參數(shù)估計練習(xí)題20

1、參數(shù)估計練習(xí)題1. 指出下列分布中的參數(shù)，并寫出它的參數(shù)空間:(i)二點分布；(ii) 普哇松分布；(iii)在0,上的均勻分布；(iv)止態(tài)分布N , 2 .解:i P0,1 ； ii0,； iii0,； (iv ),02.設(shè) 1,n是來自二點分布的一個子樣,試求成功概率p的矩法估計量.解:EPP 3.已知母體均勻分布于，之間,試求，的矩法估計量1212得Sn23Sn，2 一 3Sn.第16頁解:Ea02x2 a x dx a-令a_33得 a? 3；5.在密度函數(shù)f xa1 xa,0 x 1中參數(shù)a的極大似然估計量是什么？矩法估計量是什么？解:(1)Lnin” n ” n1 xi1xii

2、10人1iInLn ln1Innln LXi .令i 1nlnXj 0，得1i 1?L1 -nn0ln xii 12由于lnL2n 20 故?l1 n n是極大似然估計1ln xi2a x ,0 xa0,其它i 1a中參數(shù)a的矩法估計量4.對容量為n的子樣，求密度函數(shù)f x; a 由E 1令126.用極大似然法估計幾何分布p1 p k1,k 1,2,中的未知參數(shù)p.解:L ppn 1 pXi，令ln L p2 nxX 1?丄是P的極大似然估計7.設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為f的子樣，試求的極大似然值.ln L12Xi0。得？ 1Xin又n2故?L8設(shè)1, n是取自均勻分布R的母體的一個子樣,其中.試

3、證:的極大似然估計量不止一個，例如n 1,i都是的極大似然估計量.1的密度函數(shù)為X其它X1 x n其它即凡滿足？ x1 xn均為的極大似然估計從而?1滿足此條件，故？是的極大似然估計由于?21,所以也是的極大似然估計由于從而?也是的LM.9.設(shè)解:的密度函數(shù)為f1eXimXj 22 2Xj 0兩邊對數(shù)并分別對2求尋,并令其為0,得似然方程組In Xj，解得In xiIn x經(jīng)驗知2的LM為:lnxi?2In Xjn是取自對數(shù)正態(tài)分布母體的一個子樣，即1n N，試求:的期望值E和方差D的極大似然估計/ In x 21 2 2x e 2 dx 0 x1從而E exp ?2n的子樣；其中有k個白球,

4、10. 一個罐子里裝有黑球和白球，有放回地抽取一個容量為 求罐子里黑球數(shù)和白球數(shù)之比 R的極大似然估計量解:設(shè)罐子里有白球x個,則有黑球Rx個，從而共有R 1x個球,從罐中有放回地抽一個球為白球的概率為：冷 宀，黑球的概率為光.從而抽球為二點分布Rn k.似然方程為0。從而解得R - 1.可k驗證這是R的極大似然估計11.為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升,化驗每升水中大腸桿菌的個數(shù)（一升水中大腸桿菌的個數(shù)服從普哇松分布）,化驗結(jié)果如下:大腸桿菌個數(shù)/升0 123 4 5 6升數(shù)17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使出現(xiàn)上述情況

5、時的概率為最大解:由，設(shè)一升水中大腸桿菌個數(shù)k = e , k 0,1,2,又 E k!.故問題為求的極大似然估計由LXin e Xi!，可得?L .由觀測值代入求設(shè)-1 .故每升水中大腸桿菌的個數(shù)平均為 1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大12.設(shè)是取自二維正態(tài)母體N 0,0, 12的一個子樣,求12, 22和的極大似然估計解:由 L12, 22n12彳 2 空12 12 exp2 12Xi212Xi yi可得似然方程為11 211 22X i212yi222Xi 2iXiyi21 2Xiyi1Xiyi2yi22Xi%將(1),(2)代入得:nXi yiXi由(4)代入(1),(2)得似然估計:13

