西南交大線性代數(shù)習(xí)題參考答案

1、第一章行列式行列式的概念1.填空排列6427531的逆序數(shù)為，該排列為排列。時(shí)， 排列1274 i 56 j 9為偶排列。n階行列式由項(xiàng)的代數(shù)和組成，其中每一項(xiàng)為行列式中位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，若將每一項(xiàng)的各元素所在行標(biāo)按自然順序排列，那么列標(biāo)構(gòu)成一個(gè)n元排列。若該排列為奇排列，則該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)；若為偶排列,該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)。在6階行列式中， 含a15a23a32a44 351036的項(xiàng)的符號(hào)為a3 2a4a ia 5a a的項(xiàng)的符號(hào)為2.用行列式的定義計(jì)算下列行列式的值01100(1)03223230332333解：該行列式的3!項(xiàng)展開(kāi)式中，有項(xiàng)不為零，它們分別為，所以行列式的值為a

2、n1an 4,2an2IIIIIIIIIIIIalna2,n 4an 4,n Jan,n 4a2nann解：該行列式展開(kāi)式中唯一不可能為0的項(xiàng)是，而它的逆序數(shù)，故行列式值為3.證明：在全部n元排列中，奇排列數(shù)與偶排列數(shù)相等。證明：n元排列共有n!個(gè)，設(shè)其中奇排列數(shù)有 n個(gè)，偶排列數(shù)為n2個(gè)。對(duì)于任意奇排列，交換其任意兩個(gè)元的位置， 就變成偶排列，故一個(gè)奇排列與許多偶排列對(duì)應(yīng), 所以有n 一 n2，同理得n2 一 m，所以m4.5.2若一個(gè)n階行列式中等于 0的元素個(gè)數(shù)比n -n多，則此行列式為 0,為什么?n階行列式中，若負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則n至少為多少?6.利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式(

3、1)-4-1-1bb2（提示：利用3題的結(jié)果）行列式的性質(zhì)1. 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算系列行列式。-1 2 12320 6 2a-1001b-100 01 0 c 1 -1d-abacaebd-cddebfcf-ef2.證明下列恒等式（提示：從取后一列起，后列的 x倍加到前一列）ax +byay +bzaz +bxay +bzaz +bxax + byxyz=（a3 +b3）yzxzxyaz +bxax +by ay + bz（提示：將行列式按第一列分解為兩個(gè)行列式之和，再利用性質(zhì)證明）a+2b+2c+2d+ 2222223 + b2J3+-FnX 印 + nXn a +X +3.已知四階行列式

4、 D的第三行元素分別為：-1,0, 2,4 ;第四行元素的對(duì)應(yīng)的余（提示:利用行列式按行（列）展開(kāi)的性質(zhì)計(jì)算）子式依次是2, 10, a,4，求a的值。4.已知 1365 , 2743, 4056,6695 , 5356能被13整除，證明:被13整除。（提示：注意觀察行列式中第2, 3，4，5列元素的特點(diǎn)）=27，5.已知D5求: (1)3A2+ 2A22+2A32+A42+A2 ；人1 +人2 +A43和Am中代5。xa，求f（X）= 0的根。a6.設(shè) f (x)=a解1首先，行列式展開(kāi)式中含x4項(xiàng)，所以f（X）=0有四個(gè)根。而通過(guò)觀察，將 x=a,x=b,x=c代入行列式，行列式中均有兩行

5、元素相同，此時(shí)行列式值為即X =a,x =b,x = c為根。然后，把所有列加到第一列上，可發(fā)現(xiàn)第四個(gè)根，計(jì)算如下:解2:（注意各行元素之和相等，可計(jì)算 f（x）的值后，求根。）3行列式的計(jì)算1.利用三角行列式的結(jié)果計(jì)算下列n階行列式（提示：注意各行（列）元素之和相等）0 III y III 0 III0 III（提示：可考慮按第一行（列）展開(kāi)）1III111 +a2DnIIIIII（提示：可考慮第一行的2 .用迭代法計(jì)算下列行列式III(1)Dn解:Dn1 +anIIIIIIIII按第一行,佝 HO,i =12川，n)-1倍加到各行，再化為三角行列式）（列）展開(kāi)，得遞推公式:DnJ =Dn

