積分中值定理在數(shù)學分析中的應用(優(yōu)秀畢業(yè)論文)

1、積分中值定理在數(shù)學分析中的應用(優(yōu)秀畢業(yè)論文) 畢業(yè)論文 題 目 積分中值定理在數(shù)學分析中的應用 學生姓名 李 正 邦 學號 0609014168 所在院(系) 數(shù) 學 系 專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2006級5班 指導教師 李 金 龍 完成地點 陜西理工學院 2010年 5月 30日 陜西理工學院畢業(yè)論文 積分中值定理在數(shù)學分析中的應用優(yōu)秀論文 范慕斯 （云南師范大學數(shù)學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)20111級2班） 指導老師：成龍 摘 要 本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學分析中應用時的注意事項及幾點主要應用,這些應用主要是： 一.求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值;二.估計定積分的值;三.求含有定積分

2、的極限;四.確定積分的符號;五.證明中值?的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調性. 關鍵詞 積分;中值;定理;應用 1 引言 積分中值定理是數(shù)學分析中的主要定理之一,同時也是定積分的一個主要性質,它建立了積分和被積函數(shù)之間的關系,從而我們可以通過被積函數(shù)的性質來研究部分的性質,有較高的理論價值和廣泛應用.本文就其在解題中的應用進行討論. 2 預備知識 定理 2.1 (積分第一中值定理) 若f?x?在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點?使得 1 ?f?x?dx?f?b?a?,a?b. ab 證明 由于f?x?在區(qū)間a,b上連續(xù),因此存在最大值M和最小值m.由 m?f?x?

3、M,x?a,b, 使用積分不等式性質得到 m?b?a?f?x?dx?M?b?a?, ab 或 m?b1f?x?dx?M. b?a?a 再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點?a,b?,使得 1bf?f?x?dx. b?a?a 定理 2.2 (推廣的積分第一中值定理) 若f?x?,g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù),且g?x?在?a,b?1 上不變號,則在?a,b?至少存在一點?,使得 ?b af?x?g?x?dx?f?g?x?dx,a?b.ab 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 證明 推廣的第一中值積分定理 不妨設在?a,b?上g?x?0則在?a,b?上有 mg?x?f?x?g?x?Mg?x?，

4、其中m,M分別為f?x?在?a,b?上的最小值和最大值,則有 m?g?x?dx?f?x?g?x?dx?M?g?x?dx, aaabbb 若 若?babg?x?dx?0,則由上式知?f?x?g?x?dx?0,從而對?a,b?上任何一點,定理都成立. ab?g?x?dx?0則由上式得 a f?x?g?x?dx?m?M, ?g?x?dxab ab 則在?a,b?上至少存在一點?,使得 f?x?g?x?dx?f?, ?g?x?dxab ab 即 ?f?x?g?x?dx?f?g?x?dx,a?b.aabb 顯然,當g?x?1時,推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理 3 積分中值定理的應用 由于積分中值

5、定理可以使積分號去掉,從而使問題簡化,對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)值之間關系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時要注意以下幾點： (1) 在應用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間?a,b?上連續(xù)這一條件,否則,結論不一定成立. 例如 顯然f?x?在x?0處間斷. 由于 ?f?x?dx?f?x?dx?f?x?dx?cosx?dx?4 ?4?4404?0?0?40cosxdx?0, 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 但?,?在上,f?x?0,所以,對任何?,?都不能使 ?44?44? ?f?x?dx?2f?. 4 ?4? (2) 定理中的在區(qū)間上不變號這個條件也不能去掉. 例

6、如 令 ?f?x?sinx,g?x?sinx,x?,?, ?22? 由于 ? ?2 ?21f?x?g?x?dx?2?sinxdx?x?sinxcosx?|2?0, ?2222 但 ?g?x?dx?sinxdx?0, 22 ?2?2? 所以,不存在 ? 使 ?,?, 22? ? ?f?x?g?x?dx?f?g?x?dx. 22 ?2?2? (3) 定理中所指出的?并不一定是唯一的,也不一定必須是?a,b?的內點. 例如 令f?x?1,x?a,b?,則對?a,b?,都有 ?f?x?dx?f?b?a?, ab 這也說明了?未必在區(qū)間?a,b?的內點. 下面就就其應用進行討論. 3.1 求函數(shù)在一個區(qū)

