隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)性

1、1第四節(jié)第四節(jié) 2稱稱)E)(E(EYYXX 為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量X和和Y的的協(xié)協(xié)方方差差，記記為為),(CovYX。 對(duì)隨機(jī)向量來說，除了研究每個(gè)分量的數(shù)學(xué)期望對(duì)隨機(jī)向量來說，除了研究每個(gè)分量的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還希望知道分量之間的相關(guān)程度，因此和方差以外，還希望知道分量之間的相關(guān)程度，因此引進(jìn)引進(jìn)協(xié)方差協(xié)方差和和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)這兩個(gè)概念。這兩個(gè)概念。定義定義計(jì)算公式：計(jì)算公式： )(E)(E)(E),(CovYXXYYX 一、協(xié)方差的概念及其性質(zhì)一、協(xié)方差的概念及其性質(zhì)其中其中 連續(xù)型連續(xù)型；離散型離散型)( dd),()( )(E-yxyxfxypyxXYijijji3)E)(E(E

2、),(CovYYXXYX 協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)：1. 1. 對(duì)稱性：對(duì)稱性： ),(Cov),(CovXYYX )(E)(E)(EYXXY 2. 2. 線性線性性：性： ),(Cov),(CovYXaYaX ),(Cov),(Cov),(Cov2121YXYXYXX 3. 3. 若若X和和Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 0),(Cov YX因?yàn)橐驗(yàn)閄和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立)(E)(E)(EYXXY 注意注意：反之未必成立。：反之未必成立。44. 4. ),(Cov2)(D)(D)(DYXYXYX 類似地有類似地有. ),(Cov2)(D)(D)(DYXYXYX 2)(EE)(DYXYXYX

3、2)E()E(EYYXX )E)(E(E2)E(E)E(E22YYXXYYXX ，),cov(2)(D)(DYXYX )E)(E(2)E()E(E22YYXXYYXX 推廣：推廣：),(Cov2)(DD11jijiniiniiXXXX 因此，若因此，若X1,X2, ,Xn兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立,，則有，則有 niiniiXX11)(DD5 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互間的相互間的關(guān)系，但它還受關(guān)系，但它還受X與與Y本身度量單位的影響本身度量單位的影響. 例如：例如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 為了消除量綱的影響，下面提出隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)為了消

4、除量綱的影響，下面提出隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化的概念化的概念 .我我們們把把)(D)(EXXXX 稱稱為為X的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化隨隨機(jī)機(jī)變變量量. . 可以驗(yàn)證，可以驗(yàn)證， ,0)(E X.1)(D X標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量消除了量綱的影響標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量消除了量綱的影響。 二、相關(guān)系數(shù)的概念及其性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的概念及其性質(zhì)6)(D)(EXXXX 將將標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量 X與與 Y的的 定義定義)(D)(EYYYY 設(shè)設(shè) D(X)0, D(Y)0, 的的協(xié)協(xié)方方差差),(Cov YX, ,稱稱為為X與與Y的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù), , 記記為為XY , ,即即 ),(Cov YXXY 計(jì)算公式：計(jì)算公式：)(D)(D

5、),(CovYXYXXY 7 設(shè)設(shè)( (X, ,Y ) )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 例例1 1解解1 XY2012.01.04.03.0.),(CovXYYX 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)及及求求協(xié)協(xié)方方差差 iiipxX)(E，1 . 1 ijijjipyxXY )(E，5 . 03 . 024 . 001 . 0)1(2 . 00 3.07.0先求出邊緣分布，先求出邊緣分布， jjjpyY)(E，4 . 0 iiipxX22)(E，1 . 3 22)(E)(E)(D XXX ，89. 11 . 11 . 32 jjjpyY22)(E，4 . 0 ,24. 0)(D Y6.04.08 iiipxX)

