復(fù)數(shù)知識點歸納

1、復(fù) 數(shù)【知識梳理】1、 復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：可與實數(shù)進行四則運算；這樣方程就有解了，解為或2、復(fù)數(shù)的概念（1）定義：形如(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫做虛數(shù)單位，a叫做 ，b叫做 。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母表示，即(a，bR)對于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點：(a，bR)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中表示與虛數(shù)單位相乘復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式（2）分類：滿足條件(a，b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類abi為實數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0例題：當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)數(shù)是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？2、 復(fù)數(shù)相等也就是說，兩個復(fù)數(shù)相等，充

2、要條件是他們的實部和虛部分別相等注意：只有兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知求的值3、 共軛復(fù)數(shù)與共軛的共軛復(fù)數(shù)記作，且4、 復(fù)數(shù)的幾何意義1、 復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。2、 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量）相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)例題：（1）當(dāng)實數(shù)為何值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點 位于第三象限；位于直線上 （2）復(fù)平面內(nèi)，已知，求對應(yīng)的復(fù)數(shù)3、 復(fù)數(shù)的

3、模：向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記作或，表示點到原點的距離，即，若，則表示到的距離，即例題：已知，求的值5、 復(fù)數(shù)的運算（1）運算法則：設(shè)z1abi，z2cdi，a，b，c，dR（2）幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即，.6、 常用結(jié)論（1），求，只需將除以4看余數(shù)是幾就是的幾次例題：（2） ，（3） ，【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)方程x2x10沒有解.( )(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.( )(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.( )(

4、4)原點是實軸與虛軸的交點.( )(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.( )【考點自測】1.(2015安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)(12i)等于()A.33i B.13i C.3i D.1i2.(2015課標(biāo)全國)已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z等于()A.2i B.2i C.2i D.2i3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.48i B.82i C.24i D.4i4.已知a，bR，i是虛數(shù)單位.若ai2bi，則(abi)2等于()A.34i B.34i C.43i D

5、.43i5.已知(12i)43i，則z_.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)za(aR)是純虛數(shù)，則a的值為()A.3 B.1 C.1 D.3(2)已知aR，復(fù)數(shù)z12ai，z212i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B.i C. D.0(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是“z1z2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件引申探究1.對本例(1)中的復(fù)數(shù)z，若|z|，求a的值.2.在本例(2)中，若為實數(shù)，則a_.思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置

6、都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部.(1)若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()A.1 B.0 C.1 D.1或1(2)(2014浙江)已知i是虛數(shù)單位，a，bR，則“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運算命題點1復(fù)數(shù)的乘法運算例2(1)(2015湖北)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A.i B.i C.1 D.1(2)(20

7、15北京)復(fù)數(shù)i(2i)等于()A.12i B.12i C.12i D.12i命題點2復(fù)數(shù)的除法運算例3(1)(2015湖南)已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)()6_.命題點3復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例4(1)(2015天津)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_.(2)(2014江蘇)已知復(fù)數(shù)z(52i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為_.命題點4復(fù)數(shù)的綜合運算例5(1)(2014安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z1i，則i等于()A.2 B.2i C.2 D.2i(2)若復(fù)數(shù)z滿足(34i)

8、z|43i|，則z的虛部為()A.4 B. C.4 D.思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式. (3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5)復(fù)數(shù)的綜合運算.分別運用

9、復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的.(1)(2015山東)若復(fù)數(shù)z滿足i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)2 016_.(3)2 016_.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6(1)(2014重慶)實部為2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若復(fù)數(shù)z滿足|zz1|zz2|zz3|，則z對應(yīng)的點為ABC的()A.內(nèi)心 B.垂心 C.重心 D.外心思維升華因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一

10、對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可.(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()A.A B.B C.C D.D(2)已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.【思想與方法】 解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想典例已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.思維點撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最

11、基本的思想方法.(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學(xué)方法.(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解.【方法與技巧】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程.2.復(fù)數(shù)zabi(a，bR)是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識.3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注

12、意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.2.兩個虛數(shù)不能比較大小.3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在abi(a，bR)中的實數(shù)b，即虛部是一個實數(shù).【鞏固練習(xí)】1.(2015福建)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，2 B.3,2C.3，3 D.1,42.設(shè)zi，則|z|等于()A. B. C. D.23.(2015課標(biāo)全國)若a為實數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則a等于()A.1 B.0 C.1 D.24.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點是

13、()A.E B.F C.G D.H5.(2014江西)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z2，(z)i2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i6.(2015江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z234i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為_.7.若abi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.8.復(fù)數(shù)(3i)m(2i)對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是_.9.計算：(1)；(2)； (3)；(4).10.復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【能力提升】11.復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，則的取值范

14、圍是()A.1,1 B. C. D.12.設(shè)f(n)nn(nN*)，則集合f(n)中元素的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.無數(shù)個13.已知復(fù)數(shù)zxyi，且|z2|，則的最大值為_.14.設(shè)aR，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線xy0上，則a的值為_.15.若1i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2bxc0的一個復(fù)數(shù)根，則b_，c_.【鞏固練習(xí)參考答案】1A. 2.B. 3.B. 4.D. 5.D. 6. 7.3. 8.m.9.解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10.解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是實數(shù)，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.11.解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 化簡得44cos23sin ，由此可得4cos23sin