介值定理與區(qū)間法解不等式畢業(yè)論文

1、介值定理與區(qū)間法解不等式摘要：區(qū)間法提供了解不等式的一種統(tǒng)一的方法，有廣泛的適用范圍。其特點在于：一方面，將“解不等式”轉(zhuǎn)化為“解方程”，獲得不等式保持“真”或“假”的若干小區(qū)間；另一方面，將不等式解集的探求歸結(jié)為不等式在各小區(qū)間內(nèi)真假性的驗證，而這又可通過特殊值法來實現(xiàn)。這樣，可以避免由于不等式等價變形的復(fù)雜性所引起的繁瑣的討論。因此，區(qū)間法比傳統(tǒng)的方法要簡潔方便得多。關(guān)鍵詞：解不等式;介值定理在初等代數(shù)中，常用列表法解一元高次不等式，由于這一方法是以多項式理論為基礎(chǔ)的，所以有很大的局限性，本文將以連續(xù)函數(shù)的介值定理為依據(jù)，闡明區(qū)間法解不等式的一般原理，從而將區(qū)間法推廣到解更廣的一類不等式（

2、基本上可包括初等代數(shù)中的全部不等式），并且對解法做進一步的改善與簡化.先回顧一下介值定理，它的證明可在數(shù)學(xué)分析教材中找到.介值定理 設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)定義且連續(xù)，如果在這區(qū)間內(nèi)的兩點及處有不相等的函數(shù)值，那么對于與間的任意實數(shù)c，必定存在實數(shù)，使.特別地，若與異號，則必存在使.因此，如果連續(xù)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)沒有根，那么對于該區(qū)間內(nèi)的每一值，函數(shù)的值保持同樣的正負號.于是有下列推論，它為區(qū)間法解不等式提供了理論依據(jù).推論 設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間（為便于敘述，不妨設(shè)。若、或等均與此類似）內(nèi)連續(xù).(1)若方程在內(nèi)沒有根，則函數(shù)的值在內(nèi)保持相同的正負號；(2)若方程在內(nèi)的全部不同的根是，則這個根將分成個小區(qū)

3、間： (1)在每一個這樣的小區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的值保持相同的正負號.這個推論告訴我們，對于(1)中每一個小區(qū)間內(nèi)的一切值，不等式（或）要么恒真，要么恒假.因此，只要逐一考慮各個小區(qū)間內(nèi)的正負號，即判定不等式（或）的真假性，就可得到不等式（或）在區(qū)間內(nèi)的全部解.正因為在每一個小區(qū)間內(nèi)的值保持相同的正負號，所以我們可以用特殊值法來判定各個小區(qū)間內(nèi)的正負號：只要在該小區(qū)間內(nèi)任取某一特殊點，考察（計算或估計）函數(shù)在該點處的值的正負號就可以了.對于一般形式的不等式： ( 或 ) (2)其中函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)定義且連續(xù).不等式(2)等價于不等式： ( 或 ) (3)將推論應(yīng)用與不等式(3)，相應(yīng)地便可得出關(guān)于不等式

4、(2)的類似的結(jié)論，從而可以用區(qū)間法直接解形如(2)的不等式.其一般步驟是：1 求出不等式(2)的定義域（即函數(shù)與的定義域的交集）；2 寫出對應(yīng)的方程： = (4)并解此方程；3 將方程(4)的全部不同的根由小到大排列，把定義域分成若干個小區(qū)間.在每個這樣的小區(qū)間內(nèi)，不等式(2) 要么恒真，要么恒假.4 在每一小區(qū)間內(nèi)分別取某一特定值，考察與的對應(yīng)值的大小，判定不等式(2)在該區(qū)間內(nèi)的真假性；5 寫出所有使不等式(2)為真的那些小區(qū)間，它們的并集就是不等式(2)的解集.例1 解不等式.解 原不等式的定義域是.考察方程，解之，得，它們將定義域分成三個小區(qū)間：.在內(nèi)，取，左邊，原不等式為真；在內(nèi)，