6、(E，1 . 1 ijijjipyxXY )(E，5 . 03 . 024 . 001 . 0)1(2 . 00 jjjpyY)(E，4 . 0 iiipxX22)(E，1 . 3 22)(E)(E)(DXXX ，89. 11 . 11 . 32 jjjpyY22)(E，4 . 0 ,24. 0)(D Y)(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，06. 0 )(D)(D),(CovYXYXXY .089. 024. 089. 106. 0 9 設(shè)設(shè)( (X, ,Y ) )的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 例例2 2解解.),(CovXYYX 及及相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)求求協(xié)協(xié)方方差差先求出邊緣密

7、度，先求出邊緣密度，,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxf yyxfxfXd),()( xyxfyfYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220 ,3/ yyyyxyOxy3 xy2 23110 xxxfXd)()(E 10d2xxx，32 xxfxXd)()(E22 102d2xxx，21 22)(E)(E)(DXXX ，181 類似地，類似地，,35)(E Y,619)(E2 Y.187)(D Y yyxfxfXd),()( xyxfyfYd),()(,else , 010 ,2 xx,else , 0 32 ,3/2220

8、,3/ yyyy11,32)(E X，181)(D X,35)(E Y.187)(D Y yxyxfxyXYdd),()(Eyxyxxxd2d3210 ，45 )(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，365 ,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 )(D)(D),(CovYXYXXY 725 .9449. 0 12注：實(shí)際上注：實(shí)際上, ,本題不必求邊緣密度本題不必求邊緣密度, ,可以直接用以下公式計(jì)算可以直接用以下公式計(jì)算E( (X) )、E( (Y ) )等等. . yxyxxfXdd),()(E yxyxyfYdd),()(E 1032

9、d2dxxyxx，32 1032d2dxxyyx,35 103222d2d)(ExxyyxY.619 實(shí)際上實(shí)際上, ,第一種方法限定了求積分的次序第一種方法限定了求積分的次序, ,有時(shí)不方便有時(shí)不方便. .,else , 032, 10 ,2),( xyxxyxfxyOxy3 231xy2 131| XY 性質(zhì)性質(zhì)1 1證證),(Cov2)(D)(D)(D YXYXYXXY 22 ，0 ，11 XY .1| XY 即即得得性質(zhì)性質(zhì)2若若bXaY ，則則1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 證證, )(E)(E2XbXa )0( b相關(guān)系數(shù)的性

10、質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：14性質(zhì)性質(zhì)2若若bXaY ，則則1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 證證, )(E)(E2XbXa )(D)(D),(CovYXYXXY )(D)(D)(E )(E)(EYXYXXY )(D)(D)(E)(E)(E)(E22XbXXbaXXbXa bXXXb )(D)(E)(E22 0 10 1 bbbb)0( b15),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分別別服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布與與已已知知相相互互獨(dú)獨(dú)立立，與與，知知由由YXXY0)1( 例例3 3解解的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度；求求若若),(, 0)1(YX

11、XY .)(D),(E,23,21)2(XZXYZZYXZ 和和求求若若 )()(),(yfxfyxfYX 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度為為所所以以),(YXee22224232)1(241231 yx .241e3218)1(22yx 16),4 , 0()3 , 1(22NNYX和和分分別別服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布與與已已知知例例3 3解解.)(D),(E,23,21)2(XZXYZZYXZ 和和求求若若 )23(E)(E)2(YXZ ，31021131 )(E21)(E31YX )23(Cov2)(D41)(D91)23(D)(DYXYXYXZ， )(D)(D2131)23(CovYXYXXY

12、，）（143216122 .3 17)23,(Cov),(CovYXXZX .0)(D)(D),(Cov ZXZXXZ 所所以以)2,(Cov)3,(CovYXXX ),(Cov21),(Cov31YXXX )6(21931 ),(Cov21)(D31YXX ,0 18 相關(guān)系數(shù)是隨機(jī)變量之間相關(guān)系數(shù)是隨機(jī)變量之間線性關(guān)系線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)強(qiáng)弱的一個(gè)度量度量(參見如下的示意圖參見如下的示意圖).1 XY XY1 XY XY10 XY 01 XY XY| |的值越接近于的值越接近于1, Y與與X的線性相關(guān)程度越高的線性相關(guān)程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y與與X的線性相關(guān)程度越弱

