運(yùn)用拉普拉斯方程求解有特殊電荷分布的空間電勢(shì)

1、運(yùn)用拉普拉斯方程求解有特殊電荷分布的空間電勢(shì)xxx 物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)2007級(jí) 指導(dǎo)老師：xxx摘 要：空間中有電荷分布時(shí),可以根據(jù)微分形式的靜電場(chǎng)基本方程導(dǎo)出均勻介質(zhì)中電位的微分方程泊松方程，通過求泊松方程程的解知道空間電勢(shì)分布。然而空間各點(diǎn)的電勢(shì)看作是自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)相疊加，自由電荷在空間的電勢(shì)可以運(yùn)用高斯(M.E.Gauss)定理進(jìn)行求解，而介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)滿足普拉斯方程，可以用分離變量法求解；這樣將自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)轉(zhuǎn)化為運(yùn)用高斯(M.E.Gauss)定理求解自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與普拉斯方程求解介質(zhì)上的極化

2、電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)相疊加，使問題得到簡化。關(guān)鍵詞：電勢(shì)；泊松方程；拉普拉斯方程；高斯定理；分離變量法Solution of the Electric Potential in the Space with Free Electric Charge Special Distribution by Laplaces Equation TianJunCollege of Physics and Electronic Information ,China West Normal UniversityInstructor:LanXiaoGangAbstract:The electric potenti

3、al with free electric charge specialdistribution (symmetry of sphere)，was solved by Laplaces equation. In this case, the spatialpotential is considered of superposition of the potetial produced by free electric charges and polarized charges.It could be solved with Gausss Law, and the potential produ

4、ced by polarized chargeswas depicted by laplaces quation which can solved by the separationofvariable method. As a result Poissons equation can be transferred into Laplaces equation ,which can be solved easier.Key words: ：electric potential;Poissong equation；laplace s equation；gausss law；separation

5、of- variable method目 錄摘要.1引言.3第一章 預(yù)備知識(shí).31.1 靜電問題的唯一性定理 .31.2 靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)的邊值關(guān)系.41.3 靜電問題的唯一性定理 .41.4 拉普拉斯方程 的通解 .5第二章 理論分析與解法. 7第三章 總結(jié).13參考文獻(xiàn).14致謝.14引 言從理論上來講，若已知均勻介質(zhì)中的全部電荷分布，可以運(yùn)用 （1）計(jì)算電位分布，再由求得電場(chǎng)強(qiáng)度，但是，對(duì)于很多電場(chǎng)問題，場(chǎng)域中的介質(zhì)只是均勻分布，并且其電荷分布往往要有電場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果來確定而且計(jì)算前是未知的，因此，直接運(yùn)用（1）式計(jì)算電場(chǎng)的問題是十分有限的。因此，空間中有電荷分布時(shí),可以根據(jù)微分形式的靜電場(chǎng)基本

6、方程導(dǎo)出均勻介質(zhì)中電位的微分方程泊松方程或拉普拉斯方程。求解泊松方程的方法很多，有特解法、應(yīng)用細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、高精度緊致差分法、五點(diǎn)差分格式法有理宏單元法、相干光反饋系統(tǒng)模擬法、基函數(shù)無網(wǎng)格配點(diǎn)法等,這些方法的求解思路和步驟是非常的復(fù)雜。只有當(dāng)空間沒有電荷分布時(shí)，滿足拉普拉斯方程,然后運(yùn)用分離變量法進(jìn)行求解。但是當(dāng)空間有電荷分布時(shí),且電荷分布有一定特殊性時(shí)我們有沒有解決的方法呢?能不能用某種方法或手段將泊松方程化為我們所熟悉的拉氏方程,然后進(jìn)行求解?這是本文須探討的問題。 本文所用的方法或手段就是將空間各點(diǎn)的電勢(shì)看作是自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加,前者可以用

7、高斯定理進(jìn)行求解其自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì)而后者滿足拉普拉斯方程,可以用分離變量法求解這樣我們就把空間中有自由電荷分布時(shí),需求解的泊松方程的問題轉(zhuǎn)化為拉氏方程進(jìn)行求解,問題也就得到解決了。一、 預(yù)備知識(shí)1.靜電勢(shì)的微分方程 當(dāng)空間有自由電荷分布時(shí)，靜電場(chǎng)的基本方程之一是，與方程是等價(jià)的。將介質(zhì)的本構(gòu)方程帶入靜電場(chǎng)的另一個(gè)方程，得到，再將得到靜電勢(shì)的微分方程 （2）或者為 （3）為自由電荷體密度，式（3）稱為泊松方程。要給定勢(shì)的邊界條件和邊值關(guān)系就可以求出電勢(shì)的分布,但是求解是非常困難的。對(duì)于無自由電荷處，式（3）變 （4） 式（4）稱為拉普拉斯方程（拉氏方程）。算子（）稱為拉普拉斯算子。 2.靜電場(chǎng)

