西工大計算方法試題參考(完整版).doc

1、西工大計算方法試題參考( 完整版)2002-2003 第一學(xué)期一計算及推導(dǎo)（ 5*8 ）1已知 x* 3.141, x，試確定 x * 近似 x 的有效數(shù)字位數(shù)。2有效數(shù) x1*3.105, x2*0.001, x3*0.100 ，試確定 x1*x2*x3*的相對誤差限。3已知 f ( x)0.5x30.1x2 ，試計算差商 f 0,1,2,34給出擬合三點 A(0,1), B(1,0) 和 C(1,1)的直線方程。5推導(dǎo)中矩形求積公式b(ba) f (ab)1f ()(ba)3f (x)dxa224bnf (x)dxAi f (xi )6試證明插值型求積公式an 次。i0的代數(shù)精確度至少是7

2、已知非線性方程 xf ( x) 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有一實根，試寫出該實根的牛頓迭代公式。8用三角分解法求解線性方程組121x10223x23130x32二給出下列函數(shù)值表0.40.50.60.70.8xi0.389420.479430.564640.644220.71736f ( xi )要用二次插值多項式計算f (0.63891) 的近似值，試選擇合適的插值節(jié)點進(jìn)行計算，并說明所選用節(jié)點依據(jù)。 （保留 5 位有效數(shù)字）（ 12 分）三 已知方程 x ln x0 在 (0,1) 內(nèi)有一實根（ 1）給出求該實根的一個迭代公式，試之對任意的初始近似x0(0,1) 迭代法都收斂，并證明其收斂性。（

3、2） x0 0.5 試用構(gòu)造的迭代公式計算的近似值 xn ，要求 xnxn 1 10 3。四 設(shè)有方程組a13x1b11a2x2b232ax3b3當(dāng)參數(shù) a 滿足什么條件時，雅可比方法對任意的初始向量都收斂。寫出與雅可比方法對應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。（12 分）五用歐拉預(yù)估校正法求解初值問題yy2x(0 x 0.2)yy(0)1取 h=0.1 ，小數(shù)點后保留5 位。（8 分）yf ( x, y)六證明求解初值問題y( x0 ) y0 的如下單步法yn 1yn K2K1hf ( xn , yn )K 2 hf ( xn1 h, yn1 K1)22是二階方法。（10 分）七試證明復(fù)化梯形求積公式f

4、 (x)dxh ( f ( x0 ) 2n 1hb af (xi ) f (xn )ba2i 1n對任意多的積分節(jié)點數(shù)n+1, 該公式都是數(shù)值穩(wěn)定的。 （ 6 分）2003-2004第一學(xué)期一填空（ 3*5 ）1近似數(shù) x*0.231 關(guān)于真值 x0.229 有_- 位有效數(shù)字。2 n x*的相對誤差為 x* 的相對誤差的 _倍。3設(shè) f (x) 可微，求 xf ( x) 根的牛頓迭代公式 _。bnAif (xi )f (x)dxa的代數(shù)精確度至少是 _次。4插值型求積公式i05擬合三點 A(1,0), B(1,3) 和 C(2,2)的常函數(shù)是 _ 。二已知 f (x) 有如下的數(shù)據(jù)xi123

5、f ( xi )2412f ( xi )3試寫出滿足插值條件 P( xi ) f (xi ) 以及 P (2) f (2) 的插值多項式 P( x) ，并寫出誤差的表達(dá)形式。1三（1）用復(fù)化辛浦森公式計算ex dx6 位有效數(shù)字， 問0為了使所得的近似值有需要被積函數(shù)在多少個點上的函數(shù)值？72 lg xdx（2）取 7 個等距節(jié)點（包括端點）用復(fù)化辛浦森公式計算x1，小數(shù)點后至少保留4 位。四曲線 yx3與 y 1 x 在點（ 0.7 ，0.3 ）附近有一個交點 (x , y ) ，試用牛頓迭代公式計算 x 的近似值 xn ，要求 xnxn 1 10 3五用雅可比方法解方程組122x15111

6、x21221x33是否對任意的初始向量 x(0)都收斂，為什么？取 x(0)(0,0,0) T，求出解向量的近max xi( k1)xi( k )10 6似向量，要求滿足 1 i 3。六用校正一次的歐拉預(yù)估校正格式求解初值問題yy2 +1y(0)0的解函數(shù)在 x 0.6 處的近似值，要求寫出計算格式。 （步長 h0.3, 小數(shù)點后保留 5 位有效數(shù)字）yf (x, y)七設(shè)有求解初值問題y( x0 ) y0的如下格式y(tǒng)n 1ayn 1byn chf ( xn , yn )如假設(shè) yn 1y( xn 1 ), yny( xn ) 問常數(shù) a, b, c 為多少時使得該格式為二階格式？2005-2

