5.3 齊次方程

1、 5.3 齊次方程齊次方程1小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè)5.3 齊次方程齊次方程齊次方程齊次方程第第5 5章章 微分方程微分方程可化為齊次的方程可化為齊次的方程應(yīng)應(yīng) 用用 5.3 齊次方程齊次方程2一、齊次一、齊次方程方程如果一階微分方程可以寫成如果一階微分方程可以寫成 xygxydd齊次方程齊次方程. .即即,uxy 得到得到 u 滿足的方程滿足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作變量代換作變量代換 xydd 代入代入則稱之為則稱之為 uxxudd 可分離變量的方程可分離變量的方程,)(ddxuugxu ,d)(dxxuugu 分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分求出通解后求出通解后

2、, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.所以所以,d)(d xxuugu 5.3 齊次方程齊次方程3微分方程微分方程解解121dd13 xyxyxyxy滿滿足足,xyu 令令,uxy 則則xuxuxydddd 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?xuxudd分離變量分離變量xxuud21d13 兩邊積分兩邊積分Cxuln21ln21212 可分離變量方程可分離變量方程xyu 321uu 得得Cxuln12 ue, C.ln1xxy 方程的特解為方程的特解為的特解為的特解為 y =考研數(shù)學(xué)三考研數(shù)學(xué)三, 四填空四填空 4分分 xygxydd:齊齊次次方方程程.ln1xx 例例 5.3 齊次方

3、程齊次方程4 解方程解方程解解 將方程寫為將方程寫為22ddyxxyxy 齊次方程齊次方程,xyu 令令,uxy 則則xuxuxydddd 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?1dduuxuxu 即即xxuuud1d132 積分得積分得Cxuu lnln21221 xyxy可分離變量方程可分離變量方程uuxyu xygxydd. 0d)(d22 yyxxxy 5.3 齊次方程齊次方程5分析分析解解 yxdd,yxu 令令,uyx 則則,ddddyuyuyx 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?yuyudd)1(e11 uu 齊次方程齊次方程可分離變量方程可分離變量方程 yxfyxdd)1(e11 yxyx把把x看作看作y的函數(shù)的

4、函數(shù), 求解比較方便求解比較方便.d)(d)e1(的的通通解解求求方方程程yyxxyyx 例例 5.3 齊次方程齊次方程6兩邊積分兩邊積分即即Cuyu )e(得通解得通解.eCyxyx 分離變量分離變量yyuuuud1dee1 yuyudd)1(e11 uuCyuulnln)eln( 5.3 齊次方程齊次方程7,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)bbaa 作變換作變換kYyhXx ,dd,ddYyXx 則則原方程原方程 YbXaYbXaXY11dd ckbha 111ckbha 可解出可解出 h, k YbXaYbXaXY11dd 齊次方程齊次方程( h, k為待定常數(shù)為待定常數(shù)), 二、二、可化為齊次的方程可化為

5、齊次的方程111ddcybxacbyaxxy 形如形如為齊次方程為齊次方程.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc否則為非齊次方程否則為非齊次方程.化為化為 0得得 (1)求出其解后求出其解后, ,代入代入將將kyYhxX 即得原方程的解即得原方程的解. 5.3 齊次方程齊次方程8,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)bbaa 原方程可化為原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy xybaxvdddd 則則1ddcvcvbaxv 可分離變量方程可分離變量方程上述方法可適用于下述更一般的方程上述方法可適用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy )0(212 cc)0( b注注111ddcybxacbyaxxy

6、,byaxv 令令,11 bbaa令令h, k無法求得無法求得. (2) 5.3 齊次方程齊次方程9例例 解方程解方程. 0d)1()d3( yyxxyx解解03 kh再令再令 01 kh1,2 kh得得XXuuudd112 uarctan)1(ln212u XCln ,13dd yxyxxy原方程化為原方程化為 作變換作變換,kYyhXx ,dd,ddYyXx 則則YXYXXY dd齊次方程齊次方程 XYdd3 khYX原方程為原方程為 01 khYX 得得,XYu uuXuXu 11dd分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分 5.3 齊次方程齊次方程1021arctan xy 2211ln21x

7、y| )2(|ln xC若方程改為若方程改為 ,13dd yxyxxy如何求解如何求解? 提示提示:. yxv 令令, 1,2 yYxX回代回代 uarctan)1(ln212u XCln ,XYu |ln1ln21arctan2CXXYXY 得得回代回代 得原方程的通解得原方程的通解:1,2 khkYyhXx , 5.3 齊次方程齊次方程11例例 探照燈反射鏡的設(shè)計(jì)探照燈反射鏡的設(shè)計(jì). .在在xOy平面上有一曲線平面上有一曲線L, 曲線曲線L繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周,形成一形成一旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. 假設(shè)由假設(shè)由O點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)此點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)此旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹曲面形狀的凹鏡反射后都與鏡