13、的線性相關(guān)程度越弱. 三、隨機(jī)變量的線性相關(guān)性三、隨機(jī)變量的線性相關(guān)性19定義定義如如果果0 XY ，稱稱X與與Y不不相相關(guān)關(guān)。 下列事實(shí)彼此等價(jià)：下列事實(shí)彼此等價(jià)： (1) X與與Y不不相相關(guān)關(guān)( (即即0 XY ) )； ；）（0),(Cov 2 YX；）（)(E)(E)(E 3YXXY . )(D)(D)(D 4YXYX ）（若若X與與Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則X與與Y 不相關(guān)。不相關(guān)。 定理定理注意：注意：(2) (2) 在在正態(tài)分布正態(tài)分布的場(chǎng)合的場(chǎng)合, ,獨(dú)立性與不相關(guān)性是一致的。獨(dú)立性與不相關(guān)性是一致的。 (1) (1) 逆命題不成立逆命題不成立, ,即即X與與Y 不相關(guān)時(shí)不相

14、關(guān)時(shí), ,不一定獨(dú)立不一定獨(dú)立. . 20二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. ),(),(22212 1NYX),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx前面已證前面已證: : X, ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.0 可以計(jì)算得可以計(jì)算得. XY 于是，對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量于是，對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量( (X, ,Y ) )來說來說, , X和和Y 不相關(guān)與不相關(guān)與X和和Y 相互獨(dú)立是等價(jià)的相互獨(dú)立是等價(jià)的. .21例例4 4 設(shè)設(shè)( X,Y )的分布律為的分布律為XY12 1 04/ 11244/ 104/ 1004/ 12/ 12/ 14/ 14/ 14/ 14/

15、 1,0)(E X,2/5)(E Y,0)(E XY所以所以,0),(Cov YX.0 XY 于于是是這表示這表示X, ,Y 不存在線性關(guān)系不存在線性關(guān)系. .但但, ,1P2P01, 2P YXYX知知X, ,Y 不獨(dú)立不獨(dú)立. .事實(shí)上事實(shí)上, , X, ,Y 具有非線性關(guān)系具有非線性關(guān)系: :.2XY 22設(shè)設(shè)A和和B是是試試驗(yàn)驗(yàn)E的的兩兩個(gè)個(gè)事事件件, ,且且0)(P A, , 0)(P B, ,并并定定義義隨隨機(jī)機(jī)變變量量X, ,Y如如下下： 不發(fā)生不發(fā)生若若發(fā)生發(fā)生若若AAX , 0 , 1 不發(fā)生不發(fā)生若若發(fā)生發(fā)生若若BBY , 0 , 1證證明明若若0 XY , , 則則X和和

16、Y必必定定相相互互獨(dú)獨(dú)立立 證證，)(P)(EAX ，)(P)(EBY ，)(P)(EABXY 因因?yàn)闉? XY , , 即即)(E)(E)(EYXXY , , 所所以以)(P)(P)(PBAAB , , 即即A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 從從而而A和和B、A與與B、A與與B也也相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,于于是是 例例5 523即即A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, , 從從而而A和和B、A與與B、A與與B也也相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,于于是是 1, 1P yX)(P)(P)(PBAAB ，1P1P yX0, 1P yX)(P)(P)(PBABA ，0P1P yX1, 0P yX)(P)(P)(PBABA