6、.從四個正態(tài)母體(它們都有同樣的方差2)中,各抽一個容量為n的子樣，第i個子樣的觀測值為1,2, ,n,i1,2,3,4,若四個母體的平均數(shù)分別為a b c, a bc, ab c, a bc,試求 a, b, c和2的極大似然估計解:L a,b,c, 24n112Texp六X1j2 j 1兩邊取對數(shù)后對a,b,c分別求導(dǎo)，令其均為0,即得a4 X1 X2X3X4,1 -4X1X2X3X4 ,1 -4X1X2X4。對2求導(dǎo)代入召,b,c?得2丄4n j 1X1j a?I?14.考慮某種離散分布Pxax,x 0,1,2,，其中對某些x可能有ax0, f有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)i, , n是取自具有這種分布

7、的母體的一個子樣.i證明 的極大似然估計是方程-f一 E的一個根，這里的極大似然方程與矩法方程相同.ii試求為了估計下列分布而需要的極大似然方程的顯式 ，這些分布是普哇松分布、二 項分布.解:(1)證xiaxaxiXjIn Lnaxxi lnnIn fXi對求導(dǎo)得Xinf.又由i 1Xax1 知 fnx axi 1從而EaxXi 1x 1axXi 1ax所以似然方程可寫為E這與矩法方程一致.xex!Xax 其中1x!從而f e故似然方程的顯式為Xax-nf1對二項分布:Pn axx故似然方程的顯式為np.15.設(shè) 1是取自雙參數(shù)指數(shù)分布的一個子樣,密度函數(shù)f X；寸el 1，其中2q,其它,0

8、2.試求參數(shù)1和2的極大似然估計和矩法估計解:LM 估計 L111 , 2n expXi n 1 ， X 11.12U JL o故 lnL 是1的遞增函數(shù)，1取到最大可能值時可使InL達到最大，故！的極大似然估計為?由一u 0可解得2的LM這(2)矩法估計由于X 2e 2 dx2222故由22Sn2?1Sn.16.設(shè)為取自參數(shù)為的普哇松分布的一個子樣.試證子樣平均 和2Sni )2都是的無偏估計.并且對任一值sn2也是的無偏估計.證:對普哇松分布有E D ,從而E_*2-ESnGE故與Sn2都是的無偏估計又E* 2Sn故12Sn也是的無偏估計.17.設(shè)n，為取自正態(tài)母體N ,2的一個子樣，試適

9、當選擇c,使2i為2的無偏估計.相互獨立可知從而ES2 cE i2 2E i 1E i c2 n 1 E12 2 n 1 E時,sn為2的無偏估計.18設(shè)母體 的數(shù)學(xué)期望為，方差D2.又設(shè)1 1 21 , n1和 122為取自此母體的兩個子樣.試證:S2n11n22n12“門n222 - 2 2 ii 12的無偏估計n j1 jnj i 1,j 1,2.證:ES21n2n1-E2 i 1n21n1 n22 n12n2故S2是2的無偏估計.19.設(shè)隨機變量服從二項分布,x 0,1,n試求2無偏估計由于E20.從而當抽得容量為N的一個子樣后,2的無偏估計為:?從而E221.設(shè)是取自參數(shù)為的普哇松分

10、布的一個子樣,試求2的無偏估計.故E所以2的無偏估計為2-2n,n是取自正態(tài)母體N11 a 曰a0, 1 a 疋i的密度函數(shù)為f Xi，則f x1f xn dx12的一個子樣，試證對任一固定的a,的無偏估計，其中 x是N 0,1的分布函數(shù).,n的聯(lián)合密度函數(shù)為f Xi從而i 1adXnf X1 dX1故(1, n)是 a的無偏估計.22.設(shè)1, n是取自母體 的子樣，的分布函數(shù)F X；,為未知參數(shù),1 , n疋的個有偏估計，且En-，其中a1是僅與有關(guān)的一個函數(shù)，為了減少偏性，常要用如下的“刀切法”。設(shè)i是把原來子樣中第i個分量剔除,再以留下的容量為n 1的子樣所得的估計量，并且匚與 的估計公

