高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間圖形的基本關(guān)系與公理課件 文 北師大版

1、18 8. .3 3空間圖形的基本關(guān)系與公理空間圖形的基本關(guān)系與公理2知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.空間圖形的公理(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).(2)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面).推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.(4)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.3知識(shí)梳理雙基

2、自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23412.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系(2)等角定理:空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(3)異面直線a,b所成的角:過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2(al1,bl2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,b所成的角.4知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23413.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23414.常用結(jié)論(1)唯一性定理過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直

3、線平行.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)異面直線的判定定理經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.(3)異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面,因此異面直線既不平行,也不相交.61.下列結(jié)論正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分. ()(2)兩個(gè)平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō),相交于A點(diǎn),記作=A. ()(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線. (

4、)(4)如果兩個(gè)不重合的平面,有一條公共直線a,就說(shuō)平面,相交,并記作=a.()(5)若a,b是兩條直線,是兩個(gè)平面,且a ,b ,則a,b是異面直線. ()2知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415自測(cè)點(diǎn)評(píng) 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)7知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234152.(2016上海,文16)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點(diǎn),則下列直線中與直線EF相交的是()A.直線AA1B.直線A1B1C.直線A1D1D.直線B1C1 答案解析解析關(guān)閉只有B1C1與EF在同一平面內(nèi),是相交的.選項(xiàng)A,B,C中直線與EF都是異面直線,故選D. 答案解析關(guān)閉D8

5、知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23415 答案 答案關(guān)閉3.已知l,m是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題:若l ,m ,l,m,則;若l ,l,=m,則lm;若,l,則l;若l,ml,則m.其中真命題有(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).9知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23415 答案 答案關(guān)閉4.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是.(填序號(hào))Pa,Pa ;ab=P,b a ;ab,a ,Pb,Pb ;=b,P,PPb10知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234155.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC

6、,BD滿足條件時(shí),四邊形EFGH為菱形;(2)當(dāng)AC,BD滿足條件時(shí),四邊形EFGH是正方形. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉11知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.做有關(guān)空間圖形的公理的判斷題時(shí),要抓住關(guān)鍵詞,如“有且只有”“只能”“最多”等.2.兩個(gè)不重合的平面只要有一個(gè)公共點(diǎn),那么兩個(gè)平面一定相交且得到的是一條直線.3.異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)的直線.不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.12考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),求證:(1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線

7、共點(diǎn).思考如何利用空間圖形的公理證明點(diǎn)共線和線共點(diǎn)? 13證明 (1)如圖,連接EF,CD1,A1B.E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),EFA1B.又A1BCD1,EFCD1,E,C,D1,F四點(diǎn)共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則由PCE,CE 平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直線DA.CE,D1F,DA三線共點(diǎn).考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)314考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得1.點(diǎn)線共面問(wèn)題的證明方法:(1)納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);(2)輔助平面法:先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面,再證其余

8、點(diǎn)、線確定平面,最后證明平面,重合.2.證明多線共點(diǎn)問(wèn)題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上.證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí),第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線,可以利用公理3證明.15考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線.16考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3證明 (1)E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),EFBD.GHBD,EFGH.E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)EGFH=P,PEG,EG

9、平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC平面ADC=AC,PAC,P,A,C三點(diǎn)共線.17考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例2若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交思考如何借助空間圖形確定兩直線位置關(guān)系? 答案解析解析關(guān)閉 l1與l在平面內(nèi),l2與l在平面內(nèi),若l1,l2與l都不相交,則l1l,l2l,根據(jù)直線平行的傳遞性,則l1l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交

10、. 答案解析關(guān)閉 D18考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得解題時(shí)一定要注意選項(xiàng)中的重要字眼“至少”“至多”,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解決空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系這類問(wèn)題時(shí)一定要萬(wàn)分小心,除了作理論方面的推導(dǎo)論證外,利用特殊圖形進(jìn)行檢驗(yàn),也可作必要的合情推理.19考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)如圖,G,N,M,H分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號(hào))20考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn).問(wèn):AM和CN是不是異面直線?說(shuō)明理由.D1B和CC1是不是異面直線?說(shuō)明理由.2