7、006 第二學(xué)期一填空（ 3*5 ）1.設(shè) 近 似 數(shù) x1*1.2250, x2*0.5168都是四舍五入得到的，則相對誤差er (x1* x2* )_。x12.82.矛盾方程組x13.2 的最小二乘解為 _。3.近似數(shù) x*0.01999 關(guān)于真值 x*0.02000 有_位有效數(shù)字 .4.取31.732 ，迭代過程 yn 1yn0.13 是否穩(wěn)定？3f ( x)dx 2 f (2)5.求積公式 1有幾次的代數(shù)精確度？二取初值 x01.6 ，用牛頓迭代法求3.1 的近似值，要求先論證收斂性。當(dāng)xn 1xn10 5時停止迭代。y a1bx2中的常數(shù) a 和 b，使該曲線擬合于下面的四三用最小

8、二乘法確定x個點（ 1，1.01 ）（2， 7.04 ）（3，17.67 ）（ 4， 31.74 ）（計算結(jié)果保留到小數(shù)點后4 位）(k )四用乘冪法求矩陣 A 的按模最大的特征值1 的第 k 次近似值1 及相應(yīng)的特征x1u0(1,1,1)T(k )( k 1)103向量，要求取初值且11512101這里A= 6139x12x2x36x18x2x38五考察用高斯賽德爾迭代法解方程組x1x28x38收斂性，并取 x(0)，求近似解 x(k 1)(k 1)( k)3(1,0,0) T，使得 xixi10（ i=1 ，2，3）六已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)yf (x) 的如下數(shù)據(jù)xi1.120.001.802.

9、20f ( xi )1.100.500.901.70用插值法求方程f ( x)0 在區(qū)間（ 0.00 ， 1.80 ）內(nèi)根的近似值。（小數(shù)點后至少保留 4位）1dxI4 x 取 5 個等距節(jié)點（包括端點），列出被積函數(shù)在這些節(jié)七設(shè)有積分0點上的函數(shù)值表（小數(shù)點后至少保留4 位）用復(fù)化的 simpson 公式求該積分的近似值，并且由截斷誤差公式估計誤差大小。yx0y八給定初值問題y(0)0 1 x 1.4寫出 Euler預(yù)估校正格式取步長為 0.2 ，計算在 1.4 處的函數(shù)的近似值。九設(shè)矩陣 A 對稱正定，考慮迭代格式x(k 1)x(k )x( k1)x( k)A2b0, k0,1,2,3.

10、對任意的初始向量 x(0) , x( k 1)是否收斂到 Axb 的解，為什么？2006-2007第一學(xué)期一. 填空1） 近似數(shù) x*1.253關(guān)于真值 x1.249 有_位有效數(shù)字；1nnf ( x) dxAk f ( xk )Ak1，則 k 1 =_；（只算系數(shù)）2） 設(shè)有插值公式k 1x1*0.0235x2*2.5160er ( x1*)3） 設(shè)近似數(shù)，都是有效數(shù)， 則相對誤差x2*_；4） 求方程 xcos x 的根的牛頓迭代格式為 _；x1x212x12x22x1x21x1x215） 矛盾方程組x12x21與x1 2x21得最小二乘解是否相同 _。二 . 用迭代法（方法不限）求方程

11、xe x 1 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)根的近似值，要求先論證收斂性，誤差小于 10 2 時迭代結(jié)束。三 . 用最小二乘法 y ax 2 be x 中的常數(shù) a 和 b ，使該函數(shù)曲線擬合與下面四個點（ 1， -0.72 ）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)（結(jié)果保留到小數(shù)點后第四位）四用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組1020x150101x231243x3170103x47五設(shè)要給出f xcos x 的如下函數(shù)表xix0hx0x0hf ( xi )f ( x0h)f ( x0 )f ( x0h)用二次插值多項式求f ( x) 得近似值，問步長不超過多少時，

12、誤差小于10 3。六 .設(shè)有微分方程初值問題y 2y 4x,0 x 0.2 y(0) 21 ）寫出歐拉預(yù)估校正法的計算格式；2) 取步長 h=0.1 ，用歐拉預(yù)估校正法求該初值問題的數(shù)值解 （計算結(jié)果保留 4 位小數(shù)）。1dx七 .I設(shè)有積分0 1 x取 11 個等距節(jié)點（包括端點 0 和 1），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值 （小數(shù)點侯保留 4 位）；用復(fù)化 Simpson 公式求該積分的近似值，并由截斷誤差公式估計誤差大?。ㄐ?shù)點侯保留 4 位）。八 . 對方程組122x14111x21221x331. 用雅可比迭代法求解是否對任意初始向量都收斂？為什么？2. 取初始向量 x(0,0,0