11、式是有同樣的形式,則可證明是的無偏估計,1稱為的一階刀切估計 in 1證:E 1 nE?E ? nn i 123.設(shè)1, n為取自正態(tài)母體N2的一個子樣，證明n2Son 1n 12 S1 n2都是的無偏估計,其中Son2 1一in i 1證:(1)nSo22_則Y的的密度為而此時S02則?2利用(1)類似的方法可證E ?1?1也是的無偏估計24設(shè)1, n是取自均勻分布母體R的一個子樣,min分別取做，的估計量，問，是否分別為，的無偏估計量？如何修正，才能獲得,的無偏估計.解:i的密度函數(shù)為f Xi1Xi0其它0X其分布函數(shù)為F為Xi1XiXi從而？的密度為?的密度函數(shù)為f xX nn 11n

12、1n xXmaxi:故？ ？均不是，的無偏估計為得到無偏估計可作如下修正從E?譏可得 將它代入E?中得:E? nE ? n從而 E所以 與 的無偏估計分別為: 25設(shè)1, , n是取自均勻母體Ra,a 1的一個子樣，證明估計量皆為參數(shù)a的無偏估計，并且D a2O D a1這里0 D a1表示與D a1同階證:由母體的密度函數(shù)為fX1X10其它0X其分布函數(shù)為F xXX11X1則n的密度函數(shù)為fn Xn xn 1X1由于E1知E 11 122 2由n的密度函數(shù)知:E n1n 1nn xxdxn1故E ?2,所以?1與?2均為的無偏估計112n第10頁又由12n所以O(shè)D ?126設(shè),n為取自正態(tài)母

13、體N的一個子樣，在下列三個統(tǒng)計量2的無偏估計，哪一個對2的均方誤差E Si22 $ 最小,i 1,2,3.解:記S22,則S22從而ESn n2DS 2 n那么由此可知所以只有S12是2的無偏估計.E S1DS12而 E S22S22n 1故S22的均方誤差最小.27.設(shè)n是取自均勻分布在1,1上的母體的一個子樣1 max2 1 i nmin i 都是1 i n的無偏估計，并指出哪一個方差較小-且12的密度函數(shù)為12其它它們的聯(lián)合密度為x, y12 y其它由此可知E 1xdx所以E?1= , E即?1， ?2均為無偏估計,它們的方差分別為2dyds2n 1 n 2當 n 2 時，D?i=D?2

14、，當 n2 時,112n,即 D?1D?2,2 n 1 n 2? s 1 s 11D2二 s 1 s 2 X yn n 1 y第20頁所以?2的方差較小。28設(shè) 111, n 和 221,是參數(shù)的兩個相互獨立的無偏估計，且方差D 1 2D 2 .試求常數(shù)k1和k2,使得k1k2 2是的無偏估計，且在一切這樣的線性估計類中方差最小.解:設(shè)D ?22,則D?為使k2?2即k1 1 k2 2則只需klk2要使 D k1 ?1 k2 ?k12D ?1k22D ?k122 22 1k22 2k12 k222達到最小,則需選取2k12k22 在 k1k21條件下達到最小.用k21 &代入2k12 k22，

15、2k121 k1 2則由df k1dk1得k1， k2 f所以當k11 2?k23時可使k11k22是這類線性估計量中方差最小的無偏估計29.設(shè)1, 2是取自正態(tài)母體N,1的一個容量為2的子樣,試證明下列三個估計量都是的無偏估計量1- 11 233并指出其中哪一個方差最小.12均為的無偏估計，且?3的方差最小.E i ， 顯然。 而D 19,D 25，D 330.設(shè)隨機變量均勻分布在0, 上, 1, 2, 3為取自此母體的一個子樣， 試 證:max i,24 min i都是 的無偏估計，并指出哪一個方差較小.3 i解: R 0,可知1 , 3的密度函數(shù)為3dx從而 E 1 X x2dx 4E?