6、J-Dn” 川=D2Dn =DnvDn/。于是D1 =由此得：DnDn,D2a +baba +bab(2) Dn =a +bIIIIIIIIIIIIIIIab解：按第一行展開(kāi),有遞推公式DnDn aDn=a +bDnjL +Dn/，得遞推公式:(DnaDn_2)= -=(D2 aDJ =同理可得：Dn -bDn_,=聯(lián)立與，解方程組得：D n =3. 利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算下列行列式n a(a-1)nIII(a-n)nn A a+(a-1)2III(a- n)nh+aa -1III卜a -n11III1,(a 北0,12川，n)(1) Dn卄（提示：利用行列式的性質(zhì)，先化行列式為標(biāo)準(zhǔn)形式的

7、范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算行列式）n印a1n%1a1 b1IIIakbnna2a；%2n_2. 2a2b2IIIazb，bD卄+h卜iriRhpnan +an ；bn -1n_2. 2an+bn +III.nJanH4bn +b陽(yáng)解：在i行中提出an因子，4構(gòu)造輔助行列式法計(jì)算下列行列式(1) D =a2a4abb2b4c2c4cdd2d4（缺行的范德蒙行列式）解：構(gòu)造輔助范德蒙行列式a2a3a4abb2b3b4c2c3c4cdd2d3d4x2X3X4X,D為D中元素X3的余子式，而D =c2 c3 c4 ca2a3a4abb2b3b4dd2d3d4X2X3X4X1+42(2)

8、 Dn =2 +a2IIIIII,aiaj|anHOIIIn +an解：構(gòu)造輔助行列式1 +a12 + a2IIIIIIIIIIII則Dn = D，而D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:COS日2cos 8Dn =2cos 日IIIIIIIII證明:=cos n 日2cos 日(1)=1時(shí),等式顯然成立;(2)假定等式對(duì)于小于 n階的行列式成立;由于,所以,（下證n階行列式成立）Dn6. Dn=Dn+Dn/ （注：按最后一行（列）展開(kāi)）IIIIIIIIIa|a，(n- 1)a + xHO,求每 + 仏+川 + AnIII（提示：將所有行加到最后一行 ）3克來(lái)姆（Cramer）法則1.用克來(lái)姆法則解下列方程

9、組2xi x? X3 = 4(1) 3X, +4x2 -2x3 =11gx, -2x2 +4x3 =11卜 +3X2 +X3 =0 2x1 +5x2 =0Xi X2 =0Tkxi +x2 +x3 =02.當(dāng)k取何值時(shí)，方程組 Xt + kx2 - X3 = 0 有非零解?gx, X2 +X3 =0第二章矩陣矩陣的概念及運(yùn)算1.判斷正誤設(shè)A為mxn矩陣,B為SX P矩陣，若AB = BA ,則AB與BA必為同階方陣。A與B為n階方陣,幾為實(shí)數(shù)，有仏 A)B|仏 A)|iAiBA與B為n階方陣,(AB)k =AkBk (k- N)。(4)A與B為n階方陣,2 2 2(AB ) = A2 2AB +

10、B2。A為n階方陣,2 2(AE ) = A22A + E。A 與 B 為 n 階方陣，(A + B)(A-B) =A2 -B2。(7)A為 n 階方陣，(A + E)(A-E) =A2-E 。(8)A與B為n階方陣,At +Bt(9)A與B為n階方陣,atbt2.選擇題設(shè)A, B,C均為n階方陣，AB = BA, AC =CA，則(A) ACB(B) CBA (C) BCA (D) CAB(A) 0(C) =0(3)設(shè)A為方陣，f (x) = x2-X -2，則(A)a2 -A-2(B)(C)(A+ 2E)(A-E)(D)(D)不能確定f (A)為(不能確定A2A2E(2)若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，

