.碩士生現(xiàn)代信號(hào)處理_自適應(yīng)濾波(2)

1、碩士生現(xiàn)代信號(hào)處理碩士生現(xiàn)代信號(hào)處理_ _自適應(yīng)自適應(yīng)濾波濾波(2)(2)4.5 RLS算法算法n1. 問題的引出問題的引出nLMS算法收斂速度較慢，無法快速跟蹤信算法收斂速度較慢，無法快速跟蹤信號(hào)或系統(tǒng)的時(shí)變特性。當(dāng)信號(hào)或系統(tǒng)特性號(hào)或系統(tǒng)的時(shí)變特性。當(dāng)信號(hào)或系統(tǒng)特性變化較快時(shí)，需要一種收斂快、跟蹤能力變化較快時(shí)，需要一種收斂快、跟蹤能力強(qiáng)的算法。強(qiáng)的算法。nLMS算法的權(quán)值調(diào)整方向取決于瞬時(shí)梯度，算法的權(quán)值調(diào)整方向取決于瞬時(shí)梯度，存在大量誤調(diào)，是導(dǎo)致收斂速度慢的原因存在大量誤調(diào)，是導(dǎo)致收斂速度慢的原因之一。之一。4.5 RLS算法算法那么那么21| )(|)(ienJniin )(R2W)(

2、R2)(WnnnJdxnxn )(R)(RW1nndxxn 0)(W nJnnnnnWXDE nnnHnHnnnHnHnnnHnWXXWDXWRe2DD nxHndxHnnnHnnnW)(RW)(RWRe2DD nnHnEE WXDWXDnnnnnHnnn 4.5 RLS算法算法n4. 遞歸最小二乘遞歸最小二乘 ( Recursive Least Square)算算法法ni) 推導(dǎo)推導(dǎo) 思路：通過思路：通過 和和 的遞歸計(jì)算求的遞歸計(jì)算求 的迭代式。的迭代式。)(R1nx )(RndxnW)(R)(RW1nndxxn 4.5 RLS算法算法 (A) 的遞歸計(jì)算的遞歸計(jì)算TiniiinnnHnx

3、nxxXX)(R1* )(R1nx )(R)(RW1nndxxn 為方便為方便, ,令令)(RP1nxn 1*11)xxP(P Tnnnn TnnTiniiinTnnTiniiinxxxxxxxx*11*1*11* Tnnxnxx) 1(R* 4.5 RLS算法算法矩陣求逆引理：矩陣求逆引理：設(shè)設(shè)A A及及A+BCDA+BCD均是滿秩方陣，那么均是滿秩方陣，那么1111111DABDACBAABCDA ）（）（ *11*11xPxPxxPP1nnTnnTnnnn 11PA n1C TnxD *xBn *111*111xPx1PxxPP1nnTnnTnnnn 11*1111*11xxPxxPP

4、TnnnTnnnn 4.5 RLS算法算法定義定義 (B) 的遞歸計(jì)算的遞歸計(jì)算*11*11xPx1xPgnnTnnnn *11*11xPxPxgxPgnnnnTnnnnn PxgPP111 nTnnnn )(Rndx)(xx)(*11*1ndidnniiin *x)()1(R)(Rndxdxndnn *111*111xPx1PxxPP1PnnTnnTnnnnn niiindxidn1*x)()(R 4.5 RLS算法算法 (C) 的迭代計(jì)算的迭代計(jì)算)(RP)(R)(RW1nnndxndxxn nWPxgPP111 nTnnnn *x)() 1(R)(Rndxdxndnn *xPgnnn x

5、 )() 1(RP*ndxnndn )(WxgW11ndgnnTnnn )(xP) 1(RPxgP*11ndnnndxnTnnn Wx)(gWW11 nTnnnnnd4.5 RLS算法算法nii) 說明：說明：nn時(shí)刻的最正確時(shí)刻的最正確 可由可由n-1時(shí)刻的最正確值時(shí)刻的最正確值 加一個(gè)修正量加一個(gè)修正量得到。得到。n稱稱為先驗(yàn)誤差；為先驗(yàn)誤差；n稱稱為后驗(yàn)誤差；為后驗(yàn)誤差；n 為增益矢量。為增益矢量。ngn與與Pn的計(jì)算是遞歸的。的計(jì)算是遞歸的。nW)Wx)(g1 nTnnnd1Wx)( nTnndngnTnndWx)( Wx)(gWW11 nTnnnnnd*11*11xPx1xPgnnT