16、2，2D ?. D ?15D?2?1的方差最小.31.設(shè)k是參數(shù)的k個無偏估計，它們的方差與協(xié)方差矩陣為2v2ij ，其中ijijCOV證明:在線性組合類C11Ckk : C1, Ck是實數(shù)中的最小方差無偏估計是CikVijj 1kVijj 1且最小方差kijj 1其中ij是矩陣V的逆矩陣中的元素.解:證:由ECiE ?CiCi1.k而 D ci2Di 1CiCj COVCij viji 1 j 1因此問題變?yōu)樵贑i1的條件下，找C1Ck使得C CjVjj 最小.CiCjVijCiCi5Viji=1,2,kC1此即有矩陣Vciv1 1Vij從而Vijj 1Ci k kvij1,2,k.，此時的

17、方差是第22頁232設(shè)1, n是取自正態(tài)母體N2的一個子樣，試證:S 2 1 nSnin 1 i 1是2的一致估計.解:證由于*2n 1 Sn2n 1 .， 故ESn22 ，4*2DSn2 2 n 1n 1因為2 n的期望為n ,方差為2n)據(jù)契比可夫不等式有*2P Sn*2DSn2-2故S；是2的一致估計.33.設(shè)是取自均勻分布在0,上的母體的一個子樣，試證:max 1, n是的一致估計.?的密度為0 x其它從而E?E?212?P? nPn 1n 1PE?34.設(shè)4n 2120.,故？是的一致估計.(i)Sn2(ii)是取自正態(tài)母體Xi2的一個子樣，其中為已知，證明2的有效估計；ESn2的無

18、偏估計，并求其有效率.DSn2n2的密度函數(shù)為第24頁2f x 1 ev;2x22故In f1ln2對2求導(dǎo)得:ln f2從而Eln fln L2 2R下界為Sn22的有效估計.ii由于E故E ?，即？是C1nD ?2-D1i2n 2 i.2Xidxye2y_Tdy的無偏估計.E In f12故C R下界為2n6.35 設(shè)證:由于又E i2從而DE2n?的有效率為2n2 22n2n0.876是取自具有下列指數(shù)分布的一個子樣i 是的無偏、致、有效估計。xxe dxx2dxln的無偏估計.22nx1e , x0,其它x022第26頁20故C R下界為因此是的有效估計第28頁另外，由契比可夫不等式P

19、所以還是的一致估計.36.設(shè)母體服從珈瑪分布,其密度函數(shù)為e xx 1,x 00,其它其中a為已知常數(shù)，設(shè)1, , n為取自這一母體的一個子樣，為子樣均值.1 .試證一為g的無偏、有效估計.a由于E 0dx ，故 E 1即一為g 的無偏估計.1dx再根據(jù)密度函數(shù)為求得:E In f故g 的C R下界為gn即D ()達到C R下界，所以一是g的有效估計.37.設(shè)1, n為獨立同分布隨機變量，其分布為二點分布P( i=x) = p xq1-x, x=0,1,其中p+q=1.試證明:下述統(tǒng)計量都是p的充分統(tǒng)計量,n的聯(lián)合分布是f %, xxnxip 1 pXi0,1則取總=p x 1 p n xik

20、2 1,由因子分解定理可知:S1,S2 ,Sn均為P的充分統(tǒng)計量38.設(shè)1, n是獨立同分布隨機變量都服從f x; 1 x,x 0,1,2,01，則Tni是 的充分統(tǒng)計量i 1證:由于1, n的聯(lián)合密度為f%, X n 1XiXi0,1,2,取k1n 1 字 k2 1，則由因子分解定理知Tn是的充分統(tǒng)計量第36頁e xx 1,x 00,其它kx e x ,x 00,x 0其中k為已知常數(shù)，是參數(shù),試證:ni 當，已知時，i是關(guān)于的充分統(tǒng)計量i 1nii 當，已知時，i是關(guān)于 的充分統(tǒng)計量i 11 1x143.設(shè)1, 2, n是來自密度函數(shù)為 f x; e2n試證:Tn| i是關(guān)于的充分統(tǒng)計量.