7、間上的平均值 例1 試f?x?sinx求在?0,?上的平均值. 解 平均值f?1? 0sinxdx?1?cosx|? 0?2 ?. 例2 試求心形線r?a?1?cos?,0?2?上各點極經(jīng)的平均值. 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 解 平均值r?1 2?2? 0a?1?cos?d?a2?sin?|0?a.2? 注 在解某區(qū)間上一個函數(shù)的平均值時,我們只需要在這個區(qū)間上對這個函數(shù)進行積分,然后積分結果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應用了積分第一中值定理,所以求解其類問題時,一定要理解積分中值定理的定義. 3.2 估計定積分的值 例3 估計?1x19 ?x 160的值. 解 由推廣的積分第一中值

8、定理,得 ?1x19 ?x60?6?10x19dx?11,其中?0,1? 20?6 因為 0?1, 所以 1 2?1 3?6?1, 即 1 32 故?111 ?，620?20 1 2 例 4 估計2?1x19?x60?1.20 1?01?0.5cosxdx的值. 1解 因為f?x?在?0,2?上連續(xù),且 1?0.5cosx maxf(x)?2,minf(x)?0,2?0,2?2, 3 所以由積分第一中值定理有 2?3?21?2?dx?2?2?4?. 01?0.5cosx43 在估計其類積分的值時,首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用

9、積分中值定理就迎刃而解了. 例 5 估計1?x9 ?x x90dx的值. 解 因為f?x?x在?0,1?上連續(xù),在?0,1?內可導, 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 且f?x? 即 x8?18?17x?2?1?x?32在?0,1?內無解, f?x?0,x?0,1?, 等號僅在x?0時成立.故f?x?在?0,1?內嚴格單調增, 即 0?f?0?f?x?f?1? 所以由積分第一中值定理有 12, 0?1x9 ?x0dx?12. 在估計其類積分的值時,首先要確定要積分的函數(shù)在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,然后判斷函數(shù)在積分區(qū)間上的單調性,最后利用積分中值定理就可以估計積分的值了. 綜上,在利

10、用積分中值定理估計積分的值時,我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們在學習過程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習慣. 3.3 求含有定積分的極限 sinx,p,n為自然數(shù). n?nx 解 利用中值定理,得 sinx因為f?x?在?n,n?p?上連續(xù),由積分中值定理得 x例6 求極限limn?p ?n?p nsinxsin?p,?n,n?p? x? 當n?時,?,而|sin?|?1. 故 lim? ?n?pn?nsinxsin?=lim.p=0. ?x 例7 求lim2 n?0?sinnxdx. 解 若直接用中值定理 ?2 n?0lim?sinnxdx=?2sinn?, 因為0? 2n而不能

11、嚴格斷定sinx?0,其癥結在于沒有排除,故采取下列措施 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 ? 2 n?0 ? lim ?sinxdx=? n 20 ? ? sinxdx+?2sinnxdx. 2? n 其中?為任意小的正數(shù). 對第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有 ? 20n? lim ? ? sinnxdx. ? =lim?sinn?0,?0?. n?222? 而第二個積分 ? ? n ? n ? ? 由于?得任意性知其課任意小. 所以 2? 2 sinxdx?2sinx?2?dx=?, 2 2 ? 2 n?0 ? n lim ?sinxdx=?2sinxdx+?2sinnxd

12、x=0. 2? ? ? n 注 求解其類問題的關鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應用該定理時,要注中值?不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量n的趨近方式. 3.4 確定積分的符號 例8 確定積分解 ? 3 ?3 x3exdx的符號. 3 3 x ? 3 ?3 xedx=?xedx+?xedxx=?t?e?td?t?+?x3exdx=?t3e?tdt+?x3exdx 3x 3x?3 03 3 303 00030 =- = ? 30 3 t3e?tdt+?x3exdx 3 ? x3ex?e?xdx ? 利用積分中值定理,得 ? 3 3 ?3x x3exdx=3?3e?e?0.(其中0?

