材料力學(xué)第7章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論ppt課件

1、第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 第7章 應(yīng)力形狀與強(qiáng)度實(shí)際7.1引言引言7.2平面應(yīng)力形狀分析的解析法平面應(yīng)力形狀分析的解析法7.3平面應(yīng)力形狀分析的幾何法平面應(yīng)力形狀分析的幾何法應(yīng)力圓應(yīng)力圓7.4三向應(yīng)力形狀下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力形狀下的最大應(yīng)力7.5廣義胡克定律廣義胡克定律7.6復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能與畸變能復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能與畸變能7.7強(qiáng)度實(shí)際概述強(qiáng)度實(shí)際概述第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.1 引引 言言 1.一點(diǎn)的應(yīng)力形狀一點(diǎn)的應(yīng)力形狀改動(dòng)和彎曲研討闡明，桿件內(nèi)不同位置的點(diǎn)，普通情況改動(dòng)和彎曲研討闡明，桿件內(nèi)不同位置的點(diǎn)，普通情況下具有不同的應(yīng)力，所以一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。下具

2、有不同的應(yīng)力，所以一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。然而就一點(diǎn)來說，經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)截面，在不同方然而就一點(diǎn)來說，經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)截面，在不同方位截面上，這個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力也不同，即截面上的應(yīng)力又隨截面位截面上，這個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力也不同，即截面上的應(yīng)力又隨截面方位的不同而變化，是截面方位角的函數(shù)。例如，直桿軸向方位的不同而變化，是截面方位角的函數(shù)。例如，直桿軸向拉伸或緊縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力就是截面傾角的函數(shù)，在桿件拉伸或緊縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力就是截面傾角的函數(shù)，在桿件的橫截面上，正應(yīng)力取最大值；在與桿件軸線成的橫截面上，正應(yīng)力取最大值；在與桿件軸線成45的斜面的斜面上，切應(yīng)力取最大值。因此，凡提到上，

3、切應(yīng)力取最大值。因此，凡提到“應(yīng)力，必需指明是應(yīng)力，必需指明是哪個(gè)點(diǎn)在哪個(gè)方位上的應(yīng)力。所謂哪個(gè)點(diǎn)在哪個(gè)方位上的應(yīng)力。所謂“一點(diǎn)的應(yīng)力形狀，就一點(diǎn)的應(yīng)力形狀，就是指過一點(diǎn)各個(gè)方位面上是指過一點(diǎn)各個(gè)方位面上“應(yīng)力情況的總稱。應(yīng)力形狀實(shí)應(yīng)力情況的總稱。應(yīng)力形狀實(shí)際就是研討一點(diǎn)不同截面上的應(yīng)力隨截面方位的變化規(guī)律。際就是研討一點(diǎn)不同截面上的應(yīng)力隨截面方位的變化規(guī)律。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.主平面主平面主應(yīng)力主應(yīng)力主應(yīng)力單元體主應(yīng)力單元體為了表示一點(diǎn)應(yīng)力形狀，普通是圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)三個(gè)方向?yàn)榱吮硎疽稽c(diǎn)應(yīng)力形狀，普通是圍繞該點(diǎn)取出一個(gè)三個(gè)方向尺寸均為無限小的正六面體，簡(jiǎn)稱為該點(diǎn)的微體或單元體，

4、在單尺寸均為無限小的正六面體，簡(jiǎn)稱為該點(diǎn)的微體或單元體，在單元體的每個(gè)外表上標(biāo)出知的應(yīng)力，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力單元體。由于元體的每個(gè)外表上標(biāo)出知的應(yīng)力，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力單元體。由于單元體是無限小的，因此可以以為單元體是無限小的，因此可以以為:單元體各面上的應(yīng)力是均單元體各面上的應(yīng)力是均勻分布的；勻分布的；單元體相互平行截面上的應(yīng)力一樣，且同等于經(jīng)過單元體相互平行截面上的應(yīng)力一樣，且同等于經(jīng)過該點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。所以，一個(gè)點(diǎn)的單元體的應(yīng)力形狀完全該點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。所以，一個(gè)點(diǎn)的單元體的應(yīng)力形狀完全可以代表該點(diǎn)的應(yīng)力形狀。受力構(gòu)件上一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力單元體不是可以代表該點(diǎn)的應(yīng)力形狀。受力構(gòu)件上一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力

5、單元體不是獨(dú)一的，在取單元體時(shí)，應(yīng)盡量使其三對(duì)面上的應(yīng)力容易確定。獨(dú)一的，在取單元體時(shí)，應(yīng)盡量使其三對(duì)面上的應(yīng)力容易確定。普通取三對(duì)面中的一對(duì)面為桿的橫截面，另外兩對(duì)面分別為垂直普通取三對(duì)面中的一對(duì)面為桿的橫截面，另外兩對(duì)面分別為垂直于橫截面的縱向截面。圖于橫截面的縱向截面。圖71給出了直桿在軸向拉伸時(shí)給出了直桿在軸向拉伸時(shí)A點(diǎn)的應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)力單元體。圖力單元體。圖72給出了直桿在同時(shí)發(fā)生改動(dòng)和軸向緊縮時(shí)外表給出了直桿在同時(shí)發(fā)生改動(dòng)和軸向緊縮時(shí)外表上上A點(diǎn)的應(yīng)力單元體。點(diǎn)的應(yīng)力單元體。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖71 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖72 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 在構(gòu)件內(nèi)任一

6、點(diǎn)總可以取出一個(gè)特殊的單元體，其三個(gè)相互垂直的面上均無切應(yīng)力，這種切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這種特殊的單元體稱為主應(yīng)力單元體，簡(jiǎn)稱為主單元體。主應(yīng)力單元體上三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值大小排序?yàn)?23，1、2、3分別稱為第一主應(yīng)力、第二主應(yīng)力和第三主應(yīng)力。普通來說，受力構(gòu)件上的恣意點(diǎn)都可以找到對(duì)應(yīng)的主單元體，因此每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3.簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀與復(fù)雜應(yīng)力形狀簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀與復(fù)雜應(yīng)力形狀 圖73 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 單向應(yīng)力形狀:三個(gè)主應(yīng)力中只需一個(gè)不等于零，這種情況稱為單向應(yīng)力形狀，也稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀。二向應(yīng)力形狀:三個(gè)主應(yīng)力中有兩

