直線的投影(2).PPT課件

1、 Aa Aa = = a a ax ax = = a a ay ay = = azO azO = x= x Aa Aa = = aax = = a az = = ayO ayO = = y y Aa Aa = = a a az az = =a a a y a y = = axO axO =z=z a a a a oxox a a a a ozozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazayAzzzxxxyyyy三面投影面體系中點的投影規(guī)律三面投影面體系中點的投影規(guī)律三、點的距離三、點的距離 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距兩點的相對位置是根據(jù)兩點

2、相對于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。X X 坐標(biāo)值大的點在左；坐標(biāo)值大的點在左；Y Y 坐標(biāo)值大的點在前；坐標(biāo)值大的點在前；Z Z 坐標(biāo)值大的點在上。坐標(biāo)值大的點在上。 兩點的相對位置一定要以其中一點作為參照物。兩點的相對位置一定要以其中一點作為參照物。 根據(jù)一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標(biāo)根據(jù)一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標(biāo)差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。四、兩點的相對位置四、兩點的相對位置五、重影點五、重影點 若兩點位于某投影面的同一條垂直投射線上，若兩點位于某投影面的同一條垂直投射

3、線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，此兩點稱為該則這兩點在該投影面上的投影重合，此兩點稱為該投影面的投影面的。 重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性時，判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見點投影可見，反之不可見（在上、在前、在左的點（在上、在前、在左的點可見）可見），不可見點的投影加括號表示。，不可見點的投

4、影加括號表示。XOZY一、求直線的投影一、求直線的投影a a ab b bXZYWYHOaa ab bb AB直線的投影可由屬于直線上任意兩點的投影來決定。直線的投影可由屬于直線上任意兩點的投影來決定。作圖時先作出直線上任意兩點的投影作圖時先作出直線上任意兩點的投影, ,然后作兩點同面投影的連線即可。然后作兩點同面投影的連線即可。OXZYABbbabaa二、直線與投影面的傾角二、直線與投影面的傾角 把直線延長到與投影把直線延長到與投影面相交，與投影面所產(chǎn)生面相交，與投影面所產(chǎn)生的夾角叫做的夾角叫做直線與投影面直線與投影面的傾角的傾角。 直線對直線對H H面的傾角面的傾角 - - 直線對直線對V

5、 V面的傾角面的傾角 - - 直線對直線對W W面的傾角面的傾角 - - 直線的位置直線的位置一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線特殊位置直線特殊位置直線投影面平行線投影面平行線只平行于一個投影面的直線只平行于一個投影面的直線投影面垂直線投影面垂直線只垂直于一個投影面的直線只垂直于一個投影面的直線鉛垂線鉛垂線 H H正垂線正垂線 V V側(cè)垂線側(cè)垂線 W W水平線水平線 HH正平線正平線 VV 側(cè)平線側(cè)平線 WW三、各種位置的直線三、各種位置的直線 投影特性：投影特性： a.a.在直線平行的投影面上是反映實長的斜線，并反映與另在直線平行的投影面上是反映實長的斜

6、線，并反映與另 二投影面的傾角。二投影面的傾角。 b.b.另二投影面是縮短的直線，分別平行于兩個軸另二投影面是縮短的直線，分別平行于兩個軸 判斷平行線：判斷平行線： 在直線的三面投影中：在直線的三面投影中： 一個投影是斜線一個投影是斜線兩個投影平二軸兩個投影平二軸此線定為平行線此線定為平行線平行斜線所在面平行斜線所在面投影面平行線投影面平行線 空間位置：空間位置：平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面 投影特性：投影特性： a.a.在直線垂直的投影面上積聚為一個點在直線垂直的投影面上積聚為一個點 b.b.另二投影面都是反映實長的直線，并同時平行于一軸另二投影面

7、都是反映實長的直線，并同時平行于一軸 判斷垂直線：判斷垂直線： 在直線的三面投影中：在直線的三面投影中： 一個投影是一點一個投影是一點兩個投影平一軸兩個投影平一軸此線定為垂直線此線定為垂直線垂直一點所在面垂直一點所在面投影面垂直線投影面垂直線 空間位置：空間位置：垂直于一個投影面，平行于另兩個投影面垂直于一個投影面，平行于另兩個投影面 空間位置：空間位置： 與三投影面都傾斜與三投影面都傾斜 投影特性：投影特性： a a、三個投影都是小于、三個投影都是小于SCSC的斜線的斜線 b b、三個投影都是傾斜于投影軸、三個投影都是傾斜于投影軸 c c、不反映與三個投影面夾角（、不反映與三個投影面夾角（、

