2021年人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊同步講義4.1《數(shù)列的概念》(含解析)

1、4.1 數(shù)列的概念知識梳理 1、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2，n)為定義域的函數(shù)anf(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值 （3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性. （4）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法2、數(shù)列的分類(1)按照項數(shù)有限和無限分：(2)按單調(diào)性來分：3、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系

2、可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式并不是所有的數(shù)列都有通項公式；同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一 （2）遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可根據(jù)第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an4、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點（1）若數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為a

3、n，則an（2）在數(shù)列an中，若an最大，則若an最小，則（3）型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項；（4）形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項；知識典例題型一 規(guī)律猜想例1數(shù)列的一個通項公式是（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項公式為.故選：D已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（ ）A第10項B第11項C第12項D第21項【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的通項公式，令，求得n=11，得到結(jié)果.【詳解】令，解得n=11，故是這個數(shù)列的第11項.故選：B.題型二 遞推公式例 2在數(shù)列中，（，），則（ ）AB1CD2

4、【答案】A【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.已知為數(shù)列的前項和，若，且，則_.【答案】【分析】求得數(shù)列的周期，由此求得.【詳解】由題意，數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為4.故答案為：題型三累加法例 3在數(shù)列中，則的通項公式為（ ）ABCD【答案】A【分析】先將變形整理為，再分別用，2，1替換上式中的，得到個等式，將上述這些式子相加整理，從而求出的通項公式.【詳解】由已知得，所以將上述個式子相加，整理的又因為，所以故選A在數(shù)列中，且，則的通項公式為_【答案】【解析】在數(shù)列中，上式相加：題型四累乘法例 4 已

5、知正項數(shù)列an中，a11，(n2)a(n1)aanan10，nN*，則它的通項公式為()Aan BanCan Dann【答案】B【解析】由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)2(n1)0，0，因為an是正項數(shù)列，所以10，所以，則ana11.故選B.若數(shù)列滿足，則_.【答案】【分析】由已知得 ，由此利用累乘法能求出an【詳解】數(shù)列an滿足， ，an ，又時也滿足；故答案為題型五數(shù)列與函數(shù)例 5已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列中的最大項為（ ）ABCD【答案】A【分析】由，當n2時，an1an0，當n2時，an1an0，從而可得到n2時，an最大.【詳解】解：， 當n2時，an1an0，即a

6、n1an；當n2時，an1an0，即an1an；當n2時，an1an0，即an1an.所以a1a2a3，a3a4a5an，所以數(shù)列中的最大項為a2或a3，且.故選：A.已知數(shù)列的通項公式是，那么這個數(shù)列是A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D擺動數(shù)列【答案】A【詳解】因為因為函數(shù)單調(diào)遞增，所以數(shù)列是遞增數(shù)列故選A鞏固提升1、數(shù)列滿足，則（ ）ABCD2【答案】B【分析】由遞推關(guān)系，可求出的前5項，從而可得出該數(shù)列的周期性，進而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.2、在數(shù)列中，則（ ）ABCD【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，所以3、在數(shù)列中，已知，則_.【答案】【分析】令，根據(jù)換元法求通項，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，所以，所以，當時，上式也成立，所以.故答案為：.4、已知數(shù)列滿足:,則_.【答案】0【分析】先由條件得，然后【詳解】因為所以因為，且所以，即故答案為：05、數(shù)列，中，開始出現(xiàn)負值的項是第_項.【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列特點得到數(shù)列的通項公式，再解不等式，求出的值.【詳解】因為數(shù)列，所以，當時，即，解得：且，所以數(shù)列開始出現(xiàn)負值的項是第.故答案為.6