13、3) ? 又xe在?3,3?上不恒等于0,故 ? 3 ?3 x3exdx?0. 注 在解決其類題時,我們常常會以0作為上下限的中介點,然后把原積分寫成以0為中介點的兩個積分的和,積分化就成兩個以0為中介點且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號.這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調性. 3.5 證明中值?的存在性命題 例9 設函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù),在?0,1?內可導,且 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 32f?x?dx?f?0?,證明?0,1?,使f?0, 31 證明 由積分中值定理得 12?2?f?0?32f?x?dx?3?1?f?f?,（其中?1） 3?3

14、?3 又因為f?x?在?0,1?上連續(xù),在?0,1?內可導. 故f?x?在?0，?上滿足羅爾定理條件,可存在一點?0，?0，1?,使f?0. 注 在證明有關題設中含有抽象函數(shù)的定積分等式時,一般應用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問題時至關重要,是我們必須要好好掌握的. 3.6 證明不等式 例10 求證 1 2?1x19 ?x6 10dx?11.20 11. 20?6證明 ?301x19?x6?6?0x19dx? 其中?0,1?,于是由1 2?1 ?6?1即可獲證. 例 11 證明 12dx1?. 02322?x?x 證明 估計連續(xù)函數(shù)的積分值?f?x?dx的一般的方法是求f?x?在

15、?a,b?的最大值M和最小值a b abm,則 m?b?a?f?x?dx?M?b?a?. 因為 2?2?x?x2? 所以 9?1?3?x? ?x?0,1?, 4?2?22 12dx1?. 02322?x?x 例 12 證明 1 2 b a?1x9?x0dx?1. 10證明 估計積分?f?x?g?x?dx的一般的方法是:求f?x?在?a,b?的最大值M和最小值m,又 共 10 頁 陜西理工學院畢業(yè)論文 若g?x?0,則 m?g?x?dx?f?x?g?x?dx?M?g?x?dx. aaabbb 本題中令 f?x? 因為 1?x,g?x?x9?0 ?0?x?1?. 1 2 所以 ?1?x?1 ?x?

16、0,1? 1 102 例13 證明2e?1 4?x12?10xdx?91x9?x0?x9dx?011. 10?ex 022dx?2e2. 2證明 在區(qū)間?0，2?上求函數(shù)f?x?ex?x的最大值M和最小值m. f?x?2x?1?ex2?x,令f?x?0,得駐點x? 11. 2?1?比較f?,f?0?,f?2?知?2?1?2?上的最小值,而f?2?e2為f?x?在f?e4為f?x?在?0，?2? ?0，2?上的最大值.由積分中值定理得 e?1 4?2?0?0ex?xdx?e2?2?0?, 22 即 2e?1 4?ex 022?xdx?2e2. 注 由于積分具有許多特殊的運算性質,故積分不等式的證

17、明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時,也?？紤]用積分中值定理,以便去掉積分符號,若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時,可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如11和12例題時,可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便. 3.7 證明函數(shù)的單調性 ?上連續(xù),F?x?例 14 設函數(shù)f?x?在?0， 為非減函數(shù),則F?x?為非增函數(shù). 證明 F?x? 對上式求導,得 ?內,若f?x?x?2t?f?t?dt,試證:在?0，0k?0?x?2t?f?t?dt?x?0f?t?dt?2?0tf?t?dt, 共 10 頁 kkk 陜西理工學院畢業(yè)論文 kkF?x?f?t?dt?xf?x?2xf?x?f?t?

18、dt?xf?x?, 00 利用積分中值定理,得 F?x?xf?xf?x?x?f?f?x?,?0?x?, 若f?x?為非減函數(shù),則f?f?x?0, 所以F?x?0,故F?x?為非減函數(shù). 綜上所述,積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關題設中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質結合使用,是所求問題迎刃而解. 參考文獻 1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京:高等教育出版社,2001.217-21

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