6、nnnn PxgPP111 nTnnnn 4.5 RLS算法算法 初始化：初始化： 通常取通常取 或根據(jù)具體應(yīng)用選其它或根據(jù)具體應(yīng)用選其它值。值。 通常取通常取 ， 為很小的為很小的正數(shù)。正數(shù)。I)0(RP110 x 0W0 Wx)(gWW11 nTnnnnnd4.5 RLS算法算法niii) RLS算法流程小結(jié)：算法流程小結(jié)： 初始化：初始化： , , ， 對(duì)對(duì) ， 取得取得計(jì)算增益：計(jì)算增益：更新權(quán)向量更新權(quán)向量: :濾波濾波: :計(jì)算計(jì)算Pn ： n=n+1，重復(fù)，重復(fù)- 。0W0 0 x0 IP10 2 , 1 nnndx)(和和*11*11xPx1xPgnnTnnnn Wx)(gWW

7、11 nTnnnnndPxgPP111 nTnnnn nTnnyWx)( 4.5 RLS算法算法n5. RLS算法的收斂性算法的收斂性ni) 系統(tǒng)模型討論以系統(tǒng)辨識(shí)為應(yīng)用背景系統(tǒng)模型討論以系統(tǒng)辨識(shí)為應(yīng)用背景: 未知系統(tǒng)未知系統(tǒng)A確知確知信號(hào)信號(hào)x(n)自適應(yīng)自適應(yīng)濾波器濾波器d(n)e(n)()(ndny -v(n)4.5 RLS算法算法 未知系統(tǒng)響應(yīng)向量：未知系統(tǒng)響應(yīng)向量： 噪聲向量：噪聲向量： ，與，與 不相不相關(guān)，關(guān)，。 期望信號(hào)向量：期望信號(hào)向量：nTnndxW)( 注注：后后驗(yàn)驗(yàn)誤誤差差)()()(ndndne )(xA)(nvndnT TNaaa,A110 Tnnvvv)(),2(

8、),1 (V nx0V nEIVV2 vHnnE Tnnddd)(),2(),1(D nnnVAXD 4.5 RLS算法算法nii) 均值收斂性均值收斂性:AVX)(RAVAXX)(RDX)(R)(R)(RW1111 nnHnxnnnHnxnnHnxdxxnnEnEnEnnEEnTnTnnTnEEndExAx WxW)( 是的是的無偏估計(jì)。無偏估計(jì)。nWA4.5 RLS算法算法niii) 權(quán)向量的收斂過程權(quán)向量的收斂過程:定義權(quán)向量的誤差向量定義權(quán)向量的誤差向量:均方誤差均方誤差:權(quán)向量的均方誤差隨著權(quán)向量的均方誤差隨著n的增加而減小。其的增加而減小。其大小取決于輸入信號(hào)相關(guān)矩陣的最小特征大小

9、取決于輸入信號(hào)相關(guān)矩陣的最小特征值值 。當(dāng)。當(dāng) 很小時(shí)，收斂性能變差。很小時(shí)，收斂性能變差。AW nn1,11 12 NnNnENiivnHn 是輸入自相關(guān)是輸入自相關(guān)矩陣的特征值。矩陣的特征值。i min min 4.5 RLS算法算法niv) 均方收斂性均方收斂性:nv) 失調(diào)系數(shù)失調(diào)系數(shù):2210102221| )()(|)(vniiniiNndndEneE 210102minmin2)( niiniiNJJneE 遺忘因子。遺忘因子。22min2min2min| )(| )()(| )(|vnvEndndEneEJ 4.5 RLS算法算法 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。此時(shí)。

10、此時(shí)RLS算法理論算法理論上沒有超量均方誤差。上沒有超量均方誤差。 當(dāng)當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有 。此。此時(shí)時(shí)RLS算法存在超量均方誤差，算法存在超量均方誤差， 越小，越小，超量均方誤差越大。超量均方誤差越大。1 nN/ n0 1 )1/()1 (lim Nn 4.5 RLS算法算法n6. 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例:系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)n信號(hào)模型信號(hào)模型nx(n)是方差為是方差為1，均值為，均值為0的服從高斯分布的服從高斯分布的隨機(jī)信號(hào)；的隨機(jī)信號(hào)； h(n)由由5階階FIR低通濾器模擬；低通濾器模擬； 。 h(n)x(n)d(n)e(n)(ny nW)(*)()(nhnxnd 4.5 RLS算法算法n處理流程：處理

11、流程：n初始化初始化 ：N=13，n迭代處理迭代處理n=1,2n 取得取得d(n)和和xnn計(jì)算增益：計(jì)算增益：n更新權(quán)向量更新權(quán)向量:n計(jì)算計(jì)算Pn ：nn=n+1，重復(fù)，重復(fù)- 。0W0 I10P20 99. 0 *11*11xPx1xPgnnTnnnn Wx)(gWW11 nTnnnnndPxgPP111 nTnnnn 4.5 RLS算法算法n實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果 051015-0.500.51051015-0.500.51051015-4-20246x 10-1702000400060008000-400-300-200-1000h(i)w(i)Learning curveh(i)-w(i)iiin4.5 RLS算法算法 LMS算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果比照算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果比照 051015-0.500.51051015-0.500.51051015-2-1012