射影幾何學(xué)的歷史脈絡(luò)探討

1、射影幾何學(xué)的歷史脈絡(luò)探討幾何學(xué)論文精選10篇之第六篇：射影幾何學(xué)的歷史脈絡(luò)探討關(guān)鍵詞：綜合法； 射影幾何； 歷史；Abstract:Projective geometry belongs to the category of non Euclidean geometry, and the projective properties of geometric figures are mainly studied.In nineteenth Century, the comprehensive method was used to study projective geometry with re

2、markable achievements, and the projective geometry was developed into an independent subject.In this paper, some important concepts, ideas and methods as the starting point, to expand the research on core mathematicians academic background and sources of thought and theory, trying to outline a clear

3、 historical context for the comprehensive method of projective geometry.Keyword:Comprehensive method; Projective geometry; History;射影幾何學(xué)是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一， 是研究幾何圖形射影性質(zhì)的一門幾何學(xué)， 擁有對偶原理、連續(xù)性原理、蝴蝶定理等優(yōu)美的數(shù)學(xué)原理和內(nèi)容。追溯射影幾何的發(fā)展過程， 可以發(fā)現(xiàn)射影幾何學(xué)的發(fā)展伴隨著綜合法和解析法兩種研究方法的發(fā)展。19世紀(jì)， 在法國數(shù)學(xué)家蒙日及其數(shù)學(xué)學(xué)派的研究下， 利用綜合法來研究射影幾何， 使沉寂了一百多年的射影幾何其

4、得到了前所未有的復(fù)興和繁榮， 將射影幾何的研究推向了一個(gè)新的歷史發(fā)展局面。一綜合法射影幾何學(xué)的復(fù)興蒙日是19世紀(jì)法國偉大的數(shù)學(xué)家， 于1799年創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)。在畫法幾何學(xué)中， 蒙日利用斜截和透視的思想討論了將三維圖形投影到二維圖形的方法， 即用二正交投影面定位的正投影法， 該方法被廣泛的應(yīng)用在建筑學(xué)、透視學(xué)等領(lǐng)域。投影法在蒙日的畫法幾何學(xué)中發(fā)展的投影法日趨科學(xué)化、系統(tǒng)化， 為射影幾何學(xué)的誕生奠定了良好的理論基礎(chǔ)。特別的， 在代數(shù)學(xué)盛行的學(xué)術(shù)背景下， 緣于蒙日在科學(xué)界、教育界的偉大影響力， 有眾多的學(xué)生受其影響投身于幾何學(xué)的研究中去， 并形成了特點(diǎn)鮮明的蒙日數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)派為數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)了巨大的

5、力量?？ㄖZ， 法國著名的數(shù)學(xué)家， 是蒙日在皇家軍事工程學(xué)院的學(xué)生。受蒙日影響， 喜歡研究幾何問題。區(qū)別于蒙日的解析法， 卡諾更傾向于使用純粹幾何的方法研究問題。對卡諾而言， 解析方法破壞了幾何學(xué)自身的美好和論證技巧， 為此他投身于純粹幾何的研究之中。利用純粹幾何方法研究射影問題， 就是綜合射影幾何學(xué)?？ㄖZ在著作位置的幾何學(xué)、斜截理論中， 討論了完全四邊形和完全四角形的性質(zhì)， 分析了四個(gè)點(diǎn)和四條直線的交比和及其射影不變性， 為射影幾何做出了突出貢獻(xiàn)， 展示了應(yīng)用純粹綜合方法研究幾何的途徑， 開啟了綜合射影幾何的復(fù)興之路。二綜合法射影幾何學(xué)的繁榮射影幾何作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支， 主要源于龐斯列的工作。

6、龐斯列， 也是蒙日在皇家軍事工程學(xué)院的學(xué)生。1813年， 受法國動亂影響龐斯列畢業(yè)后成為拿破侖軍隊(duì)的軍事工程師， 并在入侵俄國的戰(zhàn)爭中成為戰(zhàn)俘被囚禁于俄國的監(jiān)獄中。盡管監(jiān)獄中的生活非常困苦， 龐斯列仍然堅(jiān)持不懈的進(jìn)行研究， 重新整理了從蒙日和卡諾那里學(xué)到的幾何知識， 并成為綜合幾何學(xué)的忠實(shí)支持者。在獄中， 龐斯列撰寫了分析學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用、論圖形的射影幾何兩部著作。正是這兩部著作的內(nèi)容， 奠定了龐斯列的射影幾何之父的地位。1822年， 在龐斯列出獄的第8年， 著作論圖形的射影幾何才得以發(fā)表。在論圖形的射影幾何中可以發(fā)現(xiàn)， 龐斯列已經(jīng)認(rèn)識到射影幾何是一個(gè)具有獨(dú)特方法和目標(biāo)的數(shù)學(xué)分支。區(qū)別于以往只