11、1考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3答案: (1) 解析: 題圖中,直線GHMN;題圖中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖中,連接MG,易知GMHN,因此GH與MN共面;題圖中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH與MN異面.所以題圖,中GH與MN異面.22考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)解 不是異面直線.理由如下:連接MN,A1C1,AC.M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),MNA1C1.又A1AC1C,四邊形A1ACC1為平行四邊形,A1C1AC,MNAC.A,M,N,C在同一平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.23考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3是異面直線.理由如下:ABCD-A1B1C1

12、D1是正方體,B,C,C1,D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線,則存在平面,使D1B 平面,CC1平面,D1,B,C,C1,與B,C,C1,D1不共面矛盾.假設(shè)不成立,即D1B與CC1是異面直線.24考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3例3設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說(shuō)法中正確的是()A.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B.過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C.與直線m垂直的直線不可能與平面平行D.與直線m平行的平面不可能與平面垂直思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉25考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解題心得解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各

13、種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過(guò)程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時(shí)可由易到難進(jìn)行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來(lái)判斷.26考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2016上饒模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)P,Q,R分別是線段B1B,AB和A1C上的動(dòng)點(diǎn),觀察直線CP與D1Q,CP與D1R,給出下列結(jié)論:對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得D1QCP;對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得CPD1Q;對(duì)于任意給定的點(diǎn)R,存在點(diǎn)P,使得CPD1R;對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)R,使得D1RCP.其中正確的結(jié)論是.(填

14、序號(hào)) 答案解析解析關(guān)閉只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1時(shí),才能滿足對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得D1QCP.因?yàn)檫^(guò)D1點(diǎn)與平面DD1A1A垂直的直線只有一條D1C1,而D1C1AB,所以錯(cuò)誤;當(dāng)點(diǎn)P與B1重合時(shí),CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1.因?yàn)閷?duì)于任意給定的點(diǎn)Q,都有D1Q平面ABD1,所以對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得CPD1Q,所以正確;只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影時(shí),D1RCP,所以正確;只有CP平面A1CD1時(shí),才正確,因?yàn)檫^(guò)C點(diǎn)的平面A1CD1的垂線與BB1無(wú)交點(diǎn),所以錯(cuò)誤. 答案解析關(guān)閉27考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.公理1

15、是判斷一條直線是否在某個(gè)平面內(nèi)的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù);公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來(lái)表示公理.2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.(2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面.28考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面,因此異面直線既不平行,也不相交.2.直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”.29思想方法構(gòu)造模

16、型判斷空間線面的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ),高考常設(shè)置選擇題或填空題,考查直線、平面位置關(guān)系的判斷和異面直線所成的角的求法.在判斷線、面位置關(guān)系時(shí),有時(shí)可以借助常見(jiàn)的幾何體作出判斷.這類試題一般稱為空間線面位置關(guān)系的組合判斷題,解決的方法是“推理論證加反例推斷”,即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明,錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出反例說(shuō)明其錯(cuò)誤,在解題中可以以常見(jiàn)的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進(jìn)行推理或者反駁.30典例(1)已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面,且l與n異面,則()A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、

17、相交、平行均有可能(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有條.31(3)已知m,n是兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,則mn.其中所有正確的命題的序號(hào)是.答案(1)D(2)無(wú)數(shù)(3)32解析(1)在如圖所示的長(zhǎng)方體中,m,n1與l都異面,但是mn1,所以A,B錯(cuò)誤;m,n2與l都異面,且m,n2也異面,所以C錯(cuò)誤.(2)(方法一)如圖,在EF上任意取一點(diǎn)M,直線A1D1與M確定一個(gè)平面,這個(gè)平面與CD有且僅有一個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這三條異面直線都有交點(diǎn),所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無(wú)數(shù)條.33(方法二)在A1D1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面,因CD與平面不平行,所以它們相交,設(shè)它們交于點(diǎn)Q,連接PQ(圖略),則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線.由點(diǎn)P的任意性,知有無(wú)數(shù)條直線與