5、取，左邊，原不等式為假；在內(nèi)，取，左邊，原不等式為假.故原不等式的解集為：.說明：本例要解的是無理不等式，通常要進行“兩邊平方”的變形，但這只是在一定條件下才是等價變形，所以必須就的不同取值范圍進行討論，往往是比較冗繁的.例2 解不等式.解 原不等式的定義域是.考察方程，它等價于=，解之，得，它們將定義域分成五個小區(qū)間： ，.在這五個小區(qū)間內(nèi)分別取特殊點，經(jīng)過計算可以判定在區(qū)間與內(nèi)原不等式為真，而在其余三個區(qū)間內(nèi)原不等式為假.所以原不等式的解集為：.說明：本例要解的是含絕對值的不等式，通常的解法有二：一是分別不同情況化去絕對值符號，但討論起來頗為復(fù)雜；二是將不等式兩邊平方（這里是等價變形），但

6、得到的是一個四次不等式，最終還要歸結(jié)為列表法（區(qū)間法）解，具體演算也比直接用區(qū)間法繁.例3 解不等式.解 不等式的定義域是，在這三個區(qū)間的每一個內(nèi)，不等式兩邊的函數(shù)都是連續(xù)的.對應(yīng)的方程為，解之得，它將區(qū)間分為兩個小區(qū)間：與.而在區(qū)間與內(nèi)，此方程無根，所以在這四個小區(qū)間：，內(nèi)，不等式分別保持相同的真假性.在這四個小區(qū)間內(nèi)，依次分別取特殊值，不難斷定，在第二、四兩個區(qū)間內(nèi)原不等式為真，而在第一、三兩個區(qū)間內(nèi)原不等式為假.所以原不等式的解集為：.說明：本例要解的是分式不等式，它的定義域一般是若干個區(qū)間（去掉使不等式兩邊分母為零的點），不等式兩邊的分式函數(shù)雖然在整個定義域上并不連續(xù)，但在定義域的各個

7、區(qū)間上分別是連續(xù)的，上述解法實質(zhì)上是在這些區(qū)間上分別運用介值定理的推論.與此類似的一些不等式（如例4）可用同樣的原理與方法解之.例4例5例6 待添加的隱藏文字內(nèi)容3解不等式.解 不等式的定義域是.考察方程，它的解是，將區(qū)間分成兩個小區(qū)間：，而在區(qū)間內(nèi)，此方程無根，所以在這三個小區(qū)間內(nèi)原不等式分別保持相同的真假性.在區(qū)間，內(nèi)分別取特殊值，不難驗證：在區(qū)間與內(nèi)原不等式為真，而在區(qū)間內(nèi)原不等式為假.所以原不等式的解集為：.例5 解不等式.解 這是一個三角不等式，定義域為.由于函數(shù)和有公共周期，我們先求不等式在一個周期內(nèi)的解集.考察方程，它在內(nèi)的解是， ，它們將分為六個小區(qū)間：，.在這每一個小區(qū)間上分

8、別取特殊值，經(jīng)驗證不難斷定：在第一、三、五三個區(qū)間內(nèi)不等式為真，而在其余三個區(qū)間內(nèi)不等式為假.所以原不等式在上的解集是，從而原不等式的解集為.參考文獻:1曹才翰,沈伯英.初等代數(shù)教程.北京師范大學(xué)出版社,1986.2唐復(fù)蘇.中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代基礎(chǔ).北京師范大學(xué)出版社,1988.3江蘇師范學(xué)院數(shù)學(xué)系.國際數(shù)學(xué)奧林匹克(1-20)屆.江蘇科學(xué)技術(shù)出版,1980.work out inequality with intermediate value theorem and interval methodabstract:zone method offering understanding not equa

9、tion of a kind of united of method, there is extensive suitable for use scope.on the other hand, will solution not equation conversion is solve the square distance, acquire not equation keep some small zones between true or false;on the other hand, wont the equation solution gather of investigate to return knot as not equation is in each small zone the verification of the true or false, but this can pass the special and worth method to realize again.like this, can avoid because of not the complexity a tedious discussion for causing that equation etc. pr