7、個(gè)不等于零，這種情況稱為二向應(yīng)力形狀，也稱為平面應(yīng)力形狀。三向應(yīng)力形狀:三個(gè)主應(yīng)力都不等于零的情況稱為三向應(yīng)力形狀。二向和三向應(yīng)力形狀統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力形狀。關(guān)于單向應(yīng)力形狀曾經(jīng)在軸向拉伸緊縮中詳細(xì)討論過，本章將從分析二向應(yīng)力形狀開場(chǎng)討論。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 4.應(yīng)力形狀實(shí)例應(yīng)力形狀實(shí)例單向應(yīng)力形狀實(shí)例單向應(yīng)力形狀實(shí)例:圖圖71所示的直桿在軸向拉伸時(shí)桿所示的直桿在軸向拉伸時(shí)桿件內(nèi)每一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力形狀，梁彎曲時(shí)上下邊緣各點(diǎn)件內(nèi)每一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力形狀，梁彎曲時(shí)上下邊緣各點(diǎn)的應(yīng)力情況也屬于單向應(yīng)力形狀。的應(yīng)力情況也屬于單向應(yīng)力形狀。二向應(yīng)力形狀實(shí)例二向應(yīng)力形狀實(shí)例:蒸汽鍋爐等其他圓筒形薄

8、壁容器在蒸汽鍋爐等其他圓筒形薄壁容器在內(nèi)壓內(nèi)壓p作用下見圖作用下見圖74，筒壁外表上各點(diǎn)均處于二向應(yīng)，筒壁外表上各點(diǎn)均處于二向應(yīng)力形狀。另外，受扭圓軸各點(diǎn)的應(yīng)力形狀也屬于二向應(yīng)力力形狀。另外，受扭圓軸各點(diǎn)的應(yīng)力形狀也屬于二向應(yīng)力形狀。形狀。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖74 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 三向應(yīng)力形狀實(shí)例:鐵路鋼軌的頭部和火車車輪是在很小的范圍內(nèi)相互接觸，鋼軌遭到車掄的壓力見圖75(a)。在車輪壓力作用下，鋼軌受壓部分的資料將有向周圍擴(kuò)張的趨勢(shì)，而周圍的資料阻止其向外擴(kuò)張，故遭到周圍資料的壓力。假設(shè)從鋼軌的壓力中心，沿著平行及垂直于鋼軌軸線方向，截取一個(gè)單元體見圖75(b)，單

9、元體上將遭到三個(gè)主應(yīng)力1、2、3，這樣鋼軌與車輪的接觸點(diǎn)處的應(yīng)力形狀為三向應(yīng)力形狀。與此類似，接受高壓的厚壁容器器壁內(nèi)各點(diǎn)、兩齒輪的接觸點(diǎn)及滾珠與軸承圈的接觸點(diǎn)的應(yīng)力情況，都屬于三向應(yīng)力形狀。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖75 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.2 平面應(yīng)力形狀分析的解析法平面應(yīng)力形狀分析的解析法1.平面應(yīng)力形狀下單元體斜截面上的應(yīng)力平面應(yīng)力形狀下單元體斜截面上的應(yīng)力分析方法分析方法:用一個(gè)假想的平面將單元體從所調(diào)查的斜面處用一個(gè)假想的平面將單元體從所調(diào)查的斜面處截開，分為兩部分，調(diào)查其中恣意一部分的平衡，由平衡條截開，分為兩部分，調(diào)查其中恣意一部分的平衡，由平衡條件可求得該斜

10、截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這就是截面法，是件可求得該斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這就是截面法，是分析單元體斜截面上應(yīng)力的根本方法。分析單元體斜截面上應(yīng)力的根本方法。 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo):設(shè)單元體處于平面應(yīng)力形狀見圖設(shè)單元體處于平面應(yīng)力形狀見圖76(a)，圖圖76(b)是單元體的正投影。知是單元體的正投影。知:x、y、xy、yx，斜面傾，斜面傾角為角為。求斜面。求斜面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力和切應(yīng)力和切應(yīng)力。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定:規(guī)定正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)；切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)恣意點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)切應(yīng)力為正，反之為負(fù)；斜面傾角從x正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線，逆時(shí)針時(shí)為正，順時(shí)針為負(fù)。按照上

11、述規(guī)定，在圖76(b)中，x、y、xy和都取正值，而yx取負(fù)值。應(yīng)力符號(hào)角標(biāo)的含義:x、y分別表示法線與x、y軸平行的面上的正應(yīng)力；切應(yīng)力xy第一個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力作用面的外法線方向，第二個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向平行于y軸。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖76 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 用平面將單元體沿ef面截面ef平行于z軸截開，保管eaf部分，如圖76(c)所示。設(shè)ef面的面積是dA，那么af、ae面的面積分別是dAsin和dA cos見圖76(d)。列出三棱柱單元ea f的靜平衡方程: 0nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy

12、0tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 根據(jù)切應(yīng)力互等定理，yx和xy在數(shù)值上相等，代入上面兩式可求得: 2sin2cos22 cossin2sincos22xyyxyxxyyx71 2cos2sin2 )sin(coscossincossin22xyyxxyyx72 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 需求留意的是:式71、式72的推導(dǎo)是按圖76b所示的x、y、xy和的方向推導(dǎo)的，所以在運(yùn)用這兩個(gè)公式時(shí)，一定要遵照應(yīng)力及角的正負(fù)規(guī)定，這四個(gè)量都應(yīng)該以詳細(xì)的代數(shù)值代入公式進(jìn)展計(jì)算。假設(shè)用+90替代式71第一式中

13、的，那么 xyyxyx222290sincos從而有 yx90可見，在平面應(yīng)力形狀下，一點(diǎn)處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應(yīng)力的代數(shù)和是一個(gè)不變量。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.主平面和主應(yīng)力主平面和主應(yīng)力從式從式71和式和式72中可以看出，斜截面上的中可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是斜面傾角正應(yīng)力和切應(yīng)力都是斜面傾角的函數(shù)，經(jīng)過函數(shù)求極值的的函數(shù)，經(jīng)過函數(shù)求極值的方法，可以得到正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，并確定它們所在方法，可以得到正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，并確定它們所在平面的位置。令平面的位置。令: 02cos2sin22ddxyyxa 可以得到: yxxy22tan073 第7章 應(yīng)力狀