11、則ATA的值(1 2、f2 0 )3.設(shè) A =-1 0,B = 1 1-112 3丿r11丿，計(jì)算:ABT ; (3)”3B ；2AtB o4.（提示：先計(jì)算出 4，民，以此歸納出An，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論 ）5.設(shè)A為n階方陣，若對(duì)任意的 n維列向量z，均有Az = O，證明：A = 0 o（提示：由于n維列向量z的任意性，考察n維列向量ei,e2,lll,en，證A中各元素為0)6.2設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，若 A =0，證明A=0。（提示：證A中各元素為0）7.若A為n階方陣，且滿足 AAE。若|A0，求|E + A。（提示：先證明E + A = E + A）試證：若A為奇數(shù)階方陣，且滿

12、足 AA E ,A =1，則 |e-a =0。9.（提示：先證明|E A = |E A）若A為奇數(shù)階反對(duì)稱方陣，證明:A =0。（提示：由反對(duì)稱陣的定義證明 ）10.設(shè)A, B都是對(duì)稱矩陣，證明：AB為對(duì)稱矩陣的充要條件是 AB = BA。11.設(shè)n階方陣A=(aij)，B=(bj)，且A與B的各行元素之和為1，。是門(mén)矩陣,且每個(gè)元素都為1,求證:(1) Aa =a ；(2) AB的各行元素之和都等于 1;若A, B各行元素之和分別為 k,t，則AB的各行元素之和都等于什么?逆矩陣1. 判斷正誤（A,B,C均為n階方陣）AB =0= A =0或B =0。AB = AC 二 B = C 。A為n

13、階方陣。貝y A2 = A= A = E或A = 0 oAA11T(AB ) =B A , (AB )A(A) = A2. 填空2(1)，則IA設(shè) A = i 0IIIA,(4A)A* -AA1(A*)T300設(shè)A為3階方陣，且A =2，貝y A1 已知 A*BA=2AB12E, A =-2，則B =10f 14設(shè)1-12丿，則X =)(31 X =110 -1 丿3.設(shè) A 0,證明：(E-A)= E + A + A2+H|+Ak-。(提示：證明(E-A)(E+A + A2+H|+Ak)=E)4.設(shè)方陣A滿足A2 -A-2E = 0,證明：A及A+2E都可逆，并求其逆矩陣。（提示：利用可逆的

14、定義證明）5.設(shè)A是n階方陣，證明： 若IA = 0 ,則|a*=0 ； (2)A*nJ=A ; (3)* *n _2(A )= A A,( A H0)。（提示：凡是與伴隨矩陣有關(guān)的結(jié)論，可先考慮等式AA* = A E ）6.設(shè)n階非零方陣 A的伴隨矩陣為 A ,且A = At，求證：IAH 0。（提示：可考慮用反證法證明 ）7.設(shè)A是n階方陣，如有非零矩陣 B使AB = 0，則| A |= 0。設(shè)AB,A + B,A + B均為n階可逆方陣，求+。f-1f-22設(shè) A =1 0I1。(PApj。0)3分塊矩陣fo32，利用分塊矩陣計(jì)算 AB 。(2P =0I2 , (1)利用分塊矩陣求A-p

15、-* ; (2)計(jì)算3.設(shè)A,B均為n階方陣，令Q f0 AIB O丿4.設(shè) A =anai0a2IIIIIIIIIIIIan J0丿,a-a0，利用矩陣分塊求 A。fUV ) /擊E 0、設(shè)p :=1,使 PQ =兇X丿0 E丿證明Q可逆的充要條件是 A, B均可逆;，求出 U ,V,W,X ；當(dāng)Q可逆時(shí)，求出Q/。5.設(shè)a為n階可逆方陣，Ai為nxl矩陣，b為常數(shù),了 EO、-fA a*A丿p =C (a Ai，Iat bj(1)計(jì)算PQ ; (2)證明：Q可逆的充要條件是。6.設(shè)A為4階矩陣，且A =2 ,把A按列分塊為A = (A,A2,A3, A ),其中A(j =1, 2, 3,