17、，1P0P yX0, 0P yX)(P)(P)(PBABA ，0P0P yX故故X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 所所以以)(P)(P)(PBAAB , , 24x1 11 y1即即( (X, ,Y) )服從單位圓服從單位圓1: ),(D22 yxyx上的均勻上的均勻分布分布. .設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量( (X, ,Y) )的概率密度為的概率密度為 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf 試驗(yàn)證試驗(yàn)證X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的, ,但但X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. . 解解邊緣密度為邊緣密度為 yyxfxfXd),()( 2211d1xxy ,122 x 1 x21 xy 21

18、 xy 例例6 625 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf 邊緣密度為邊緣密度為 ,12)(2 xxfX 1 x同理同理, ,12)(2 yyfY 1 y，)()(),(yfxfyxfYX 即即X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立. . ，0d12)(E112 xxxX ( (奇函數(shù)奇函數(shù)) ) 同理同理, ,.0)(E Y26 其其他他 , 01 ,1),(22yxyxf ，0)( XE.0)( YE 122dd1)(EyxyxxyXY 10320ddcossin1rr ，0 ( (或利用對(duì)稱性或利用對(duì)稱性) ) 所以所以，0)(E)(E)(E),(Cov YXXYYX即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān).

19、.x1 11 y127練習(xí)：練習(xí)：P131 習(xí)題四習(xí)題四28補(bǔ)充題：補(bǔ)充題：若若,dcYVbaXU 試試證證U,V的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)等等于于X,Y 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)，其其中中0 ac 1.1.2.2.設(shè)設(shè)( (X, ,Y ) )的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 .),(CovXYYX 及及相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)求求協(xié)協(xié)方方差差,else , 0 10, 20 ,23),(2 yxxyyxf3.3.設(shè)設(shè)A,B是二隨機(jī)事件是二隨機(jī)事件, 不不發(fā)發(fā)生生若若發(fā)發(fā)生生若若AAX, 1, 1 不不發(fā)發(fā)生生若若發(fā)發(fā)生生若若BBY, 1, 1試證明試證明X和和Y 不相關(guān)的充分必要條件是不相關(guān)的充分必要條件是A與與

20、B獨(dú)立獨(dú)立.并定義隨機(jī)變量并定義隨機(jī)變量X, ,Y如下：如下： 29若若,dcYVbaXU 試試證證 U,V 的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)等等于于 X,Y 的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)，其其中中0 ac ，bXaU )(E)(E)E)(E(E),(CovVVUUVU YcXaVUUVDD),(Cov ，XaUD)(D2 證證，dYcV )(E)(E，)(D)(D2YcV )E()E(EYYcXXa , ),(CovYXac XYacac .XY 補(bǔ)補(bǔ)1 130設(shè)設(shè)A,B是二隨機(jī)事件是二隨機(jī)事件, 不不發(fā)發(fā)生生若若發(fā)發(fā)生生若若AAX, 1, 1 不不發(fā)發(fā)生生若若發(fā)發(fā)生生若若BBY, 1, 1試證明試證明X和和Y

21、 不相關(guān)的充分必要條件是不相關(guān)的充分必要條件是A與與B獨(dú)立獨(dú)立.記記，)(P),(P),(P1221ABpBpAp 則則，12)1)(1(1)(E111 pppX,12)1)(1(1)(E222 pppYXY的可能取值為的可能取值為- -1,1,并且并且1, 1P1, 1P1P YXYXXY)(P)(PBAAB )(P)(P)(P1)(PABBAAB 并定義隨機(jī)變量并定義隨機(jī)變量X, ,Y如下：如下： 證證)(P)(PBAAB ，211221ppp 補(bǔ)補(bǔ)2 231.21P1221pppXY 所以所以)2() 1()21 (1)(E12212112ppppppXY ,12242112 ppp)(E)(E)(E),(CovYXXYYX ，211244ppp 因此因此0),(Cov YX2112ppp )(P)(P)(PBAAB 即即X和和Y 不相關(guān)的充分必要條件是不相關(guān)的充分必要條件是A與與B獨(dú)立獨(dú)立.，2112211PpppXY ，12)(E1 pX,12)(E2 pY) 12