14、態(tài)與強(qiáng)度理論 由于正切函數(shù)的周期為180，所以滿足上式的角度為0和0+90兩個(gè)，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。比較式a和式72可以看出:正應(yīng)力的極大值和極小值對(duì)應(yīng)的平面恰好是切應(yīng)力為零的平面，即該平面是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力，這也證明了主平面是相互垂直的。 結(jié)論:在切應(yīng)力為零的平面上正應(yīng)力取極大值和極小值，即最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力，所在的平面為主平面。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 從式73中求出sin20和cos20代入式71，就可以求出最大和最小的正應(yīng)力為 22minmax)2(2xyyxyx74 在0、0+90所確定的兩個(gè)相互垂

15、直的平面中，終究哪個(gè)平面上是max，哪個(gè)平面上是min呢？這個(gè)問題的判別方法有許多種，這里僅引見其中一種。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 為了判定max和min與0和與o090的對(duì)應(yīng)關(guān)系，須研究對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)。 求出22dd， 將滿足 （7-3） 式的0值代入后發(fā)現(xiàn)： 當(dāng)yx時(shí)，在40所對(duì)應(yīng)主平面上的正應(yīng)力是max；而當(dāng)yx時(shí)，在40所對(duì)應(yīng)主平面上的正應(yīng)力是min；當(dāng)yx時(shí)，如果x有使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，則max指向?yàn)閺膞所在的 x 軸正向沿順時(shí)針轉(zhuǎn)過45；如果x有使單元體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)， 則max指向?yàn)閺膞所在的x 軸正向沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過45。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 公式（7-4）是計(jì)算單元

16、體主應(yīng)力大小的公式，單元體的三個(gè)主應(yīng)力可按下述規(guī)則排序： （1）若0max，0min，則max1，02，min3； （2）若0max，0min，則max1，min2，03； （3）若0max，0min，則01，max2，min3。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3.最大和最小切應(yīng)力最大和最小切應(yīng)力用完全一樣的求函數(shù)極值方法，由式用完全一樣的求函數(shù)極值方法，由式72可以求可以求出切應(yīng)力的最大值和最小值為出切應(yīng)力的最大值和最小值為 2)2(minmax22minmaxxyyx75 對(duì)應(yīng)的平面傾角為 xyyx22tan176 由式(76)可以求出兩個(gè)相差90的平面，分別對(duì)應(yīng)最大和最小切應(yīng)力。比較式73

17、和式76可以看出:21=20+90，1=0+45,即最大和最小切應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 還要指出，最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力普通情況下都不等于零，通常用n表示，假設(shè)將1和1+90分別代入式71，經(jīng)過計(jì)算就可以得到這兩個(gè)面上的正應(yīng)力恒為 2minmaxn由式76可得(x-y)cos21-2xysin21=0,代入式71第一式得 29011yx可見在極值作用面上的正應(yīng)力相等，且為x、y的平均值。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例 7-1 分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。 解：軸向拉伸時(shí)，桿件上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向

18、應(yīng)力狀態(tài)，如圖 7-1所示。x，0y，0 xy。根據(jù)公式（7-1）和（7-2）求出，任意斜截面上的應(yīng)力為：2cos22，2sin2?？梢?，當(dāng)o45時(shí)，切應(yīng)力取最大值：2max?；蛘咧苯痈鶕?jù)公式（7-5）求出：2202m i nm axm ax。 這表明最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成o45夾角的斜面上， 這正是屈服時(shí)試件表面出現(xiàn)滑移線的方向。因此可以認(rèn)為屈服是由最大切應(yīng)力引起的。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例72受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力形狀如圖受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力形狀如圖77所示。所示。 1求求45斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力；2求主應(yīng)力并確定主平面；求主應(yīng)力并確定主平面；3求最大切應(yīng)力。求最大切應(yīng)

19、力。解根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出解根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出:x=25MPa，y=-75MPa，xy=-40MPa。145斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力: MPa159040902752527525222245oo sin)(cos)()(sincosxyyxyx第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖77 MPa509040902752522245ooxyyx)()(cossincossin第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 MPaMPa8939402752527525222222minmax)()()()(xyyxyx2主應(yīng)力: 所以 MPa,39102MPa893， 8 . 0)75(25)40(222ta

20、n0yxxy解得20=38.66，0=19.33。 由于xy，在 所對(duì)應(yīng)主平面上的正應(yīng)力是max，由此作出主應(yīng)力單元體如圖77所示。 40第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 MPa64289392)(minmaxmax3最大切應(yīng)力:第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.3平面應(yīng)力形狀分析的幾何法平面應(yīng)力形狀分析的幾何法應(yīng)力圓應(yīng)力圓1.應(yīng)力圓的概念應(yīng)力圓的概念由上一節(jié)平面應(yīng)力形狀分析的解析法可由上一節(jié)平面應(yīng)力形狀分析的解析法可知，平面應(yīng)力形狀下，斜截面上的應(yīng)力可由知，平面應(yīng)力形狀下，斜截面上的應(yīng)力可由式式71、式、式72來確定，它們皆為來確定，它們皆為的函數(shù)。將的函數(shù)。將看做參數(shù)，為消去看做參數(shù)，為消去，將兩

21、式，將兩式改寫成改寫成 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 將兩式等號(hào)兩邊平方，然后再相加，得 222222xyyxyx上式中，x、y和xy皆為已知量，若建立一個(gè)坐標(biāo)系：橫坐標(biāo)軸為軸，縱坐標(biāo)軸為軸，則上式是一個(gè)以和為變量的圓方程。圓心的橫坐標(biāo)為yx21，縱坐標(biāo)為零，圓的半徑為222xyyx。這個(gè)圓稱作應(yīng)力圓，亦稱莫爾（Mohr）圓。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.應(yīng)力圓的繪制應(yīng)力圓的繪制利用上述圓心和半徑畫應(yīng)力圓不是很方便?，F(xiàn)以圖利用上述圓心和半徑畫應(yīng)力圓不是很方便?，F(xiàn)以圖78(a)所示平面應(yīng)力形狀為例來闡明一種簡(jiǎn)便的應(yīng)力圓繪制方所示平面應(yīng)力

22、形狀為例來闡明一種簡(jiǎn)便的應(yīng)力圓繪制方法。法。1建立應(yīng)力坐標(biāo)系建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如圖，如圖78(b)所示。所示。2根據(jù)知應(yīng)力根據(jù)知應(yīng)力x、y、xy的大小，選取適當(dāng)比的大小，選取適當(dāng)比例尺，在例尺，在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)Ax，xy和和By，yx。3AB與與軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)C便是圓心。便是圓心。4以以C為圓心，以為圓心，以AC為半徑畫圓，如圖為半徑畫圓，如圖78(b)所示。所示。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 由于C點(diǎn)的坐標(biāo)為 22121yxOGOEOEOGOEECOEOC）（）（半徑為 2xy2yx22)2(AG)G)(CAC所以，這一圓周就是上面所提到的應(yīng)力圓。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

