔處,應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力,于是有,由此得2C=0（f）再次,圓筒和剛體的接觸面上,應(yīng)當(dāng)有于是有式（c）及式(d)得 （g）(2)平面應(yīng)變問題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式,稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá)式, （h） （i）剛體的徑向位移為零,在接觸面上,圓筒與剛體的位移相同且都為零