8、標(biāo)勢(shì)的邊值關(guān)系 在兩介質(zhì)的界面上,電勢(shì)必須滿足邊值關(guān)系,由電場(chǎng)的邊值關(guān)系可以化為電勢(shì)的邊值關(guān)系. （5） （6）從介質(zhì)1指向介質(zhì)2，在介質(zhì)1和介質(zhì)2的分界面兩側(cè)相鄰兩點(diǎn)由于電場(chǎng)強(qiáng)度有限因此界面兩側(cè)電勢(shì)相等 （7）而另外一種邊值關(guān)系由（5）式表示為 （8）式中是法線方向的偏導(dǎo)數(shù),為界面上的自由電荷面密度。對(duì)于導(dǎo)體有 （9） （10）3. 靜電問題的唯一性定理區(qū)域可以分為無數(shù)個(gè)均勻區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的電容率為，在內(nèi)有給定的自由電荷分布體密度，電勢(shì)在均勻區(qū)域滿足泊松方程 （11）在兩個(gè)區(qū)域和的分界面上滿足邊值關(guān)系： （12）泊松方程（11）式和邊值關(guān)系（12）式是電勢(shì)所必須滿足的方程。此外還要給定的電勢(shì)

9、和的邊界上的一些條件。情況一：設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布,在的邊界上給定電勢(shì)或電勢(shì)的法向?qū)?shù),則V內(nèi)的電場(chǎng)唯一地確定。情況二：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體,給定導(dǎo)體之外的電荷分布,給定各導(dǎo)體上的總電荷以及V的邊界S上的或值,則V內(nèi)的電場(chǎng)唯一地確定。也就是說，電勢(shì)在導(dǎo)體以外滿足（3）式泊松方程第個(gè)導(dǎo)體上滿足總電荷條件 （13）和等勢(shì)面條件 （14）以及在V的邊界S上具有的或值，V內(nèi)的電場(chǎng)唯一地確定。4.拉普拉斯方程（）的通解. 圓柱坐標(biāo)中的拉普拉斯方程為 （15）我們只討論二維平面場(chǎng)的情形，即與無關(guān)的情形，這是拉普拉斯方程變?yōu)?（16）利用分離變量法設(shè)解具有的形式，代入（16）得 （17） 用乘上式，得

10、 （18）上式中第一項(xiàng)僅是的函數(shù)，第二項(xiàng)僅是的函數(shù)，要使上式對(duì)于所有，值都成立必須每項(xiàng)都等于一個(gè)常數(shù)。如果令第一項(xiàng)等于。則得到 （19）解為 （20）如果我們研究的空間的包含從，因?yàn)楸仨毷菃沃档?，即，則必須為整數(shù)，故 （21）現(xiàn)在用代替（18）中的第二項(xiàng)，得 （22）即 （23）這個(gè)方程成為歐拉方程，其解為 （24）當(dāng)，解為 （25）這是場(chǎng)與坐標(biāo)無關(guān)。圓柱坐標(biāo)中，二維場(chǎng)的的通解為 （26） 拉氏方程在球坐標(biāo)下的通解 （27）若電勢(shì)呈軸對(duì)稱,則,取此軸為極軸則通解就變成 （28）若電勢(shì)呈球狀對(duì)稱,則通解則相應(yīng)變?yōu)?（29）二 理論分析與解法1.點(diǎn)電荷在介質(zhì)中的電熱分布,已知一個(gè)半徑為,電容率為的

11、介質(zhì)球,球外為真空,在球的中心放一個(gè)點(diǎn)電荷,如圖(1)所示,現(xiàn)在來求此介質(zhì)球在各均勻區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)分布.分析:此問題是空間有自由電荷分布的問題,其基本問題是求滿足邊界條件的泊松方程的解，只有在界面形狀比較簡單的幾何曲面時(shí),這類問題才能以解析式給出,而且視具體情況不同有不同的解法，其解題過程是非常困難的?？臻g各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷的電勢(shì) 與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加后者滿足拉普拉斯方程。比如這個(gè)問題,如果用泊松方程來解，由（3）、（4）、（12）得到下列關(guān)系 （30）可以看出，想要求出球內(nèi)電勢(shì)要用到非齊次二階偏微分方程的知識(shí)來進(jìn)行求解,其過程是比較困難的，如果把非齊次的拉普拉斯方程即泊松方程化

12、為齊次的拉普拉斯方程，再進(jìn)行求解會(huì)顯得方便些，其過程如下： 本題所求的電勢(shì)是由點(diǎn)電荷與介質(zhì)球的極化電荷兩者各自產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加且有著球?qū)ΨQ性，因此第一步：不考慮極化電荷在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì),只考慮點(diǎn)電荷在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì): （31）則空間電勢(shì)為 （32）第二步：當(dāng)空間不存在時(shí)當(dāng)空間不存在時(shí),只有介質(zhì)球上的極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì),由于電勢(shì)呈球狀對(duì)稱,由（29）式得其相應(yīng)的通解應(yīng)為： （33）由于球心有的存在，所以有,即 （34）在球外有，即 （35）由邊界條件得 即 （36） 即 （37）由（36）,（37）得 （38） （39）將（39）式代入（34）式，將（38）式代入（35）式，求得電勢(shì)分布

