向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)(二)

1、1重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系. . 可否由可否由 線性表示線性表示 12,s 豎排行變換，豎排行變換， 放末列放末列. 例：判斷向量 T)11 , 1 , 3 , 4(1T)11 , 0 , 3 , 4(2與是否各為向量組TT) 1 , 1 , 1, 2(,)5 , 1, 2 , 1 (21的線性組合,若是，則寫出表示式。解解1212(,)TTTT對(duì)矩陣，施以初等行變換：12442133111051111112440555033409991244011100010000212440111000100001022011100010000易見1

2、2121(,)(,)2,TTTTTrr,211線性表示，可由故且容易看到其表示式為.221112(,)2TTr122(,)3,TTTr122, 故不能由 ， 線性表示3例例7 判斷向量能否由向量組1, 2, 3 , 4線性表出, 若能,求出一組組合系數(shù)將其表示出來.其中1012,0210,1311,1101,30124321解解 設(shè) k11+k22+k33+k44= 則則11022011111320011013A3141rrrr1102201111022220001132342rrrr 11022011110001100000132332( 1)rrrrr 110040110200011000

3、0012rr10106011020001100000容易看到12462課本給出一個(gè)12347343.定義定義3.2.5: 對(duì)于向量組1, 2, , m ,若存在 m個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2, ,km ,使得 k11+k22+kmm=則稱向量組1, 2, , m 線性相關(guān)線性相關(guān)(linear dependence);否則稱向量組線性無關(guān)線性無關(guān)(linear independence)。即即：aaam,21線性無關(guān) 221 10,mmak ak ak若有; 021kkkm必有54.根據(jù)定義根據(jù)定義3.2.5很容易得到下面常用的結(jié)論很容易得到下面常用的結(jié)論:(1)一個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是

4、=; 線性無關(guān)的充分必要條件是.(2)任意一個(gè)包含零向量的向量組必線性相關(guān).(3)兩個(gè)非零向量線性相關(guān)(線性無關(guān))的充分必要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例(不成比例).(4)若向量組中有一部分組線性相關(guān),則向量組必線性相關(guān). (5)若向量組線性無關(guān),則任何部分組必線性無關(guān). (6)若1, 2, , m線性無關(guān),而1,2, ,m,線性相關(guān)，則可由1, 2, , m線性表出. 6例例8 設(shè)向量組1, 2, , m-1 (m2)線性相關(guān),向量組2, 3, , m線性無關(guān),問1能否由向量組2, 3, , m-1線性表示？解 方法一： 因?yàn)?, 3, , m線性無關(guān),由上述結(jié)論(5)知 2, 3, , m-

5、1線性無關(guān) .又已知1, 2, , m-1線性相關(guān) , 再由上述結(jié)論(6)知, 1能由向量組2, 3, , m-1. 7例例8 設(shè)向量組1, 2, , m-1 (m2)線性相關(guān),向量組2, 3, , m線性無關(guān),問1能否由向量組2, 3, , m-1線性表示？解 方法二： 由1, 2, , m-1線性相關(guān)知,存在一組不全為零的數(shù)k1,k2, ,km-1,使得 k11+k22+km-1m-1=.其中必有 k1 0,因?yàn)槿鬹1 =0 ,則k2, ,km-1不全為零,使 k22+k33+km-1m-1=. 成立, 從而2, 3, , m-1 線性相關(guān), 這與已知條件矛盾, 故k1 0,因此有 .11

6、12121mmkkkk83.2.3向量組的線性相關(guān)性的判定向量組的線性相關(guān)性的判定 1.向量組線性相關(guān)的條件向量組線性相關(guān)的條件:設(shè)向量組 ,121111naaa,222122naaa,21nmmmmaaa 它線性相關(guān)還是線性無關(guān),取決于齊次線性方程組02211mmkkk000 221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa即是有非零解還是只有唯一零解.若線性方程組有非零解,則知向量組線性相關(guān),若線性方程組只有唯一零解,則向量組線性無關(guān). 92.定理定理3.2.2: 向量組 ,121111naaa,222122naaa,21nmmmmaaa 線性相關(guān)