23、圖78 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3.單元體中面上應(yīng)力與應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元體中面上應(yīng)力與應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系從圖從圖78(a)和和78(b)可以看出，在單元體上相差可以看出，在單元體上相差90的的x和和y兩個(gè)面上的應(yīng)力代數(shù)值正好與應(yīng)力圓上相差兩個(gè)面上的應(yīng)力代數(shù)值正好與應(yīng)力圓上相差180的的兩個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)A和和B的坐標(biāo)值相對(duì)應(yīng)，由此可以證明應(yīng)力圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)值相對(duì)應(yīng)，由此可以證明應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力形狀恣意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系與平面應(yīng)力形狀恣意斜截面上的應(yīng)力有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:1點(diǎn)面對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)單元體點(diǎn)面對(duì)應(yīng)：應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)單元體某一方位面

24、上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖某一方位面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖78(b)上的上的D點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面的坐標(biāo)即為斜截面面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2轉(zhuǎn)向?qū)?yīng):應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改動(dòng)，對(duì)應(yīng)地，斜截面外法線亦沿一樣方向旋轉(zhuǎn)，才干保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。3二倍角對(duì)應(yīng):應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的2倍。由于，在單元體中，外法線與x軸間夾角相差180的兩個(gè)面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360時(shí)才干為同一點(diǎn)。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 4.應(yīng)力圓的運(yùn)用應(yīng)力圓的運(yùn)用1運(yùn)用應(yīng)力圓可以確定恣意斜

25、截面上應(yīng)力的大小和運(yùn)用應(yīng)力圓可以確定恣意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。假設(shè)欲求方向。假設(shè)欲求面上的應(yīng)力面上的應(yīng)力及及，那么可從與，那么可從與x面對(duì)應(yīng)面對(duì)應(yīng)的的A點(diǎn)開場(chǎng)沿應(yīng)力圓圓周逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)點(diǎn)開場(chǎng)沿應(yīng)力圓圓周逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)2圓心角至圓心角至D點(diǎn)見點(diǎn)見圖圖78(b)，這時(shí)，這時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)便同外法線與點(diǎn)的坐標(biāo)便同外法線與x軸成軸成角的面角的面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)。上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2確定主應(yīng)力的大小和方位。應(yīng)力圓與軸的交點(diǎn)F和H見圖78(b)，其縱坐標(biāo)即切應(yīng)力為零，因此，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力便是平面應(yīng)力形狀的兩個(gè)正應(yīng)力極值。留意:在圖78所示情況中，因maxmin0，所以用單元體主應(yīng)力1、2表

26、示，這時(shí)的3應(yīng)為零。半徑由A點(diǎn)轉(zhuǎn)到H點(diǎn)的圓心角的一半就是主應(yīng)力1所在斜面與x面的夾角，半徑由A點(diǎn)轉(zhuǎn)到F點(diǎn)的圓心角的一半就是主應(yīng)力2所在斜面與x面的夾角。3確定極值剪應(yīng)力及其作用面。由圖78(b)不難看出，應(yīng)力圓上的O1、O2兩點(diǎn)，是與切應(yīng)力極值面1面和1+90面上的應(yīng)力對(duì)應(yīng)的?？梢钥闯?正應(yīng)力極值面與切應(yīng)力極值面互成45夾角。第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例73如圖如圖79(a)所示單元體，試用應(yīng)力圓所示單元體，試用應(yīng)力圓求求:=30斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力；主應(yīng)力及其方位；主應(yīng)力及其方位；極值極值切應(yīng)力切應(yīng)力(圖中應(yīng)力單位為圖中應(yīng)力單位為MPa)。 圖79 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

27、解 選定比例尺，在坐標(biāo)系中，以x面上的應(yīng)力定出D點(diǎn)30，-20，以y面上的應(yīng)力定出D點(diǎn)-40，20。銜接D和D兩點(diǎn)，交軸于C點(diǎn)。以C點(diǎn)為圓心，以CD為半徑做出的圓就是應(yīng)力圓，如圖79(b)所示。1確定=30斜截面上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上從半徑CD按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)60來確定F點(diǎn)。按選定的比例尺量得此點(diǎn)的坐標(biāo)后得知，30=30MPa，30=20MPa。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2按選定的比例尺量取A1、B1點(diǎn)的坐標(biāo)即得 MPa2351.MPa2453.另一個(gè)主應(yīng)力2=0。在應(yīng)力圓上由D到A1為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，且DCA1=20=29.8，所以在單元體中從x方向以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向量取0=14.9，確定1所在主平

28、面的法線。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3按選定的比例尺量取E1、E2點(diǎn)的縱坐標(biāo)即得 MPa240.minmax討論:建議讀者利用解析法自行對(duì)此題進(jìn)展計(jì)算，并與應(yīng)力圓法進(jìn)展比較分析。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例74討論圓軸改動(dòng)時(shí)的應(yīng)力形狀，并分析低碳鋼討論圓軸改動(dòng)時(shí)的應(yīng)力形狀，并分析低碳鋼和鑄鐵試樣受扭時(shí)的破壞景象。和鑄鐵試樣受扭時(shí)的破壞景象。解解1畫出危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力單元體。從改動(dòng)試件外表任一點(diǎn)畫出危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力單元體。從改動(dòng)試件外表任一點(diǎn)D處截取應(yīng)力單元體，單元體各外表上的應(yīng)力如圖處截取應(yīng)力單元體，單元體各外表上的應(yīng)力如圖710a所示，所示，x=y=0，xy=T/WP。此應(yīng)力單元體所表示的應(yīng)。

29、此應(yīng)力單元體所表示的應(yīng)力形狀是平面應(yīng)力形狀的一個(gè)特例，也就是第三章所述的力形狀是平面應(yīng)力形狀的一個(gè)特例，也就是第三章所述的純剪切應(yīng)力形狀。純剪切應(yīng)力形狀。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖710 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2畫出應(yīng)力圓。選定比例尺，在坐標(biāo)系中，以x面上的應(yīng)力定出D點(diǎn)0，以y面上的應(yīng)力定出D點(diǎn)0，-。銜接D和D兩點(diǎn)，交軸于O點(diǎn)。以O(shè)點(diǎn)為圓心，OD為半徑作出的圓就是應(yīng)力圓，如圖710(b)所示。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3求主應(yīng)力大小和方位。從應(yīng)力圓可以看出，1=，3=-，另一個(gè)主應(yīng)力2=0。在應(yīng)力圓上由D到A1為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，且DOA1=20=90，所以在單元體中從x方向以順時(shí)

30、針轉(zhuǎn)向量取0=45，確定1所在主平面的法線。在應(yīng)力圓上由D到B1為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，且DOB1=90，所以在單元體中從x方向以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向量取0=45，確定3所在主平面的法線。根據(jù)以上分析可知，純剪切的兩個(gè)主應(yīng)力的絕對(duì)值相等，都等于切應(yīng)力，但一個(gè)是拉應(yīng)力，一個(gè)是壓應(yīng)力。作出主應(yīng)力單元體如圖710c所示。第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 4求切應(yīng)力大小和方位。從應(yīng)力圓可以看出，max=，發(fā)生在橫截面上；min=-，發(fā)生在程度縱截面上。5分析改動(dòng)試件的破壞緣由。由于一點(diǎn)處的應(yīng)力形狀與試件的資料無關(guān)，故低碳鋼和鑄鐵試件在任一點(diǎn)處的最大應(yīng)力都可以根據(jù)圖710(c)來分析。改動(dòng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，低碳鋼試件沿橫截面破壞，這正好是

31、max所在平面，可見是被剪斷的。由于max=max，所以闡明低碳鋼的抗剪才干低于其抗拉才干。鑄鐵試件是沿著與軸線約成0=45的螺旋面破壞的，這正好是max所在平面，可見是被拉斷的。由于max=max，因此闡明鑄鐵的抗拉才干低于其抗剪才干。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.4三向應(yīng)力形狀下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力形狀下的最大應(yīng)力1.三向應(yīng)力圓三向應(yīng)力圓設(shè)受力構(gòu)件上的某點(diǎn)處于三向應(yīng)力形狀，設(shè)受力構(gòu)件上的某點(diǎn)處于三向應(yīng)力形狀，其主應(yīng)力單元體如圖其主應(yīng)力單元體如圖711(a)所示?？梢詫⑺?。可以將這種應(yīng)力形狀分解為三種平面應(yīng)力形狀，分這種應(yīng)力形狀分解為三種平面應(yīng)力形狀，分析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方位面

32、上的析平行于三個(gè)主應(yīng)力的三組特殊方位面上的應(yīng)力。應(yīng)力。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖711 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖712 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.最大應(yīng)力最大應(yīng)力綜上所述，在綜上所述，在平面內(nèi)，代表恣意斜截面的應(yīng)力的平面內(nèi)，代表恣意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上，或位于由三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上，或位于由三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。域內(nèi)。由圖由圖712可知，在三向應(yīng)力形狀下，最大和最小正應(yīng)可知，在三向應(yīng)力形狀下，最大和最小正應(yīng)力分別為最大和最小主應(yīng)力，即力分別為最大和最小主應(yīng)力，即 1max3min77 而最大切應(yīng)力為 231max78 最大切應(yīng)力位于1和3

33、均成45的截面上。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 222213312321maxmaxmax,式77、式78也適用于三向應(yīng)力形狀的兩種特殊情況:二向應(yīng)力形狀及單向應(yīng)力形狀。由圖712還可以看出，分別平行于1、2和3三組斜截面上的最大切應(yīng)力為 79 過一點(diǎn)的一切斜截面上的切應(yīng)力之最大值就是上述三個(gè)切應(yīng)力中的最大值，即max=(1-3)/2。平面應(yīng)力形狀是三向應(yīng)力形狀的特殊情況，因此計(jì)算最大切應(yīng)力時(shí)應(yīng)該在三向應(yīng)力形狀下思索，即應(yīng)該根據(jù)式78來計(jì)算。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例75受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力形狀如圖受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力形狀如圖713a所示，應(yīng)力單位是所示，應(yīng)力單位是MPa。1求主應(yīng)力。

34、求主應(yīng)力。2求最大切應(yīng)力。求最大切應(yīng)力。 圖713 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 解1主應(yīng)力。這是一個(gè)三向應(yīng)力形狀，可以看出左、右面就是一對(duì)主平面，對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力=50MPa就是一個(gè)主應(yīng)力。其他的應(yīng)力構(gòu)成一個(gè)平面應(yīng)力形狀，左視圖如圖713b所示。根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出:x=30MPa，y=-20MPa，xy=-40MPa。 MPa242MPa252402203022030222222.)()()()(minmax xyyxyxMPa,2 .521MPa,502MPa2 .423第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2最大切應(yīng)力。 MPa2 .472)2 .42(2 .52231max第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)

35、度理論 7.5廣義胡克定律廣義胡克定律1.廣義胡克定律廣義胡克定律前幾章引見了軸向拉伸或緊縮和純剪切前幾章引見了軸向拉伸或緊縮和純剪切時(shí)的胡克定律。時(shí)的胡克定律。 軸向拉壓時(shí)軸向拉壓時(shí): E或 E/a 橫向線應(yīng)變?yōu)?E/ b 純剪切時(shí): G或 G/c 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖714 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 實(shí)際及實(shí)驗(yàn)均闡明，對(duì)于延續(xù)均質(zhì)各向同性小變形線彈性資料，正應(yīng)力不會(huì)引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會(huì)引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦合。于是，就可以利用a、b、c三式求出各應(yīng)力分量各自對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，然后再進(jìn)展疊加。例如，x、y和z分別單獨(dú)作用時(shí)在x方向引起的線應(yīng)變分別為x/E、-(y/

36、E)和-(z/E)，將這三項(xiàng)疊加即得:x=x-y+z)/E，同理可以求出y和z。經(jīng)整理后即得 (E1(E1(E1yxzzxzyyzyxx710 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 對(duì)于切應(yīng)變和切應(yīng)力之間的關(guān)系，依然是式c所表示的關(guān)系，且與正應(yīng)力分量無關(guān)。由此可得，在xy、yz和zx三個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)變分量為 GxyxyGyzyzGzxzx(7-11)式710、式711稱為廣義胡克定律。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖715 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 假設(shè)單元體處于平面應(yīng)力形狀，即有z=0，如圖715所示，可得二向應(yīng)力形狀下應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系式: xyxyyyxxG1E1E1xy）（）（712 式71