13、 （40）下面用高斯定理求解得： （41） （42） 可以看出用Gauss定理求出的結(jié)果與用分離變量法求出的結(jié)果(40)完全一致可見這種方法是正確的。也就是說我們以后碰到類似的問題都可以將空間各點(diǎn)的電勢(shì)看作是電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加,前者可以用高斯定理進(jìn)行求解其自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì),而后者滿足拉普拉斯方程, 可以用分離變量法求解,這樣我們就把空間中有電荷分布的泊松方程轉(zhuǎn)化為拉氏方程進(jìn)行求解,其運(yùn)算過程是比較簡單的,下面我們?cè)偻ㄟ^一個(gè)問題來進(jìn)行討論。2.外場(chǎng)作用下帶電介質(zhì)球周圍的電勢(shì)分布，在均勻外電場(chǎng)中置人一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球( 電容率為)。如圖2，求空

14、間各點(diǎn)的電勢(shì)分布情況。分析： 如果用泊松方程直接求解，由（3）、（4）、（12）得到下列關(guān)系 (43）如果想要求出其結(jié)果來是相當(dāng)困難的,現(xiàn)在我們將其轉(zhuǎn)化為拉氏方程來求解， 其過程可以分為兩步：第一步先求出自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)分布，第二步介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)分布。則空間總的電勢(shì)是電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加，前者可以用高斯定理進(jìn)行求解其自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，而后者滿足拉普拉斯方程，可以用分離變量法求解。第一步：均勻自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)足高斯定理。 由高斯定理可以求得： （44） 于是可以得到，自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)： （45）所以得到上式的解的

15、形式為： (46)是由高斯定理解得的，的作用加上的共同作用。當(dāng)時(shí)， (47)而當(dāng)時(shí)，所以： (48)當(dāng)時(shí)，即 (49)解得: (50)而當(dāng)時(shí)，即 (51) (52)解得: (53)由（50）、（53）解得 （54）同理 （55）于是求得球內(nèi)外的電勢(shì)為： （56） （57）3、 總結(jié) 當(dāng)空間有自由電荷分布時(shí),可以運(yùn)用某種方法或手段將泊松方程轉(zhuǎn)化為我們所熟知的拉氏方程；空間沒有自由電荷分布時(shí)，根據(jù)唯一性定理，靜電場(chǎng)問題也是求在給定區(qū)域里滿足一定邊值關(guān)系的拉氏方程的解，而且場(chǎng)是唯一確定的。這種方法或手段就是空間各點(diǎn)的電勢(shì)是自由電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)與介質(zhì)上的極化電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加，前者可以運(yùn)用

16、高斯定理進(jìn)行求解，后者滿足拉氏方程，如果區(qū)域的邊界和正交坐標(biāo)系的曲面相對(duì)應(yīng)，那么，運(yùn)用分離變量法求解拉氏方程是比較方便的。參 考 文 獻(xiàn) 1 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法第三版 M北京：高等教育出版社,1960: 761202 王盤貞.應(yīng)用細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解泊松方程的新途徑J.南京郵電學(xué)院學(xué)報(bào),1995：15(1)：3 田振夫.求泊松方程的高精度緊致差分方法J.黃淮學(xué)刊:自然科學(xué)版,1998,14(4):24 廖臣,祝大軍,等.五點(diǎn)差分格式求解泊松方程并行算法的研究J.電子科技大學(xué)黨報(bào), 25 陳志勇,馮偉.有理宏單元法求解泊松方程 J.力學(xué)季刊,2006, 27(4): 655-660.6 繆源,馮壁

17、華.相干光反饋系統(tǒng)模擬解泊松方程 J.光學(xué)黨報(bào), 1994, 14(2): 130-134.7 王新,尹曉華,等.基于徑向基函數(shù)無網(wǎng)格配點(diǎn)法求泊松方程J.山西建筑, 2006, 32(2)8 劉覺平.電動(dòng)力學(xué).高等教育出版社，2004：1831919 蔣逢春,董紅.用分離變量法求靜電場(chǎng)問題的新思路J.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2004(4):10 劉云，點(diǎn)電荷場(chǎng)中球體表面電荷分布規(guī)律的研究.貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào),2008(6):11 郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第二版) M.北京:高等教育出版社,979: 4-97.12 葉齊政 孫敏電磁場(chǎng)華中科技大學(xué)出版社，2008：4255致 謝在我畢業(yè)設(shè)計(jì)開題、調(diào)查、研究和

18、撰寫的過程中，蘭小剛老師給予了我耐心、細(xì)致和全面的幫助。老師淵博的專業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，樸實(shí)無華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹(jǐn)向蘭老師表示崇高的敬意和衷心的感謝！感謝你對(duì)我的悉心培養(yǎng)和關(guān)心。本論文的順利完成，同樣離不開同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助。在此對(duì)你們表示衷心的感謝！ tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMe

19、R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGsh