第四章_線性空間_S1_線性空間的概念[1][1]

1、第四章第四章 線性空間線性空間4.1 線性空間的概念線性空間的概念4.1.1 線性空間的定義和例子線性空間的定義和例子210 x 一數(shù)域一數(shù)域下面的方程有解嗎？下面的方程有解嗎？在在自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)范圍內(nèi)無解。范圍內(nèi)無解。在在復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解：范圍內(nèi)有解：0i 可見，在不同的討論范圍內(nèi)，得到的回答不一樣。可見，在不同的討論范圍內(nèi)，得到的回答不一樣。 常見的討論范圍常見的討論范圍：有理數(shù)的全體，實數(shù)的全體，：有理數(shù)的全體，實數(shù)的全體，復(fù)數(shù)的全體。復(fù)數(shù)的全體。Q（有理數(shù)），（有理數(shù)），R（實數(shù)），（實數(shù)），C（復(fù)數(shù)）（復(fù)數(shù)） 在代數(shù)中，我們常把有共同性質(zhì)的對象

2、在代數(shù)中，我們常把有共同性質(zhì)的對象一起一起討論。討論。 關(guān)于數(shù)的加、減、乘、除等運算的性質(zhì)通常稱為關(guān)于數(shù)的加、減、乘、除等運算的性質(zhì)通常稱為數(shù)的數(shù)的代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)。定義定義：數(shù)域數(shù)域是指這樣的數(shù)的集合：它是指這樣的數(shù)的集合：它至少至少包包 含含0和和1兩個數(shù)，且對數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為零）兩個數(shù)，且對數(shù)的加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運算是四則運算是封閉封閉的（即所得結(jié)果仍在該集合中）。的（即所得結(jié)果仍在該集合中）。以下用以下用 F(或或P) 泛指一般的數(shù)域。泛指一般的數(shù)域。二、線性空間的定義二、線性空間的定義幾個例子幾個例子解析幾何解析幾何中，二（三）維向量及其運算中，二（三）維向

3、量及其運算 ： 向量的基本屬性：可以按向量的基本屬性：可以按平行四邊形平行四邊形規(guī)律相加，規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量乘法。也可以與實數(shù)作數(shù)量乘法。 不少幾何和力學(xué)對象的性質(zhì)是可以通過向量的這不少幾何和力學(xué)對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運算來描述的。兩種運算來描述的。 所有所有n階實矩陣階實矩陣：也定義了加法和數(shù)量乘法：也定義了加法和數(shù)量乘法n維向量維向量作為特殊的矩陣，也有類似運算規(guī)律作為特殊的矩陣，也有類似運算規(guī)律 定義在區(qū)間定義在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成集合上的連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成集合 Ca,b: ijijijijabab ijijk aka( ), ( ) , f xg xC

4、a b( )( ) , f xg xC a b( ) , ()kf xC a bkR有有 所考慮的對象雖然完全不同，但是它們都有一所考慮的對象雖然完全不同，但是它們都有一個個共同點共同點，那就是它們都有，那就是它們都有加法加法和和數(shù)量乘法數(shù)量乘法兩種運兩種運算。當(dāng)然，隨著對象不同，這兩種運算定義也不同。算。當(dāng)然，隨著對象不同，這兩種運算定義也不同。 為了抓住它們的共同點，把它們?yōu)榱俗プ∷鼈兊墓餐c，把它們統(tǒng)一起來統(tǒng)一起來研究研究，因而引入線性空間的概念。，因而引入線性空間的概念。 線性空間的定義線性空間的定義定義定義1. 設(shè)設(shè)V是一個非空集合，是一個非空集合，F(xiàn)是一個數(shù)域，是一個數(shù)域，在集合在

5、集合V中定義元素之間的中定義元素之間的加法加法運算，使得任運算，使得任意意,V ，都有，都有+V ；在；在F與與V的元素之的元素之間定義了一個間定義了一個數(shù)量乘法數(shù)量乘法運算，使得任意運算，使得任意kF及及V ，都有，都有kV 。并且加法和數(shù)量乘法滿。并且加法和數(shù)量乘法滿足下列運算規(guī)律，則稱足下列運算規(guī)律，則稱V為數(shù)域為數(shù)域F上的線性空間上的線性空間?！景此x的線性運算構(gòu)成數(shù)域【按所定義的線性運算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空上的線性空間（或者向量空間）】簡稱間（或者向量空間）】簡稱V是是F上的線性空間上的線性空間，V的元稱為的元稱為向量向量。 (1) (2) ()()(3) (4) ,(5) 1(6

6、) ()(7) ()(8) ()()F V0VV0VV0設(shè) 、， 、，對，都有，都有稱為 的負(fù)元，記做。 實數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的線性空間簡稱為上的線性空間簡稱為實空間實空間，復(fù)數(shù)域，復(fù)數(shù)域C上上的線性空間簡稱為的線性空間簡稱為復(fù)空間復(fù)空間。 說明說明: 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性線性運算運算 向量空間中的向量向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組不一定是有序數(shù)組 線性空間的要點是：給定一個非空集合線性空間的要點是：給定一個非空集合V和一個數(shù)和一個數(shù)域域F，定義兩種運算，定義兩種運算“+”和和“”，且這兩種運算滿，且這兩種運算滿足運算規(guī)律足運算規(guī)律

7、(1)(8)。 線性空間中的加法線性空間中的加法“+”與數(shù)量乘法與數(shù)量乘法“”可能與通常可能與通常的的“+”和和“”不同。不同。 要證明某非空集合要證明某非空集合V對于給定的兩種運算能構(gòu)成數(shù)對于給定的兩種運算能構(gòu)成數(shù)域域P上的線性空間，需上的線性空間，需逐條驗證逐條驗證“+”和和“”的封閉的封閉性及運算規(guī)律性及運算規(guī)律(1)(8)成立；要證明某非空集合成立；要證明某非空集合V對對于給定的兩種運算不能構(gòu)成數(shù)域于給定的兩種運算不能構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，上的線性空間，只須只須證明加法運算不封閉，或數(shù)乘運算不封閉，或證明加法運算不封閉，或數(shù)乘運算不封閉，或(1)(8)中有一條不滿足即可。中有一條不滿

8、足即可。 給定給定V及及P，一般可用，一般可用多種多種不同的方法定義出不同的不同的方法定義出不同的線性空間。線性空間。( ).1m nm nm nRMR實數(shù)域上的全體矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作（或）例0101() = ( ) | ,2, .nnnnnn nP xP xp xaa xa xa aaRL所有次數(shù)不超過是自然數(shù) 的實系數(shù)多項式的全體，關(guān)于通常多項式的加法以及實數(shù)與多項式的乘法構(gòu)成一個實線性空間，記作。即：例 , ,.a bC a b定義在區(qū)間上全體實連續(xù)函數(shù)，關(guān)于通常函數(shù)的加法及實數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實線性空間，記為例3。例例4. n元實系數(shù)齊

9、次線性方程組的全體解向量（元實系數(shù)齊次線性方程組的全體解向量（Rn的一個子集合），按照的一個子集合），按照n維向量的加法及它與實維向量的加法及它與實數(shù)的乘法兩種運算也構(gòu)成一個實線性空間，稱數(shù)的乘法兩種運算也構(gòu)成一個實線性空間，稱為齊次線性方程組的為齊次線性方程組的解空間解空間。特別，當(dāng)齊次線。特別，當(dāng)齊次線性方程組只有零解時，它的解空間只有一個性方程組只有零解時，它的解空間只有一個元元零元，只有零元的空間稱為零元，只有零元的空間稱為零空間零空間。例例6 次數(shù)等于次數(shù)等于n(n1)的實系數(shù)多項式的全體，對于的實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)量乘法，能否構(gòu)成數(shù)域多項式的加法和數(shù)量乘法，能否

10、構(gòu)成數(shù)域R上的上的線性空間線性空間?,1nnxVxV Q(1)1nnxxV 解：解：， 但但V對加法運算對加法運算不封閉不封閉，從而，從而V對于指定的對于指定的 運算不構(gòu)成運算不構(gòu)成R上的線性空間。上的線性空間。例例5 實實(復(fù)復(fù))數(shù)域按本身的加法和乘法構(gòu)成自身上的數(shù)域按本身的加法和乘法構(gòu)成自身上的 一個線性空間。一個線性空間。 例例7 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間V2 x (1 x2 xn)T | x2 xn R 解：解： V2不是向量空間不是向量空間 因為若因為若 (1 a2 an)T V2 則則2a (2 2a2 2an)T V2 12,x xSSxx211212

11、()2A xxAxAxbb12xxS例例8. 問當(dāng)問當(dāng)0 時，非齊次的線性方程組時，非齊次的線性方程組AX=的解的解的全體的全體是否構(gòu)成線性空間？是否構(gòu)成線性空間？證：證：（反證法）若（反證法）若S是線性空間，是線性空間，則則，有，有，于是，于是所以所以S不是線性空間。不是線性空間。 ,|nCXAXXS例例9 設(shè)設(shè),Fkaakk,VRFRabab, a bV, a bVababV，定義，定義，。證明。證明:V對于指定的運算構(gòu)成數(shù)域?qū)τ谥付ǖ倪\算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間。上的線性空間。證證：由題意，：由題意，故故V對加法和數(shù)乘封閉。對加法和數(shù)乘封閉。下面驗證八條線性運算規(guī)律下面驗證八條線性運算規(guī)律

12、: 對任意對任意a, b, c R+, k, l R,(1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 對任意對任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 對任一元素對任一元素a R+, 存在負(fù)元素存在負(fù)元素a-1 R+, 有有a a 1= a a 1 =1;(5) 1a = a1 = a ;,Fkaakk(8) k (l a) = ka l = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b)

13、 = (a b)k = ak bk(6) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = ka kb;所以所以, R+對所定義的運算構(gòu)成線性空間對所定義的運算構(gòu)成線性空間.= ak al = ka l a .線性空間線性空間V具有的性質(zhì)具有的性質(zhì)證明證明: 假設(shè)假設(shè)01, 02是線性空間是線性空間V中的兩個中的兩個零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.則對任何則對任何 V有有, +01= , +02= ,由于由于01, 02 V, 則有則有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+01=02.則有則有 + =0, + =0,2. 負(fù)元素

14、是唯一的負(fù)元素是唯一的.證明證明: 設(shè)設(shè) 的負(fù)元素為的負(fù)元素為 與與 ,所以所以= . = +0= +( + ) =( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 將向量將向量 的負(fù)元素記為的負(fù)元素記為 .3.存在加法的逆運算存在加法的逆運算減法，而且減法，而且 對于線性空間中的向量組，我們也要討對于線性空間中的向量組，我們也要討論它們的論它們的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)以以及向量組的及向量組的極大線性無關(guān)子組極大線性無關(guān)子組與與秩秩等概念。等概念。前面有關(guān)向量的性質(zhì)和討論都可以推廣到線前面有關(guān)向量的性質(zhì)和討論都可以推廣到線性空間來。性空間來。 () 4.等式等

15、式 0 =0; (1) = ; 0=0 成立成立5. 如果如果 = 0, 則則 = 0 或或 = 0. nP x21, ,nx xx例例 證明線性空間證明線性空間中向量組中向量組線性無關(guān)。線性無關(guān)。012,nkk kk20120nnkk xk xk x(0,1,2, )tktn0120nkkkk21, ,nx xx時，時，(1)式對一切式對一切x的值都成立。這就證明了的值都成立。這就證明了線性無關(guān)。線性無關(guān)。 證證 設(shè)有設(shè)有n1個實數(shù)個實數(shù)，使得，使得(1)成立，即對于成立，即對于x的一切值都成立。的一切值都成立。但由多項式但由多項式理論知道，如果某個理論知道，如果某個不等于零，不等于零，則則

16、(1)至多對有限個至多對有限個 x 的值成立。的值成立。因此僅當(dāng)因此僅當(dāng)4.1.2 子空間子空間定義定義2 設(shè)設(shè)V是是F上的一個線性空間，上的一個線性空間，L是是V的一的一個非空子集，如果個非空子集，如果L對于對于V中所定義的加中所定義的加法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成F上的一個線上的一個線性空間，則稱性空間，則稱L為為V的子空間的子空間 例例1 在線性空間中，由單個的零向量所組成的在線性空間中，由單個的零向量所組成的 子集合子集合0是一個線性子空間，它叫做是一個線性子空間，它叫做零子空間零子空間。例例2 線性空間線性空間V 本身也是本身也是V 的一個子空間的一個子空間.叫做叫做

17、V 的的平凡子空間平凡子空間 其它的線性子空間叫做其它的線性子空間叫做非平凡子空間非平凡子空間。 例例3 Pnx 是線性空間是線性空間Px的子空間。的子空間。 例例4 幾何空間中，過原點的平面上所有向量幾何空間中，過原點的平面上所有向量 構(gòu)成幾構(gòu)成幾何空間何空間R3的一個子空間。的一個子空間。判定子空間除了定義以外，有無更判定子空間除了定義以外，有無更加簡單的方法呢？加簡單的方法呢？ 設(shè)設(shè)V是線性空間，則定義的兩種運算滿足：是線性空間，則定義的兩種運算滿足：(1) (2) ()()(3) (4) ,(5) 1(6) ()(7) ()(8) ()() 0VV0VV0，對，都有，都有 根據(jù)線性空間

18、的定義，為使根據(jù)線性空間的定義，為使L自身構(gòu)成一線性空間，自身構(gòu)成一線性空間，主要條件是要求主要條件是要求L中的元對原有運算的封閉性，以及中的元對原有運算的封閉性，以及規(guī)則規(guī)則(3)與與(4)成立。成立。 ,L kFkL,L LLL a)應(yīng)有應(yīng)有b)c) 0在在L中中d) 若若有有，則，則是多余的，它們是條件是多余的，它們是條件a)中中 k 取值取值0和和1的特的特殊情形。殊情形。,L kF kL定理定理：若：若L是線性空間是線性空間V的非空子集且關(guān)于的非空子集且關(guān)于V的線性的線性是封閉的（即若是封閉的（即若，則，則），則），則L是是V的子空間。的子空間。,LnR120nxxx12,nx xx例：例：中所有滿足中所有滿足的向量的向量構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合L，是否構(gòu)成，是否構(gòu)成Rn的線性子空間？的線性子空間？【是】【是】例：設(shè)例：設(shè)12,m 是數(shù)域是數(shù)域F上線性空間上線性空間V中的一組