16、4) A 的第 j 列，求 A3 2A,3A2,AhA 。(提示：根據(jù)行列式的性質(zhì)計(jì)算 )4矩陣的初等變換2-23-2化為階梯形和簡(jiǎn)單階梯形。2.利用初等變換求逆矩陣，A =2 0 12110-13.利用初等變換求解下列矩陣方程41-3、(1)221X21231-b13-bfo(2) X I 2-11n之和2Aj。i,j壬（提示：利用一4丿II2IIIIIIIIIIII2、1,用初等變換求 A-1,并計(jì)算A的所有代數(shù)余子式aa|a e，可求 s Aj)ig5矩陣的秩11.判斷正誤(1)若 A為 mx n矩陣，R( A) = r，則 r r 。任何一個(gè)可逆矩陣都可分解為初等方陣的乘積，且分解唯一

17、。設(shè)A為m咒n矩陣,B為nm矩陣，且mn，則 |AB=0。(2.設(shè) A =f000J12-111-2-10-1-2112、01-1，求 R(A)。3.設(shè)矩陣A =11017，(1) A為何值時(shí)，R(A)最大？Z為何值時(shí),R(A)最小?(提示：利用初等變換求秩4.討論n階方陣A =fa1IIIIII的秩。5. ai(i =1,2,H|,m)a1b2a2b2amb2(提示：利用秩的定義,IIIIIIIIIIIIaba2bnambn 丿bj(j=1,2,|i,n)不全為零，求矩陣的秩?？紤]行列式的一階及二階子式)6.設(shè)A, B均為n階方陣，證明:(1)若 R(A) = n，貝y R(AB) =R(B

18、)；(2)若 R(B)R(AB)=R(A)。(提示：利用可逆矩陣可分解為初等方陣的乘積，以及初等變換不改變矩陣的秩證明 )第三章向量組的線性相關(guān)性1.設(shè) % = n維向量,且 3(% Ct) +22 +G)=5(4 +ot)，求向量2向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1.用定義判斷下列向量組的線性相關(guān)性3=I 2。II2丿-X, +2x2 + X3 = 0解：設(shè)xx2a2 +X3ct3 =0 即有齊次線性方程組 +0x2 + 2x3 = 0。Xi + X2 +2x3 =0-1線性方程組的系數(shù)行列式為=0，故由克拉姆法則方程組有非零解，即存在不全為零的數(shù)使得為 +%2口2 +%3口3 =0成立，故口12

19、03線性相關(guān)。V1】(2)叫=1，理=2宀=-131u丿11。O解：設(shè) xx2ax0即有齊次線性方程組X, - X2 + X3 = 0 Xi + 2x2 -X3 = 0。3x +x2 +0x0線性方程組的系數(shù)行列式為-1-10=-1工0,故由克拉姆法則方程組 只有零解,即只存在全為零 的數(shù)使得Xj% +X2a2 +%33 =0成立，故 % ,口2 03線性無(wú)關(guān)。(11 f01f2)12.設(shè) P = |31,Ct 1 =0,口2 = 1 11,口3 = 1 211丿1丿U丿冋線性表示是否唯一?，把P表示成a 1, 02, a3的線性組合,解：設(shè) xx2ax3|1 +0x2 + 2x3 = 1=P

20、即有非齊次線性方程組 0X1 + X2 +2X3 = 3。xi +0 X2 +1x3 = 0線性方程組的系數(shù)行列式為即P能表示成3.設(shè) a 1(1)(2)=-1 H 0，故由克拉姆法則方程組有唯一解,%, (2, 3的線性組合,且表示唯一。二i1，II1丿5=2,5=13I吐丿1)，問(wèn):解: (1)當(dāng)t為何值時(shí),關(guān)？，2, 3線性無(wú)關(guān)？當(dāng)t為何值時(shí)，1, 2, 3線性相1)52,當(dāng) 1,。2, 3相關(guān)時(shí)，將Ct 3表示為a 1,叫的線性組合。01,2, 3線性相關(guān)呂J冬，叫線性無(wú)關(guān)二t H5(2)當(dāng) t =5 時(shí) a3 =22 -円=t 一 5 = 0 U t = 5，從而16 .若向量P可由