21、x的母體的子樣n39. 設(shè)1, , n是獨立同分布隨機變量，都服從具參數(shù)為的普哇松分布，則Tni 1 是關(guān)于的充分統(tǒng)計量.xi證:由于1, n的聯(lián)合密度是f兀 &e n Xi 0,1,2Xi!取k12xie n ., k2xj1,則由因子分解定理知:Tn是充分統(tǒng)計量.40. 試證:充分統(tǒng)計量T的一一對應(yīng)的變換仍是充分統(tǒng)計量.試舉出具體例子.41.設(shè)1, n是取自珈瑪分布的一個子樣，其密度函數(shù)為f x;n試證:i a已知時，i是關(guān)于 的充分統(tǒng)計量i 1nii 已知時，i是關(guān)于a的充分統(tǒng)計量i 1,威布爾分布密度函數(shù)42.設(shè)1, n,為取自具有三參數(shù)威布爾分布的母體的子樣44.設(shè)隨機變量 服從二項

22、分布bn, p ,求pl p的UMVUE.45.設(shè)!, n是取自珈瑪分布的一個子樣，其密度函數(shù)為f X；e Xx 1,x 00,其它為已知常數(shù)，試求未知參數(shù) 的UMVUE.46.設(shè)1, , n是獨立同分布的隨機變量，其分布是均勻分布R0, ,01 其密度函數(shù)f X； ,0 X ,試證:0,2 1是的無偏估計；ii E是的無偏估計.n47.某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品包裝好后按一定數(shù)量放在盒子里，檢驗員從一盒里隨機地抽取一個容量為n的子樣,并逐個檢查每個產(chǎn)品的質(zhì)量.假如子樣中有三個或更多個廢品，那么這一盒被認為是廢品,退回工廠，但廠方要求檢驗員一定要把每盒檢查出的廢品數(shù)通報廠方i假如產(chǎn)品的廢品率為

23、p0 p 1,求任一盒通過的概率；ii假如檢驗員通報廠方的數(shù)據(jù)如下:在檢查過的r盒產(chǎn)品中，發(fā)現(xiàn)它們的廢品數(shù)分別為1,證明:1,若第一盒被接受0,若第一盒被拒絕是的無偏估計riii 令T i.試求Ei 11 T ,并指出這是的UMVUE.證明：COV T, 0, .49.設(shè) 1, 2,n為取自正態(tài)母體N(,2)的一個子樣，為未知參數(shù)，試證S21 nin i 12是2的有效估計.48.設(shè) T是參數(shù)的UMVUE,是的任一無偏估計，且對一切D證：因為密度函數(shù)f x;、2取對數(shù)后得Inf x;In 2求對2的二階偏導(dǎo)數(shù)匚訕22112 262 42 424 n從而得出羅一克拉美下界為 ，由于S2- i 2服從2nnniinS2一 一 2 42n,于是推得DS2 -，因而S2是2的有效估計.n50設(shè)1, 2, n為取自正態(tài)母體N(2)的一個子樣，為未知參數(shù)，試證:S；2不是2的有效估計.證：因為密度函數(shù)f x;,21e-，22Inf x;22xIn 22取對數(shù)后得求對2的二階偏導(dǎo)數(shù)E 2lnfJJ22112 262 42 424?2從而得出羅一克拉美下界為，由于n 12 -服從2n 1n?2 12 n 1 于是推得D ?2因而sn2不是2的有效估計.51.設(shè)母體具有均勻分布,密度函數(shù)為f(x;丄，0 x ,00,其他求未知參數(shù)的矩法估計，