8、反射后都與x軸平行軸平行(探照燈內(nèi)的探照燈內(nèi)的凹凹鏡就是這樣的鏡就是這樣的), 求求曲線曲線L的方程的方程.解解 如圖如圖, 設(shè)設(shè) O點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā) ML出的某條光線經(jīng)出的某條光線經(jīng)L上一點(diǎn)上一點(diǎn)M (x, y)反射后是一條與反射后是一條與又設(shè)過點(diǎn)又設(shè)過點(diǎn)M的切線的切線AT與與x軸的傾角是軸的傾角是. 由題意由題意,. SMTxyO TAS x軸平行的直線軸平行的直線MS.三、應(yīng)三、應(yīng) 用用 5.3 齊次方程齊次方程12另一方面另一方面,OMA 是是入射角入射角的余角的余角,SMT 是是反射角反射角的余角的余角,于是由光學(xué)中的于是由光學(xué)中的反射定律反射定律, SMTOMA有有從而從而,OMAO 但但

9、OPAPAO OPPM cot而而.22yxOM 于是得微分方程于是得微分方程,22yxxyy 即即.d)(d22yyxxxy MLxyO TAS PN,xyy 入射角入射角 = 反射角反射角齊次方程齊次方程 5.3 齊次方程齊次方程13為方便求解為方便求解,yyxxxyd)(d22 視視y為自變量為自變量, x為未知函數(shù)為未知函數(shù),yxv 令令則則,yvx 有有,dddvyyvx 代入上式得代入上式得.d)1|()dd(2yvyyvvyyvy 由曲線由曲線L的對(duì)稱性的對(duì)稱性, 不妨設(shè)不妨設(shè)y 0, ,上式上式為為,d)1()dd(2yvvyvyyvy 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得,d1d2yvvy .d1d

10、2yyvv 分離變量分離變量可分離變量的方程可分離變量的方程 5.3 齊次方程齊次方程14.d1d2yyvv 兩邊積分兩邊積分得得,lnln)1ln(2Cyvv 即即.12Cyvv 由上式可得由上式可得, 122 vvCy即即, 1222 CyvCy以以yxv 代入上式代入上式, 得得.222 CxCy 這就是這就是曲線曲線L的方程的方程, 它是以它是以x軸為對(duì)稱軸軸為對(duì)稱軸, 焦點(diǎn)在原點(diǎn)的焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線拋物線. 5.3 齊次方程齊次方程15例例已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本C由可變成本與由可變成本與固定成本兩部分構(gòu)成固定成本兩部分構(gòu)成.假設(shè)可變成本假設(shè)可變成本y是產(chǎn)量是

11、產(chǎn)量x的函數(shù)的函數(shù),且且y關(guān)于關(guān)于x的變化率等于產(chǎn)量平方與可變成本平方之的變化率等于產(chǎn)量平方與可變成本平方之和和)(22yx 除以產(chǎn)量與可變成本之積的兩倍除以產(chǎn)量與可變成本之積的兩倍);2( xy固定成本為固定成本為1;. 3,1 yx時(shí)時(shí)求總成本函數(shù)求總成本函數(shù)C = C(x).解解xyyxxy2dd22 xyxy212齊次方程齊次方程,xyu 令令,uxy 則則xuxuxydddd uu212 5.3 齊次方程齊次方程16xuxudd uu212 可分離變量方程可分離變量方程分離變量分離變量xxuuud1d122 兩邊積分兩邊積分由此可得由此可得Cux )1(2uxy 將將代入上式代入上式, 得通解得通解Cxxy 2因成本因成本, 0 y故上式根號(hào)前取正號(hào)故上式根號(hào)前取正號(hào)., 3,1 yx時(shí)時(shí)由由可得可得. 8 C于是于是, 可變成本為可變成本為,82xxy 總可變成本函數(shù)為總可變成本函數(shù)為 )(xC y1.812xx Cxulnln)1ln(2 5.3 齊次方程齊次方程17四、小結(jié)四、小結(jié)齊次方程齊次方程xyu 令令)(xyfy 可化為齊次的方程可化為齊次的方程,11時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)bbaa 作變換作變換kYyhXx ,( h,