21、8,H| ,as線性表出，則表示法唯一的充要條件為（提示：用定義證明） 證明：不妨設(shè)a, =0法一:顯然1oti +0a2+HI+0 O-s = 0,即存在不全為零的數(shù)使得a, a?,川，ots線性組合為零,故向量組一定線性相關(guān)。故表示法唯一二a12,川，as線性無(wú)關(guān)法二:相關(guān)。因?yàn)橄蛄拷M%, 口2, III, Cts中含有零向量，故行列式1,02,1 lia=0，故向量組一定線性相關(guān)。（這樣證明是錯(cuò)誤的，因?yàn)椋╝1,a2,|j,as ）不一定是方陣。）5 .已知向量組 a, 2, 3,4 線性 無(wú)關(guān)， Pi =1 +2, 6 =2 +3打=3 +4, P4 =。4 -1，用定義證明：向量組

22、Pi, P2, P3, H線性無(wú)關(guān)。解：設(shè) k,附+k2p2 +k3p3 +k4p4 =0，由題條件可得=0又W, 2, 口3,口4線性無(wú)關(guān)，故有ki k4 = 010 0-1ki + k =0110 01 2方程組系數(shù)行列式為k2 + k3 = 00 110k3 +k4 =00 0 11(ki -k4 Hi +(kl 卅2 2 +(k2 卅3 戸3 +(k3 卄4 卩4由otj =0可知向量組1線性相關(guān)，又口訃匸（/1,2,| n,as，故向量組一定線性*4=0由克拉姆法則方程組有只有零解，故只有k1,k2k3k4全為零k,Pi+k2p2+k3p3才成立，故向量組 吒，p2, p3, p4線

23、性無(wú)關(guān)?？?, 口2, III, Us 線性無(wú)關(guān)。（提示：可考慮用反證法證明）:若表示不唯一，設(shè)有兩個(gè)不同證明：充分性（8, 2, IH, Ots線性無(wú)關(guān)=表示法唯一）的表示為kiCtkH + ks = P(1)由(1) ( 2)得(匕h ”1 +化2 12 “2 +Ili + (ks Is As由兩個(gè)表示不一樣有 匕h ,k2 -12,111 ks Is不全為零，這與 ,02, HlCts線性無(wú)關(guān)矛1)52,盾。故當(dāng)1, a?, HI, cts線性無(wú)關(guān)時(shí)表示法唯一必要性：（表示法唯一 =%, 2, HI, Gs線性無(wú)關(guān)）若 ,5, HI, s線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)設(shè)為 m, ,m2|m

24、s有耳口1+口202+|li + msCts =0(3)又P可由a 1, a?, Ill, cts線性表出記為1)2)厲務(wù)+n尹2 +111+足叫=P 由（3）（ 4）可得(rn +葉 “1 +(門(mén)2 +m2 沁 +|汁(ns +% s由g ,m2,lllms不全為零知道（4） （5）是P兩個(gè)不同的表示，這與表示唯一矛盾。7.若向量組口1, 5 , 口3線性無(wú)關(guān)，問(wèn)常數(shù)l,m需滿足什么條件時(shí)，向量組1口1 +2, 2 +3, m3 +口1 線性無(wú)關(guān)？解：設(shè)（提示：用定義判定）Xi (loti +2 ) + X2 S +口3 )+X3 (m3 +ai ) = 0即有當(dāng) Im H -1 時(shí) 1%

