計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)第二章非線性方程組的解法

1、計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 1計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 2第二章第二章 非線性方程非線性方程( (組組) )的常用解法的常用解法計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 3計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 4計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 5計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 610 )( Raninaa max 2/1T)(nnnaaa 10 nnaa計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 7，對于單變量問題的非線性方程，直接迭代法的計(jì)算過對于單變量問題的非線性方程，直接迭代法的計(jì)算過程如圖程如圖1所示。圖上給出的是所示。圖上給出的是P aK a a( )( )和和a 之間的關(guān)系，而不是之間

2、的關(guān)系，而不是K a( ) 和和a之間的關(guān)系之間的關(guān)系計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 8，計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 9計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 10計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 11計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 12計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 13nnTa aKa滿足收斂性滿足收斂性;計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 14計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 151pnnaaaa計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 16計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 17)()(,(1nkjijnnjiiaaak 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 18ln peW計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算

3、固體計(jì)算力學(xué) 1910T)(aKan )( na )( na計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 20計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 21( )(.)aaa100019002aann1108使用修正的牛頓使用修正的牛頓法求解非線性方法求解非線性方程組，雖然程組，雖然每一步迭代所花每一步迭代所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間減費(fèi)的計(jì)算時(shí)間減少了，但迭代過少了，但迭代過程的收斂速度也程的收斂速度也降低了，僅為線降低了，僅為線性斂速。性斂速。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 22搜索辦法搜索辦法在算出 an后，新的近似解由下式給出aaaininni1 （i= 1,2,N）n其中 是大于1的正數(shù)，它稱為過量修正因子過量修

4、正因子。 ( )a()0knnniiiaaa確定確定n的的一維搜索辦法一維搜索辦法。將 看做N 維空間中的搜索方向，我們希望在該方向上找到一個(gè)更好的近似值，即找到一個(gè) 式中的最好的 值。雖然沿這一方向，不能期望求得精確解，但我們可以迭擇因子 (在搜索問題中稱為步長因子步長因子)，使在搜索方向上 的分量為零，即 anaaaininni1nn 上式是一個(gè)關(guān)于上式是一個(gè)關(guān)于 的單變量非線性方程。通常可用一些的單變量非線性方程。通常可用一些 比較簡單的方法來估算出比較簡單的方法來估算出 的大小。的大小。nn計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 23在算出 an后，新的近似解由下式給出1a其中 是大于是大于

5、1的正數(shù)，的正數(shù)，它稱為加速因子它稱為加速因子。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 24計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 25計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 26計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 27111111,0,1,2,nnnnnnnnnnnnaaKaKaaaanKKK計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 28計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 29( )(.)aaa100019002aann61 10 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 30( )(.)aaa100019002aann61 10 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 31 使用某種算法的計(jì)算效率，除了與收斂速度有使用某種算法的計(jì)算

6、效率，除了與收斂速度有關(guān)外，還與每一步迭代所花費(fèi)的計(jì)算量有關(guān)。關(guān)于關(guān)外，還與每一步迭代所花費(fèi)的計(jì)算量有關(guān)。關(guān)于每步的計(jì)算量，牛頓法最大，而修正牛頓法最小。每步的計(jì)算量，牛頓法最大，而修正牛頓法最小。因此在實(shí)際問題的計(jì)算中判斷使用哪種方法效率較因此在實(shí)際問題的計(jì)算中判斷使用哪種方法效率較高，往往需要進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。總的看來，不同的算高，往往需要進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)?？偟目磥?，不同的算法可能適用于不同的問題。選用哪種算法，與所研法可能適用于不同的問題。選用哪種算法，與所研究問題的性質(zhì)究問題的性質(zhì) ( (例如，對線性的偏離程度例如，對線性的偏離程度) )、規(guī)模、規(guī)模 ( (離散的自由度總數(shù)離散的自由度總數(shù))

7、) 以及容許誤差等因素有關(guān)以及容許誤差等因素有關(guān)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 32計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 330 ,),( aaa1T( ,) aKaR計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 3410210 M計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 35計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 36自修正算法自修正算法)(),(1TmmmmaPRKammmaaa1),(mmmaP0 ,),( aaa ) ,(1TRaKam使用這種改進(jìn)使用這種改進(jìn)的算法，對于的算法，對于每一增量步都每一增量步都相當(dāng)于做一次相當(dāng)于做一次修正修正。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 37)()(1TnmmnmnmPRKa

8、nmnmnmaaa11),(mnmnmaP 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 38)()(1TnmnmnmnmPRKanmnmnmnmuaaaa1),(nmnmnmaP 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 39Rimaimijiur uuuRimaimijiur111 Rimaimiiijiarrr111 2212 iimmrrlmimimaau 1 mimimaau 21 11 imimimauu 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 402222()() iiiiimmrrrul212() () iiiiirrrrrlaimimRimaimiuajia)2()(111 0)2(1 Rimimj RKimi1T1)( 0)2( iiirrr imimiPK1T2)( 121111 iimiima)()(1TnmnmnmnmPRKa計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 4102)(121 cbaimim )()(111T11 iia 12T11)()(imiiimub 12T122)()(imiiuc im 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 420 iirr irir 1 im 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)