8、）的真實大?。┑恼鎸嵈笮?判斷：判斷： 根據(jù)三投影中斜線的數(shù)量來判斷平面：根據(jù)三投影中斜線的數(shù)量來判斷平面： “無垂、一平、三一般無垂、一平、三一般”3 3、一般位置直線、一般位置直線直線上的點具有兩個特性：直線上的點具有兩個特性：（點在直線上必須滿足兩點）（點在直線上必須滿足兩點）從屬性從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。定比性定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即 AC AC : CB = ac : cb= a: CB = ac : cb= a c c :

9、c: c b b = a = a c c : c: c b b 根據(jù)這兩個特性根據(jù)這兩個特性, ,我們可以判斷一個點是否屬于一條直線，也可我們可以判斷一個點是否屬于一條直線，也可以求屬于線上點的投影。以求屬于線上點的投影。四、屬于直線的點四、屬于直線的點ABbb aa XOcc Cc 直角三角形的四要素：直角三角形的四要素：實長、傾角、投影長、坐標(biāo)差實長、傾角、投影長、坐標(biāo)差。 四個要素中只要知道任意兩個要素，均可求得另外兩個要四個要素中只要知道任意兩個要素，均可求得另外兩個要素，但須清楚諸要素之間的關(guān)系。素，但須清楚諸要素之間的關(guān)系。 注意投影長、坐標(biāo)差、傾角均對同一投影面注意投影長、坐標(biāo)差

10、、傾角均對同一投影面 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 X實長實長投影投影 W面投影面投影 ab傾角傾角 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 Y投影投影 V面投影面投影 ab傾角傾角 坐標(biāo)差坐標(biāo)差 Z投影投影 H面投影面投影 a b傾角傾角 用細(xì)實線用細(xì)實線畫直角三畫直角三角形（不角形（不是畫直角是畫直角三角形的三角形的投影，而投影，而是一個幾是一個幾何作圖的何作圖的方法）方法） 五、一般位置直線的實長和傾角五、一般位置直線的實長和傾角【思考題】【思考題】已知已知AB=BCAB=BC，完成，完成BCBC投影。投影。b a c abscscc分析：分析：從已知條從已知條件中可以知道，件中可以知道，ABAB、BCBC均為一般均為一般位置直

11、線，在投位置直線，在投影中均不能反映影中均不能反映真實的長度。由真實的長度。由于于ABAB的兩面投影的兩面投影都知道，可以利都知道，可以利用直角三角形法用直角三角形法求出求出ABAB、BCBC的實的實長，又知道長，又知道BCBC的的一個投影，再次一個投影，再次利用直角三角形利用直角三角形法求出法求出BCBC的另一的另一個投影。個投影。投影作圖：投影作圖：根據(jù)根據(jù) Z ZABABabSCabSC求出求出ABAB實長實長根據(jù)根據(jù) Y YBCBCb b c c SCSC求出求出 Y YBCBC本講難題本講難題六、兩直線的相對位置六、兩直線的相對位置 以下分別討論它們的投影特性。以下分別討論它們的投影

12、特性。兩直線的兩直線的相對位置相對位置平行平行相交相交相叉相叉( (即異面即異面) )1 1、平行的兩直線、平行的兩直線兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩直線在反之，若兩直線在 同一投影面上的投影均相互平行，則此二直線平行。同一投影面上的投影均相互平行，則此二直線平行。(2)(2)平行兩線段之比等于其同面投影之比。平行兩線段之比等于其同面投影之比。XABCDbaadb dccabXbadcdc 對于兩條一般直線，只要任意兩組同面投影相對于兩條一般直線，只要任意兩組同面投影相互平行，則空間兩直線平行。互平行，則空間兩直線平行。 對于投影面平行