37、2稱為二向應(yīng)力形狀下的胡克定律。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系當(dāng)單元體的周圍六個(gè)面都是主平面時(shí)，取當(dāng)單元體的周圍六個(gè)面都是主平面時(shí)，取x、y、z的方的方向分別與向分別與1、2和和3三個(gè)主應(yīng)力的方向一致，這時(shí)三個(gè)主應(yīng)力的方向一致，這時(shí)有有:x=1，y=2，z=3；xy=0，yz=0，zx=0。這時(shí)式。這時(shí)式710、式、式711就轉(zhuǎn)化為就轉(zhuǎn)化為 )(E1)(E1)(E1213331223211(713) , 0 xy, 0yz0zx第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 這種沿三個(gè)主應(yīng)力1、2和3方向的三個(gè)線應(yīng)變1、2和3稱為主應(yīng)變。式713就是復(fù)雜應(yīng)力形狀下主應(yīng)力

38、和主應(yīng)變之間的關(guān)系，它是以主應(yīng)力表示的廣義胡克定律?？梢宰C明，由式713求出的主應(yīng)變滿足關(guān)系123，即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。并且，假設(shè)10，由于1/2，那么 0）（13211maxE714 即最大拉應(yīng)變發(fā)生在最大拉應(yīng)力方位。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3.體積變化與應(yīng)力之間的關(guān)系體積變化與應(yīng)力之間的關(guān)系圖圖716所示平行六面體的六個(gè)面都是主平面，邊長(zhǎng)分所示平行六面體的六個(gè)面都是主平面，邊長(zhǎng)分別是別是dx、dy、dz。變形前六面體體積為。變形前六面體體積為 V=dx dy dz 變形后六面體的體積為 zyxzzyyxxVddd111 dddddd3213211展開上式

39、，并略去高階微量得 zyxVddd13211）（第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖716第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 單位體積的體積改動(dòng)量為 321321121EVVV715 上式可以寫成 kEm3213321716 稱 為 體 應(yīng) 變 ； 213 Ek稱 為 體 積 彈 性 模 量 ；3321m是三個(gè)主應(yīng)力的平均值。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例76直徑為直徑為d=20mm的實(shí)心軸見圖的實(shí)心軸見圖717(a)，軸的兩端加扭力矩軸的兩端加扭力矩Me=126Nm，在軸的外表上某點(diǎn)，在軸的外表上某點(diǎn)A處用處用應(yīng)變儀測(cè)出與軸線成應(yīng)變儀測(cè)出與軸線成-45方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變=510-4，求該圓，求該

40、圓軸資料的切變模量軸資料的切變模量G。 解圓軸改動(dòng)后，從軸外表解圓軸改動(dòng)后，從軸外表A處取出純剪切微體如圖處取出純剪切微體如圖717(b)所示。由例所示。由例74得得 minmaxo450第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 由此作出主應(yīng)力單元體如圖717(c)。故A點(diǎn)處測(cè)得-45方向的應(yīng)變即是主應(yīng)變1=510-4，主單元體的主應(yīng)力分別是1=xy，2=0，3=-xy，其中 PePxyWMWT由廣義胡克定律，得 PeWMEE11E1311）（第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 又由于 ，那么 ）（12EGPeWMG211所以 GPa2 .80MPa1002. 8201610521012616224343311dM

41、WMGePe第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖717第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 例例77在一個(gè)體積比較大的鋼塊上有一個(gè)直徑為在一個(gè)體積比較大的鋼塊上有一個(gè)直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一個(gè)直徑為的凹座，凹座內(nèi)放置一個(gè)直徑為50mm的鋼制圓柱的鋼制圓柱見圖見圖718(a)，圓柱遭到，圓柱遭到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，知塊不變形，知E=200GPa，=0.3。試求該圓柱一點(diǎn)處的主。試求該圓柱一點(diǎn)處的主應(yīng)力。應(yīng)力。解圓柱體橫截面上的壓應(yīng)力為解圓柱體橫截面上的壓應(yīng)力為 a223MP153)m105(4N10300AF在軸向緊縮下，圓柱將產(chǎn)生橫向膨脹。在它脹到塞滿凹

42、座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p見圖718(b)。在圓柱體內(nèi)任取一點(diǎn)，可以證明該點(diǎn)所受的徑向壓應(yīng)力和環(huán)向壓應(yīng)力相等，即 p 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 又由于假設(shè)鋼塊不變形，所以柱體在徑向只能發(fā)生由于塞滿凹座而引起的應(yīng)變，其數(shù)值為 0002. 05cm5cm5.001cm 根據(jù)廣義胡克定律得 0002. 0)10153(1)(16 ppEE由此求出 MPa438.p所以柱體內(nèi)各點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為 MPa43. 821pMPa1533如圖718(c)所示。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 圖718第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.6復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能與畸變能復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能與畸變能 1

43、.復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能復(fù)雜應(yīng)力形狀下的應(yīng)變能單向拉壓時(shí)，假設(shè)應(yīng)力單向拉壓時(shí)，假設(shè)應(yīng)力和應(yīng)變和應(yīng)變之間的關(guān)系是線性的，之間的關(guān)系是線性的，那么根據(jù)功能關(guān)系，應(yīng)變能等于外力對(duì)彈性體做的功，根據(jù)那么根據(jù)功能關(guān)系，應(yīng)變能等于外力對(duì)彈性體做的功，根據(jù)式式219可得，應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為可得，應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為 21v第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 在三向應(yīng)力形狀下，彈性體應(yīng)變能與外力做功在數(shù)值上依然相等，并且只決議于外力和變形的最終數(shù)值，與外力加載次序無關(guān)。假設(shè)單元體的三個(gè)主應(yīng)力都是由零開場(chǎng)按比例增長(zhǎng)而同時(shí)到達(dá)各自的最終值，與三個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)變也將同時(shí)按比例增長(zhǎng)。在1方向，其作用面上的力等于

44、1dy dz見圖716。dx棱邊因三個(gè)主應(yīng)力的共同作用而產(chǎn)生的線應(yīng)變?yōu)?dx。由于力和變形是按比例同時(shí)增長(zhǎng)的，因此該面上作用力做功為 zyxddd2111。同理，在2和3方向上完成的功分別是dxdydz2221和 dxdydz3321 。第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 把這三部分的功相加就得到單元體內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能為 zyxVdd)d(21332211717 將式717除以單元體的體積V=dx dy dz，可得應(yīng)變能密度為 )221212121133221232221332211（Ev718第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.畸變能密度畸變能密度普通情況下，單元體變形時(shí)既有體積改動(dòng)，也有外形普通情況下，