7、(無關(guān))的充分必要條件是矩陣12()m 111212122212mmnnnmaaaaaaaaa的秩小于(等于)向量組1,2, m中向量的個(gè)數(shù). 3.推論：推論： n個(gè)n維向量線性相關(guān)(線性無關(guān))的充分必要條件是它們排成的n階行列式的值等于零 (不為零 ).4.定理定理3.2.3: 若n維向量組中向量的個(gè)數(shù)大于n,則該向量組必線性相關(guān). 10例例 基本單位向量組基本單位向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) ,12n 10 E 例例. .判斷判斷 ( , , ) ,( , , ) ,121 21 521 1 1TT 是否線性相關(guān)是否線性相關(guān). 1242131115111A解解:設(shè)設(shè)112233kkkO則則12

8、3( , ,)34 31 11T 124055033099124011000000r = 2 3 向量個(gè)數(shù)，向量個(gè)數(shù)， 123, 線性相關(guān)線性相關(guān) 重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系重要結(jié)論：行變換不改變列向量間的線性關(guān)系. .可否由可否由 線性表示線性表示 1,s 豎排行變換，豎排行變換， 放末列放末列. 是否線性相關(guān)是否線性相關(guān)1,s豎排行變換豎排行變換. 11例例9 9 判斷下列向量組的線性相關(guān)性 解解: : (1) TTT) 2, 5 , 2 , 4(,) 1, 4 , 3 , 2(,0 , 2 , 3, 1321210542233421)(331(2) .)4, 3 , 2 ,

9、 1 (,)14, 7 , 0 , 3(,)2 , 1 , 3 , 0(,4 , 2 , 1, 14321TTTT(3) ,), 1 (,), 1 (, 1323322321TTTcccbbbaaaTddd), 1 (324,其中a,b,c,d各不相同. (4) ,) 1, 0, 3, 1(,)0, 4, 1, 2(,) 1, 4, 3, 2(321TTTTT) 1, 1, 2, 1(,) 1, 0, 0, 3(54(1) 2131432( 1)1 240914003012rrrrr 241240120030914rr400300210421249rr0003002104213434rr因?yàn)閞

10、(A)=3,所以1,2,3線性無關(guān). 12例例9 9 判斷下列向量組的線性相關(guān)性 解解: : (1) TTT) 2, 5 , 2 , 4(,) 1, 4 , 3 , 2(,0 , 2 , 3, 1321(2) .)4, 3 , 2 , 1 (,)14, 7 , 0 , 3(,)2 , 1 , 3 , 0(,4 , 2 , 1, 14321TTTT(3) ,), 1 (,), 1 (, 1323322321TTTcccbbbaaaTddd), 1 (324,其中a,b,c,d各不相同. (4) ,) 1, 0, 3, 1(,)0, 4, 1, 2(,) 1, 4, 3, 2(321TTTTT)

11、1, 1, 2, 1(,) 1, 0, 0, 3(54(2) 41424371220311301)(4321822011103330130114131242rrrrrr100000000333013012423)32()31(rrrr3410310333000100000rr因?yàn)閞(A)=34,所以1,2,3, 4線性相關(guān). 13例例9 9 判斷下列向量組的線性相關(guān)性 解解: : (1) TTT) 2, 5 , 2 , 4(,) 1, 4 , 3 , 2(,0 , 2 , 3, 1321(2) .)4, 3 , 2 , 1 (,)14, 7 , 0 , 3(,)2 , 1 , 3 , 0(,4

12、 , 2 , 1, 14321TTTT(3) ,), 1 (,), 1 (, 1323322321TTTcccbbbaaaTddd), 1 (324,其中a,b,c,d各不相同. (4) ,) 1, 0, 3, 1(,)0, 4, 1, 2(,) 1, 4, 3, 2(321TTTTT) 1, 1, 2, 1(,) 1, 0, 0, 3(54(3) 將四個(gè)向量排成一個(gè)四階行列式，恰是范德蒙行列式,當(dāng)a,b,c,d各不相同時(shí)有333322221111dcbadcbadcbaD 0)()()()()(cdbdadbcacab由推論知向量組1,2,3, 4線性無關(guān). 解解: : (4) 由定理3.2

13、.3知,5個(gè)四維向量必定線性相關(guān). 14例例. .證明：若證明：若 線性無關(guān)線性無關(guān), , 則則 也線性無關(guān)也線性無關(guān) , , , 證證: :設(shè)設(shè) 123()()()kkkO (*)131223()()()kkkkkkO 則則(目標(biāo)目標(biāo): ki = 0), ,而 線性無關(guān)線性無關(guān)131223000kkkkkk 1 0 11 1 0200 1 1方程組只有零方程組只有零解解ki = 0即只有即只有k1=k2=k3=0時(shí)時(shí)(*)式才成立式才成立 .線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)? ,12233441 , 思考：思考：,1234 線性無關(guān)線性無關(guān)1324 (奇數(shù)個(gè)奇數(shù)個(gè)向量時(shí)結(jié)論成立向量時(shí)結(jié)論成立