13、線，則需要根據(jù)第三個投影或?qū)τ谕队懊嫫叫芯€，則需要根據(jù)第三個投影或者比例法、指向法來判別。者比例法、指向法來判別。平行線的判別平行線的判別 首先觀看兩側(cè)平線各投影字母順序是否一致，不首先觀看兩側(cè)平線各投影字母順序是否一致，不一致者肯定是交叉二線，一致者再作圖判斷。一致者肯定是交叉二線，一致者再作圖判斷。主要方法主要方法 指向法指向法 補(bǔ)補(bǔ)W W 投影投影 比例法比例法oYWYHz判斷兩直線判斷兩直線ABAB和和CDCD是否平行是否平行Xaacddcbbabcd不平行不平行空間兩垂直線平行空間兩垂直線平行ADCBa(b)c(d)當(dāng)互相平行的兩當(dāng)互相平行的兩直線垂直于某一直線垂直于某一投影面時，則

14、在投影面時，則在該投影面上的投該投影面上的投影影( (積聚為兩點積聚為兩點),),反映它們在空間反映它們在空間的真實距離。的真實距離。 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線。兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相交，且交點屬于兩直線，反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相交，且交點屬于兩直線，或者說同面投影的交點連線均垂直于相應(yīng)投影軸，則該兩直線相交?；蛘哒f同面投影的交點連線均垂直于相應(yīng)投影軸，則該兩直線相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk2 2、相交的兩直線、相交的兩直線空間兩特殊直線相交空間

15、兩特殊直線相交XZOYHYWaa cdbd c b a d b c 同平行的兩直線一同平行的兩直線一樣，對于一般位置的樣，對于一般位置的兩直線，只根據(jù)水平兩直線，只根據(jù)水平投影及正面投影的相投影及正面投影的相對位置，就可判別它對位置，就可判別它們在空間是否相交。們在空間是否相交。但是對于其中有一條但是對于其中有一條是側(cè)平線的兩直線，是側(cè)平線的兩直線，則必須考察它們的側(cè)則必須考察它們的側(cè)面投影是否相交。面投影是否相交。 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。b Xa abc d dc11 (2 )2XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )

16、213 3、相叉的兩直線、相叉的兩直線判斷交叉兩直線重影點的可見性判斷交叉兩直線重影點的可見性 判斷重影點的可判斷重影點的可見性時，需要看重影見性時，需要看重影點在另一投影面上的點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可投影可見，反之不可見，不可見點的投影見，不可見點的投影加括號表示。加括號表示。 投影圖中通?？赏队皥D中通?？蓮闹睾贤队疤庨_始，從重合投影處開始，向上或向下（或向左）向上或向下（或向左）作投影連線，先遇到作投影連線，先遇到的點，坐標(biāo)值較小，的點，坐標(biāo)值較小，應(yīng)加括號。應(yīng)加括號。XOBDACbb aac cdd 3 4 1 2431 2 ( )( )判

17、斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3 434121 2( )( )zoYWYHXaacddcbb 1 2 ( ) 23 ( )【例【例1-91-9】判斷兩直線的相對位置。判斷兩直線的相對位置。dacb 補(bǔ)補(bǔ)W W投影判斷投影判斷二線交叉二線交叉31 2 ( (判別判別重影點的重影點的可見性。可見性。) ) V V投影重影處一投影重影處一般位置線在前般位置線在前; ; H H投影重影處側(cè)投影重影處側(cè)平線在上。平線在上。（ ）baacddcbXO2（ ）【例【例1-91-9】判斷兩直線的相對位置。判斷兩直線的相對位置。 用定比性判別用定比性判別重影點的可見性重影點的可

18、見性同前。同前。 V V面投影重影處面投影重影處一般位置直線在一般位置直線在前，側(cè)平線在后。前，側(cè)平線在后。 H H面投影重影處面投影重影處一般位置直線在一般位置直線在下，側(cè)平線在上。下，側(cè)平線在上。 點點、屬于側(cè)平線屬于側(cè)平線; ; 點點屬于屬于一般位置直線。一般位置直線。判別重影點的可見性判別重影點的可見性定比判斷定比判斷兩直線交叉兩直線交叉1312判別前后判別前后判別上下判別上下3XZOYHYWacbabc【例【例1-101-10】過點過點A A作直線與直線作直線與直線BCBC及及OZOZ軸相交。軸相交。( (表示方法表示方法1)1)還可換成（還可換成（與與OXOX或或OYOY軸軸相交）