45、單元體變形時(shí)既有體積改動(dòng)，也有外形改動(dòng)。對(duì)應(yīng)地，應(yīng)變能密度也可以看成由兩部分構(gòu)成改動(dòng)。對(duì)應(yīng)地，應(yīng)變能密度也可以看成由兩部分構(gòu)成:因因體積變化而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為體積應(yīng)變能密度，用體積變化而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為體積應(yīng)變能密度，用V表示。體積變化是指單元體的棱邊變形相等，變形后仍表示。體積變化是指單元體的棱邊變形相等，變形后仍為正方體，只是體積發(fā)生變化而外形不變。為正方體，只是體積發(fā)生變化而外形不變。單元體體積單元體體積不變，但由正方體變?yōu)殚L(zhǎng)方體而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為不變，但由正方體變?yōu)殚L(zhǎng)方體而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度，稱為畸變能密度，用畸變能密度，用d表示。于是有表示。于是有 dVvvva 第7

46、章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 以3321m代替三個(gè)主應(yīng)力，那么三個(gè)棱邊變形相同，所以單元體只有體積變化而形狀不變。則根據(jù)公式（7-18）得到的就是體積應(yīng)變能密度 23212121mmmmmmmmVv由廣義胡克定律知 mmmmmEEEE21)(將上式代入式b得 23212)(6212)21 (3EEvmV(b)(c)第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 將式c和式718同時(shí)代入式a，經(jīng)過整理即得到 21322221133221232221361)(31EEvd(7-19)上式將用來建立復(fù)雜應(yīng)力形狀下的強(qiáng)度條件。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 7.7強(qiáng)度實(shí)際概述強(qiáng)度實(shí)際概述1.強(qiáng)度實(shí)際概述強(qiáng)度實(shí)際概述 1)資料的破

47、壞方式資料的破壞方式在強(qiáng)度問題中，失效或破壞方式大致可在強(qiáng)度問題中，失效或破壞方式大致可以分為兩種，即脆性斷裂和塑性屈服。脆性以分為兩種，即脆性斷裂和塑性屈服。脆性斷裂是指在外力作用下，由于應(yīng)力過大而產(chǎn)斷裂是指在外力作用下，由于應(yīng)力過大而產(chǎn)生裂痕并導(dǎo)致斷裂，例如鑄鐵在拉伸和改動(dòng)生裂痕并導(dǎo)致斷裂，例如鑄鐵在拉伸和改動(dòng)時(shí)的破壞屬于脆性斷裂。這種破壞的特點(diǎn)是時(shí)的破壞屬于脆性斷裂。這種破壞的特點(diǎn)是在沒有明顯塑性變形的情況下忽然發(fā)生斷裂，在沒有明顯塑性變形的情況下忽然發(fā)生斷裂，斷裂發(fā)生在最大正應(yīng)力的作用面上。塑性屈斷裂發(fā)生在最大正應(yīng)力的作用面上。塑性屈服是指在構(gòu)件上出現(xiàn)顯著的塑性變形，例如服是指在構(gòu)件上

48、出現(xiàn)顯著的塑性變形，例如低碳鋼在拉伸和改動(dòng)時(shí)的屈服失效。資料無低碳鋼在拉伸和改動(dòng)時(shí)的屈服失效。資料無論出現(xiàn)脆性斷裂或塑性屈服，構(gòu)件都會(huì)喪失論出現(xiàn)脆性斷裂或塑性屈服，構(gòu)件都會(huì)喪失正常的任務(wù)才干。正常的任務(wù)才干。第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2)簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀強(qiáng)度條件在前面幾章中，我們?cè)诟鞲咀冃螐?qiáng)度分析中，建立了相應(yīng)的強(qiáng)度條件，它們可以概括為 numax或 nu max其中:n是平安系數(shù)，極限應(yīng)力u或u是經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)定出來的。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3)復(fù)雜應(yīng)力形狀強(qiáng)度實(shí)際在復(fù)雜應(yīng)力形狀下，1、2和3的比值可以有無數(shù)多種組合方式，即使對(duì)于同一種資料，在不同的主應(yīng)力比值下，資料的失效應(yīng)力值也各不一

49、樣。例如三向等拉時(shí)，在很小的應(yīng)力數(shù)值下資料就會(huì)失效；三向等壓靜水壓力時(shí)，應(yīng)力數(shù)值到達(dá)很大時(shí)資料都不會(huì)失效。所以根本不能夠?qū)γ恳环N主應(yīng)力比值，一一經(jīng)過實(shí)驗(yàn)來測(cè)定資料破壞時(shí)的極限應(yīng)力。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力形狀，普通是根據(jù)部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)過推理、分析來建立失效準(zhǔn)那么。即將簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀看成復(fù)雜應(yīng)力形狀的特殊情況，利用簡(jiǎn)單應(yīng)力形狀下實(shí)驗(yàn)得到的資料破壞時(shí)的極限應(yīng)力，根據(jù)資料的破壞規(guī)律，尋覓同一種失效方式的共同要素，經(jīng)過推理來建立復(fù)雜應(yīng)力形狀下資料的破壞準(zhǔn)那么和強(qiáng)度條件。于是對(duì)資料在不同應(yīng)力形狀下失效的共同緣由提出了各種不同的假說，來推測(cè)資料失效的緣由。這類假說稱之為強(qiáng)度實(shí)際。強(qiáng)度實(shí)際

50、既然是推測(cè)強(qiáng)度失效的一些假說，它正確與否，適用于什么情況，必需由消費(fèi)實(shí)際來檢驗(yàn)。經(jīng)常是適用于某種資料的強(qiáng)度實(shí)際，并不一定適用于另一種資料；在某種條件下適用的實(shí)際，并不一定適用于另一種條件。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 資料的強(qiáng)度失效可以分為脆性斷裂和塑性屈服兩種方式，相應(yīng)的強(qiáng)度實(shí)際也分為兩類，一類是解釋資料脆性斷裂失效的強(qiáng)度實(shí)際，另一類是解釋資料塑性屈服失效的強(qiáng)度實(shí)際。下面引見四種常用的強(qiáng)度實(shí)際,這些都是在常溫靜載下，適用于均勻、延續(xù)、各向同性資料的強(qiáng)度實(shí)際。當(dāng)然，強(qiáng)度實(shí)際遠(yuǎn)不止這幾種,而且，這幾種強(qiáng)度實(shí)際遠(yuǎn)不能處理一切強(qiáng)度問題。隨著科學(xué)技術(shù)的開展和新資料的不斷出現(xiàn)，曾經(jīng)出現(xiàn)了一些新的強(qiáng)度實(shí)際