14、)15例例11 設(shè)四維向量組 ,),(,),(242322212141312111TTaaaaaaaaTaaaa),(343332313線性無關(guān),試證:在每個(gè)向量中添加一個(gè)分量,),aaaaaTaaaaa),(25242322212Taaaaa),(35343332313也線性無關(guān).證證 因?yàn)?321,線性無關(guān),所以相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組0000334224114333223113332222112331221111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa只有零解. 考慮 321,相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0000033522511533422411433322

15、3113332222112331221111xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa,得到加長向量組(3-14)(3-15) 方程組(3-14)的每一個(gè)解都是方程組(3-15)的解.而方程組(3-14)只有零解,所以方程組(3-15)也只有零,故321,線性無關(guān).165.定理定理3.2.4: 若n維向量組1,2, m線性無關(guān), 則在每個(gè)向量中添加m個(gè)分量,得到的n+m維“加長”向量組1, 2, m也線性無關(guān)。 6.定理定理3.2.5: 向量組1,2, m (m2) 線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量向量可被其余向量線性表出.7.定理定理3.2.6: 向量組1,2,

16、m (m2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個(gè)向量都不能被其余向量線性表出.17結(jié)論結(jié)論1 若向量組中有一部分向量若向量組中有一部分向量(稱為部分組稱為部分組)線性線性相關(guān)，相關(guān)， 則整個(gè)向量組線性相關(guān)則整個(gè)向量組線性相關(guān). (記：記：部分相關(guān)部分相關(guān) 整體相關(guān)整體相關(guān)；注：向量組中向量兩兩線性無關(guān)，整個(gè)向量組未注：向量組中向量兩兩線性無關(guān)，整個(gè)向量組未必線性無關(guān)必線性無關(guān). 例例(1,0), (0,1), (1,1). 結(jié)論結(jié)論2 若向量組線性無關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置若向量組線性無關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置添加一些分量后所得高維向量組線性無關(guān)；若向添加一些分量后所得高維向量組線性無關(guān)；若向

17、量組線性相關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置去掉一些量組線性相關(guān)，則每個(gè)向量在相同位置去掉一些分量后所得低維向量組線性相關(guān)分量后所得低維向量組線性相關(guān). . （記：（記：短無關(guān)短無關(guān) 長無關(guān)；長相關(guān)長無關(guān)；長相關(guān) 短相關(guān)）短相關(guān)） 逆否命題：逆否命題：整體無關(guān)整體無關(guān) 部分無關(guān)部分無關(guān))18例例 設(shè)設(shè) 線性無關(guān)線性無關(guān)， 線性相關(guān)線性相關(guān),1s ,s1 證證線性相關(guān)線性相關(guān) 存在不全為存在不全為0的數(shù)的數(shù)k, ki ,使使 k0 (反證可得反證可得)線性無關(guān)線性無關(guān)可由可由 唯一唯一線性表示線性表示. ,1s 1,s 1,s 11sskkkO ()()11ssjkkkk 設(shè)設(shè) ,1111sssskkll

18、 ()()111sssklklO 線性無關(guān)線性無關(guān)則則1,s ki=li(i=1,2,s)即： 由1,2, s線性表示法唯一線性表示法唯一. 19設(shè)向量組設(shè)向量組 線性相關(guān)，線性相關(guān)， 線性無關(guān)線性無關(guān),問問:(1) 能否由能否由 線性表出線性表出? 證明你的結(jié)論；證明你的結(jié)論；(2) 能否由能否由 線性表出線性表出? 證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論.123, 234, 1 23, 4 123, 解解:(1) 線性無關(guān)線性無關(guān), 234, 而而 線性相關(guān)線性相關(guān)123, 能由能由 唯一線性表出唯一線性表出1 23, (2)設(shè)設(shè)4112233 由由(1)12233ll代入上式整理得代入上式整理得41 2221 333()()ll 即即 可由可由 表出表出,4 23, 從而從而 線性相關(guān)線性相關(guān),234, 123, 不能由不能由 線性表出線性表出4 23, 線性無關(guān)線性無關(guān)矛盾矛盾!20(1)a4