19、相交）ee 因因OZOZ是鉛垂線，水平是鉛垂線，水平投影積聚成投影積聚成點點, , 位置在位置在O處，所以應(yīng)先過處，所以應(yīng)先過a a作水平作水平投影。投影。分析：分析：XZOYHYWacbabc【例【例1-101-10】過點過點A A作直線與直線作直線與直線BCBC及及Z Z 軸相交。軸相交。( (表示方法表示方法2)2)eeddmm 直線直線ADAD的的AMAM段在段在分角，分角，MDMD段在段在分角。分角。七、直角投影定理七、直角投影定理 定理一：定理一：垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直

20、角。線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二：定理二： 相交兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平相交兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。定理三：定理三：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四：定理四：兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于兩直線在某一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。該投

21、影面，則空間兩直線的夾角必是直角。直角投影定理直角投影定理 若空間二直線相互垂直若空間二直線相互垂直（相交或交叉）（相交或交叉）其中只要有一條直其中只要有一條直線平行于某一投影面，則此二直線在該投影面上的投影相互垂直；反之，線平行于某一投影面，則此二直線在該投影面上的投影相互垂直；反之，若二直線在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直線平行于該投若二直線在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直線平行于該投影面，則此二直線在空間必然垂直。影面，則此二直線在空間必然垂直。或者敘述為若直角有一條邊平行于某或者敘述為若直角有一條邊平行于某一投影面，則在該投影面上的投影反映直角。一投影面，則在該

22、投影面上的投影反映直角。AHBCcb垂直相交的兩直線的投影垂直相交的兩直線的投影HcXbacbaABAB垂直于垂直于AC,AC,且且ABAB平行平行于于H H面面, ,則有則有ab ab ac ac已知：已知：ABACABAC，ABHABH面面求證求證cabcab9090證明：證明：AB H AB H 而而AaH ABAa AaH ABAa 又又ABAC ABCcaAABAC ABCcaA平面平面 ABab ab CcaAABab ab CcaA 故故 abbc abc abbc abc9090aDEe(d)( )cee(d)( )交叉垂直的兩直線的投影交叉垂直的兩直線的投影BHAbaMNnm

23、Xb a bamnn mABAB垂直于垂直于MN,MN,且且ABAB平行于平行于H H面面, ,則有則有ab ab mn mn【例【例1-111-11】過點過點A A作作EFEF線段的垂線線段的垂線ABAB。bbaaOfeefX包含包含A A點的點的P P平平面面EF, EF, PP平面上過平面上過A A點點EFEF的直線有無的直線有無數(shù)的解數(shù)的解! !相叉垂直相叉垂直APEFf【例【例1-121-12】過點過點E E作線段作線段ABAB、CDCD的垂線的垂線EFEF。fOcbaabXcddee注意注意: :EFEF不是不是ABAB、CDCD的公垂線的公垂線, , 投影中垂直相投影中垂直相交處

24、上下不對正交處上下不對正 【例例1-131-13】作已知線段作已知線段ABAB、CDCD的的公垂線公垂線EF EF 的投的投影及實長。影及實長。a ( b)abcddc（e）eSCff分析分析: : 注意公垂線注意公垂線 EFAB(AB V) EFAB(AB V) EFVEFV又又 EF CD EF CD 而而EFVEFV e ef fcdcd efX efX軸軸 【例例1-141-14】作已知線段作已知線段ABAB、CD CD 公垂線公垂線EF EF 的投影及的投影及實長。實長。Ocbaa ( b)Xcdd分析分析: : 注意公垂線注意公垂線 EFAB(AB H) EFAB(AB H) EF

25、HEFH又又 EF CD EF CD 而而EFHEFH efefcd efXcd efX(e)eSCff【例例1-151-15】求作求作ABAB、CDCD間的公垂線的投影及實長。間的公垂線的投影及實長。分析：分析： ABAB、CDCD都為都為水平水平線線。根據(jù)。根據(jù)直角投直角投影定理影定理，水平線水平線在在H H面上能反映直面上能反映直角角。因此。因此公垂線公垂線的水平投影的水平投影能直能直接求出。由于接求出。由于公公垂線垂線MNMN為一般位為一般位置直線置直線，所以還所以還應(yīng)用直角應(yīng)用直角法求法求實長實長。dcbaabcdmnmnNzMzScABb【例【例1-161-16】作三角形作三角形ABCABC， ABCABC為直角，使為直角，使BCBC在在MNMN上，上， 且且BCBC AB =2AB =2 3 3。bcbc=BCnmaa