13、) T ，用雅可比迭代法求近似解x(k 1)，使xi( k 1)xi( k)10 3(i 1,2,3)九 .設(shè) f(x)在區(qū)間 a ， b 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f(a)=f(b)=0，試證明max f ( x)1 (ba) 2 max f ( x)ax b8a x b參考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023xk 1xkxkcos xkxk sin xkcos xk, k0,1,2,.（ 4）1sin xk1sin xk(5) 否2. 方程的等價形式為 x e x ，迭代格式為 xk 1e xk。收斂性證明；當(dāng) x(0,1) 時，01e xe01e ( x) e xe01所以

14、依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收斂取迭代初值為 x00.5 ，迭代結(jié)果如下nxnxnxn 100.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.xn11.52.02.5xn212.254.06.25exn2.718284.481697.3890612.1824912.718280.722.254.48169a0.024.07.38906b0.61矛盾方程組為6.2512.182490.32對應(yīng)的正則方程組為61.125118.4989a3.7651

15、18.4989230.4859b6.538196解得a2.0019, b1.0009所以擬和曲線方程為y2.0019 x 21.0009ex4. 由矩陣 Doolittle 分解的緊湊記錄形式有10205102050101301013124317122160103701024回代求解得x442x31 (6 1 x4 ) 22,2x23 0x31x41x15 0x22x3 0x411，1方程組的解向量為 x(1, 1, 2, 2)T .maxf ( 3) ( )( xxk1 )( xxk )( x xk 1 ) 1033!5.令 xk 1x xk 1可求得 h0.2498 （或h0.2289 ）

16、6.y1( 0)1.6, y11.62, y2(0 )1.256, y21.27247. 0.6932R( f )1.3333 105022B J1018. （ 1） Jacobi迭代法的迭代矩陣為220譜半徑B J01. 此時 Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂 .4822x (1)1, x(2 )6, x(3)0, x(4 )0（ 2）37119.以x0a, x1b為 插值節(jié) 點，做Lagrange 插值：f ( x)L1(x)1f ()( xa)( xb)1 f ( )( xa)( xb)2!2!其中 (x)a, b 。故max f (x)max1f ( )( x a)( x b)1

17、max f ( x) max (x a )( x b)1( ba) 2max f ( x)a x ba x b2!2a x ba x b8a x b計算方法2006-2007 第二學(xué)期1 填空1）.近似數(shù) x*0.0142 關(guān)于真值 x0.0139有 _為有效數(shù)字。1nf (x)dxAk f ( xk )2）適當(dāng)選擇求積節(jié)點和系數(shù)，則求積公式1的代數(shù)精確k1度最高可以達(dá)到 _次 .3） 設(shè)近似數(shù) x1*0.0235 ， x2*2.5160 都是四舍五入得到的，則相對誤差er (x1* x2* ) 的相對誤差限 _4) 近似值 y *x* 的相對誤差為 er ( x* ) 的 _ 倍。55） 擬

18、合三點 A(0,1), B(1,3)， C(2,2) 的平行于 y 軸的直線方程為 _.2x2xx2.用迭代法求方程x2 xee0 在（-1 ，0）內(nèi)的重根的近似值n 1 。要求41）說明所用的方法為什么收斂；2）誤差小于 10時迭代結(jié)束。3用最小二乘法確定 y ax 2b ln x 中的 a 和 b ，使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個點 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (計算結(jié)果保留到小數(shù)點后 4 位)4 設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在一些點上的值如下1.01.11.2xi寫出中心差分表示的二階三點微分公0.010.110.24(1.1)

19、。f ( xi )式，并由此計算f5 已知五階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)yf ( x) 的如下數(shù)據(jù)xi01f ( xi )01f (xi )01f ( xi )0試求滿足插值條件的四次多項式p( x).6 設(shè)有如下的常微分方程初值問題dyx,1x1.4y(1)1寫出每步用歐拉法預(yù)估，用梯形法進(jìn)行一次校正的計算格式。取步長 0.2 用上述格式求解。0.62Iex dx7 設(shè)有積分01）取 7 個等距節(jié)點（包括端點） ，列出被積函數(shù)在這些點出的值（保留到小數(shù)點后 4位）2）用復(fù)化 simpson 公式求該積分的近似值。8 用 LU 分解法求解線性代數(shù)方程組1123x130212x211122x332259x47