51、，而且必將出現(xiàn)更多新的強(qiáng)度實(shí)際。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 2.最大拉應(yīng)力實(shí)際第一強(qiáng)度實(shí)際最大拉應(yīng)力實(shí)際第一強(qiáng)度實(shí)際這一實(shí)際以為最大拉應(yīng)力是引起斷裂失效的主要要素。這一實(shí)際以為最大拉應(yīng)力是引起斷裂失效的主要要素。即以為無論是什么應(yīng)力形狀，只需最大拉應(yīng)力到達(dá)與資料即以為無論是什么應(yīng)力形狀，只需最大拉應(yīng)力到達(dá)與資料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生斷裂失效。既然該性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生斷裂失效。既然該實(shí)際以為斷裂失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向?qū)嶋H以為斷裂失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向拉伸實(shí)驗(yàn)建立斷裂準(zhǔn)那么，得到斷裂準(zhǔn)那么為拉伸實(shí)驗(yàn)建立斷裂準(zhǔn)那么，得到斷裂準(zhǔn)那么為 b1

52、將極限應(yīng)力b除以平安要素得到許用應(yīng)力，所以第一強(qiáng)度實(shí)際的強(qiáng)度條件為 (7-20)1第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 討論:第一強(qiáng)度實(shí)際根本上能反映脆性資料失效的實(shí)踐情況，適用于鑄鐵、磚石、陶瓷、玻璃等脆性資料有拉應(yīng)力存在的情況，當(dāng)一點(diǎn)在任何截面上都沒有拉應(yīng)力時(shí)，該實(shí)際就不適用。脆性資料改動(dòng)也是沿拉應(yīng)力最大的斜截面發(fā)生斷裂，與此實(shí)際相符合。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 3.最大拉應(yīng)變實(shí)際第二強(qiáng)度實(shí)際最大拉應(yīng)變實(shí)際第二強(qiáng)度實(shí)際這一實(shí)際以為最大拉應(yīng)變是引起斷裂的主要要素。即這一實(shí)際以為最大拉應(yīng)變是引起斷裂的主要要素。即以為無論什么應(yīng)力形狀，只需最大拉應(yīng)變以為無論什么應(yīng)力形狀，只需最大拉應(yīng)變1到達(dá)與資料性到

53、達(dá)與資料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生斷裂失效。既然該實(shí)質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生斷裂失效。既然該實(shí)際以為斷裂失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)際以為斷裂失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力形狀的最大拉應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來建立斷裂準(zhǔn)那么，得到力形狀的最大拉應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來建立斷裂準(zhǔn)那么，得到斷裂準(zhǔn)那么為斷裂準(zhǔn)那么為 Eb1利用廣義胡克定律得到 )(13211E(a)第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 將上式代入式a就得到斷裂準(zhǔn)那么為 b321)(將極限應(yīng)力b除以平安要素得到許用應(yīng)力，所以第二強(qiáng)度實(shí)際的強(qiáng)度條件為 )(321 第二強(qiáng)度實(shí)際適用于鑄鐵在拉壓二向應(yīng)力形狀，且壓應(yīng)力較大的情況

54、；適用于石料，混凝土等脆性資料的單向緊縮。在普通情況下，第二強(qiáng)度實(shí)際并不比第一強(qiáng)度實(shí)際更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 4.最大切應(yīng)力實(shí)際第三強(qiáng)度實(shí)際最大切應(yīng)力實(shí)際第三強(qiáng)度實(shí)際這一實(shí)際以為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要要素。即這一實(shí)際以為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要要素。即以為無論什么應(yīng)力形狀，只需最大切應(yīng)力以為無論什么應(yīng)力形狀，只需最大切應(yīng)力max到達(dá)與資料到達(dá)與資料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生屈服失效。既然該性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，資料就發(fā)生屈服失效。既然該實(shí)際以為屈服失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向?qū)嶋H以為屈服失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力形狀的最大切應(yīng)力和

55、實(shí)驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)那么為應(yīng)力形狀的最大切應(yīng)力和實(shí)驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)那么為 umaxb 根據(jù)式78知 231maxc 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 在單向應(yīng)力形狀下:2sud 將式c、d代入式b就得到屈服準(zhǔn)那么為 s31724 將極限應(yīng)力s除以平安要素得到許用應(yīng)力，所以第三強(qiáng)度實(shí)際的強(qiáng)度條件為 31725 實(shí)驗(yàn)闡明，第三強(qiáng)度實(shí)際與有關(guān)塑性資料的許多實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較接近，結(jié)果偏于平安。由于其方式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，因此運(yùn)用相當(dāng)廣泛。 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 5.畸變能密度實(shí)際第四強(qiáng)度實(shí)際 畸變能密度實(shí)際以為畸變能密度是引起屈服的主要要素。即以為無論什么應(yīng)力形狀，只需畸變能密度d到達(dá)與資料性質(zhì)有關(guān)的某一

56、極限值時(shí)，資料就發(fā)生屈服失效。既然該實(shí)際以為屈服失效與應(yīng)力形狀無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力形狀的畸變能密度和實(shí)驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)那么為 du213232221)()()(61vEe 在單向應(yīng)力形狀下: 2212121313161sEEEvdu)(f 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 將式f代入式e，整理后就得到屈服準(zhǔn)那么為 s213232221)()()(21726 將極限應(yīng)力s除以平安要素得到許用應(yīng)力，所以第四強(qiáng)度實(shí)際的強(qiáng)度條件為 )()()(21213232221727 第7章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論 6.強(qiáng)度條件的一致表達(dá)式強(qiáng)度條件的一致表達(dá)式上面所述的四種強(qiáng)度實(shí)際可以用一個(gè)一致的表達(dá)式表上面所述的四種強(qiáng)度實(shí)際可以用一個(gè)一致的表達(dá)式表示為示為 ri728 式中ri稱為相當(dāng)應(yīng)力，它并不是實(shí)踐存在的應(yīng)力，而是按照強(qiáng)度實(shí)際得出的復(fù)雜應(yīng)力形狀下三個(gè)主應(yīng)力按照一定方式的組合值，相當(dāng)于把復(fù)雜應(yīng)力形狀轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度相當(dāng)?shù)膯蜗驊?yīng)力形狀，然后建