7、討論特殊問題的數(shù)學(xué)家， 龐斯列考慮了射影幾何學(xué)中更為一般和本質(zhì)的問題：幾何圖形在任意投影下所有截影都具有的共同性質(zhì)， 即投影變換下截影的不變性。1不僅如此， 龐斯列給出了射影幾何與度量幾何的區(qū)別。為使射影幾何從歐式幾何中抽離出來， 從而確立起射影幾何的屬性， 龐斯列發(fā)展了利用中心投影來研究對合與調(diào)和點(diǎn)列的理論并在射影圖形、連續(xù)性原理、以及圓錐曲線的極點(diǎn)與極線中得到開拓性的重要研究。深受龐斯列射影幾何工作的影響， 瑞士數(shù)學(xué)家施坦納1832年發(fā)表了幾何學(xué)相互依賴性的系統(tǒng)發(fā)展， 發(fā)展了從簡單圖形導(dǎo)出復(fù)雜圖形的新的綜合幾何方法， 并將點(diǎn)、線上的對偶原理擴(kuò)充圓錐曲線和圓錐曲面上， 成為綜合射影幾何學(xué)的集

8、大成者。施坦納將圓錐曲線看作兩個(gè)射影相關(guān)線束對應(yīng)射線的交點(diǎn)的軌跡， 是第一個(gè)不把圓錐曲線看作圓的投影的人。通過這種途徑， 施坦納在點(diǎn)列、線束、基本形、高階曲線、曲面等之間建立了1-1對應(yīng)的關(guān)系。這種創(chuàng)造性的構(gòu)想為施坦納進(jìn)一步研究射影幾何中更為抽象、復(fù)雜、純粹的領(lǐng)域開辟了便捷的道路， 并使綜合法的技巧發(fā)展到了爐火純青的地步。但是， 這里需要指出的是， 無論是龐斯列還是施坦納， 在他們的工作中仍難以避免使用距離這個(gè)度量概念， 而度量概念是不屬于射影幾何的。這意味著無論是多么精妙的綜合法， 最終也無法真正揭示射影幾何的本質(zhì)， 更無法厘清射影幾何與歐式幾何之間的邏輯基礎(chǔ)。直到1847年， 德國數(shù)學(xué)家施

9、陶特在位置的幾何學(xué)中， 用完全擺脫長度的方式重新闡述了射影幾何學(xué)的思想。施陶特用投的幾何作圖法， 引入相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。這些坐標(biāo)不具有度量概念， 但服從代數(shù)運(yùn)算。施陶特用純幾何的方法建立了關(guān)于射影直線上點(diǎn)的射影運(yùn)算理論， 并給出了交比的現(xiàn)代表達(dá)式。施陶特的方法具有顯著的普適性， 能輕而易舉地適用于實(shí)、虛不同的情況。在施陶特的工作下， 證明了射影幾何學(xué)不需要借助歐氏幾何學(xué)的任何結(jié)果來理解， 是一門比歐式幾何還要基礎(chǔ)的幾何學(xué)。至此， 施陶特的工作將綜合射影幾何推至最巔峰的時(shí)期。三射影幾何幾何研究的代數(shù)化受法國資產(chǎn)階級大革命影響， 19世紀(jì)民主精神和重視數(shù)學(xué)教育的風(fēng)尚遍及法國。當(dāng)人們驚嘆于蒙日課堂上三維

10、圖像形象、科學(xué)的躍然于工程圖紙上時(shí)， 在許多青年學(xué)者心中早已種下了追隨傳統(tǒng)幾何的種子。以蒙日為首的數(shù)學(xué)家， 引領(lǐng)鼓勵著大批的青年學(xué)者步入幾何的研究領(lǐng)域， 并推動了綜合射影幾何學(xué)的復(fù)興和繁榮。但是， 利用綜合法研究射影幾何也不免存在弊端。利用綜合法研究射影幾何， 不僅需依賴研究者高超的幾何證明技巧， 還很難將取得結(jié)論在涉及虛元素、高維空間時(shí)一般化推廣。所以， 從19世紀(jì)30年代開始， 以麥比烏斯、普呂克為首數(shù)學(xué)家開始致力于用解析的方法研究射影幾何， 并取得豐厚的成果。自施陶特之后， 繁盛長達(dá)半個(gè)世紀(jì)的綜合射影幾何學(xué)逐漸被解析射影幾何學(xué)代替， 成為研究的主流。1872年， 以抽象幾何學(xué)本質(zhì)屬性為目標(biāo)， 克萊因在愛爾蘭根綱領(lǐng)中提