20、9 當(dāng)常數(shù) c 取合適的值時，兩條拋物線 yx2x c 與 y2 x 就在某點相切，試取出試點 x00.3，用牛頓迭代法求切點橫坐標(biāo)。誤差小于10 4時迭代結(jié)束。參考答案； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3（4）1/5 (5) x=12 解：將方程變形為( xex ) 20即求 x ex0在（ -1， 0）內(nèi)的根的近似值 xn 1牛頓迭代格式為xnexnxn 1xnexn1收斂性證明；局部收斂定理結(jié)果 x40.56714 。3 用最小二乘法正則方程組為61.125a9.41165b65.86解得 a=1.0072; b=0.45639.41165a1.484

21、4610.15864解 推導(dǎo)中心差分格式1f(x1 )h 2 ( f ( x0f ( x2 ) 2 f ( x1 )得到 f (1.1)35解p(x).2x 43x3截斷誤差f ( 5) ( )x3(x1)2R( x)5!6y(1.2)1.2; y(1.4)1.47 0.68058 （0101）9 解 兩條曲線求導(dǎo)1y2x1 和 yx 21切點橫坐標(biāo)一定滿足 2x 1= x 2將等式變形為f ( x) 4x 34x2x 1牛頓迭代法 結(jié)果為 0.347812007-2008 第一學(xué)期1 填空（ 15 分）*1 ）設(shè)近似數(shù)x1 9.2270 ， x2 0.8009 都是四舍五入得到的，則相對誤差

22、er (x1* x2* )_2）擬合三點 A(3,1), B(1,3)3)近似數(shù) x* 0.0351 關(guān)于真值1f ( x)dx14） 插值型求積公式， C(2,2) 的平行于 y 軸的直線方程為 _.x0.0349 有 _ 位有效數(shù)字 .n 1Ak f ( xk )k 1至少有 _次代數(shù)精確度 .5) Simpson( 辛浦生 ) 求積公式有 _次代數(shù)精確度 .2.（ 10 分）已知曲線 y x32.89 與 y2.4 x20.51 x 在點（1.6,6.9 ）附近相切，試用牛頓迭代法求切點橫坐標(biāo)的近似值xn 1 ，當(dāng) xn 1 xn 10 5誤差小于 10 4時停止迭代。3（10 分）用最

23、小二乘法確定yax 2b ln x 中的常數(shù) a 和 b ，使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個點 (1 ，2.01), (2， 7.3), (3,16.9), (4,30.6) (計算結(jié)果保留到小數(shù)點后 4 位)232A10344.(10 分 ) 用乘冪法求矩陣361 的按模最大的特征值1 的第 k 次近似(k)( k)T(k)(k 1)0.1 。值 1及相應(yīng)的特征向量x1。要求取初始向量 u0(1,2,1)，且 115（10 分）設(shè)有方程組a13x1b11a2x2b2(a 0)3 2 a x3b3寫出與 Jacobi 迭代法對應(yīng)的 Gauss-Seidel 方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩

24、陣為：當(dāng)參數(shù) a 滿足什么條件時， Jacobi方法對任意的初始向量都收斂。6（10 分）已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)yf (x) 的如下數(shù)據(jù)：xi12f ( xi )05f ( xi )110試求滿足插值條件 p(xi )f ( xi ), p(xi )f (xi ) 的三次插值多項式 p(x) ，并寫出截斷誤差 R( x)f ( x)p( x) 的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式（不必證明） 。I23exdxx7（15 分）設(shè)有積分11）取 7 個等距節(jié)點（包括端點1 和 2），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值表（小數(shù)點后至少保留4 位）；2）用復(fù)化 simpson 公式求該積分的近似值，并由截斷誤差公式估計誤差大小

25、。8（10 分）給定初值問題yy 20,y(1) 1, 1 x 1.4x寫出歐拉（ Euler ）預(yù)估 - 校正的計算格式；取步長 h0.2 ，求 y(1.4) 的近似值。9（10 分）用迭代法的思想證明：lim 2 22 2k（等號左邊有 k 個 2）。參考答案：1: (1)6.78 105,(2) x=2(3) 2（ 4） n-2 (5) 32. 切線斜率相等： 3x 24.8x0.51 ， 3x24.8x0.510xn 13xn24.8xn0.51xn6xn 4.8牛頓迭代格式：取 x01.6 ，得 x1 1.70625, x21.70002, x31.70000, x41.70000a2.014abln 27.39abln 316.93. 矛盾方程組： 16a b ln 4 30.835434.84081a672.91正則方程組：34.840813.60921b66.047