25、+(/2，02中叫，ma1線性無(wú)關(guān)。(IXi +X3 私1 +(Xi +X2 )2 +(X2 + mX5 私3 =0由向量組a123線性無(wú)關(guān)得卜 +X3 =0為 + X2 = 0X2 +mX3 =0方程組的系數(shù)行列式為=lm +1，由克拉姆法則得Im +1工0時(shí)方程組 只有零解。(C) Cti,Ct2,|,Cts中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表出;&判斷題(1)若向量組, a2,川，dm線性相關(guān)，則任一向量oti(1wim)可由其余向量線性表出。正確為：若向量組cti, a2, HI, otm線性相關(guān)，則至少有一個(gè)向量a i(lMi-m，使 3i +202 +川 +)如 =0 ,1氏+Z

26、2P2 +川mPm =0同時(shí)成立。(4)若有不全為0的數(shù)打,兀2, 111,扎m，使扎怦1 +扎2叫十+ mm +胖1 +幾2眩+幾m卩m =0成立，則a 1,冬，川，ttm線性相關(guān)，Pi, P2,川，Pm亦線性相關(guān)。(5)對(duì)于三維向量，若兩向量線性相關(guān)，則這兩向量平行；若三向量線性相關(guān),這三向量共面。9.選擇題(1) n維向量組aia2,H|,as(3s線性相關(guān)但0 ! 0I ! I!*0八0八0丿J10丿正確應(yīng)為： n維向量組1 a2Ji| as( n)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是對(duì)任意的不全為零的數(shù)，幾2 ，幾S，使入卩1 +為冬+111 +幾ss H 0(B) a 1嚴(yán)2,111,叫中任意

27、兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān);(D) a 1, 2,111 Ps中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出。(2)設(shè),口2,川,口皿均為n維向量，那么下列結(jié)論正確的是( B )(A )若 /|01 +202 +111 +Zmam =0，則 Ct 1, Ct?, |,線性相關(guān);注意：無(wú)論。2,川,0皿是否無(wú)關(guān)，當(dāng)= -2=111 = km = 0時(shí)均有3l +協(xié)2 +川 +)竹 =0(B )對(duì)任意一組不全為零的數(shù)人，幾2, |HMm，有)梢則向量組, (/2, HLctm線性無(wú)關(guān);注意：(B)意味著 Zpt r +扎22 +丨11 + hma m = 0只有再=III = 0。(C)若a 1, 口2, III,

28、 Otm線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)扎1，扎2 , 111 ,冰，有片務(wù)+爲(wèi)鼻2 +H|+kmGm =0 ；注意：8, a2, HI, Gm線性相關(guān)只是至少存在不全為零的數(shù)n 52,打，入2,川，阮，有不全為零的數(shù)有m線性無(wú)關(guān)。右 +幾20 2+|+/0皿=0未必是對(duì)任意一組呻1+幾勺II中扎mm =0(D)因?yàn)?81+82+111+0 dm =0，所以 a 1, 02, HI, 設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組 牛，a?, HI, ttm和p1, S, HI, Pm，若存在兩組不全為零的數(shù)扎1,爲(wèi)，川，；帝和K, k2, lll,km01 +)% +(兀2 卄2)02 +111+(兀m+km)G

29、m +仏-k1)p1 +(為k2)p2+IH+(幾m-km)Pm=0,則 g g川，和卩1, d, III, 0m都線性相關(guān);(D )。(A)n 52、(B)%冬，川，和P1, P2, 111, Pm都線性無(wú)關(guān);(C)% +即lIMm +休卩-P1,l I Wm - Pm線性無(wú)關(guān);(D)% +P1,ll2m +Pm,% -PjIWm-Pm 線性相關(guān)。注意:厲中人)叫十2十1片仏m+km)%中仏 1 -匕)叫+(S-k2)P2+|H + m-km)3m =0:Z,01 +P1 )+打 02 +p2 )+ II Zm0m+ Pm ) + (%- p1 ) + k2(a2kp2 )+111 +km(

30、am-Pm )=0(4)向量組, 02, 3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(B )。(A )% +口2，口2 +(/3，口3 +%(B) ai，ai +a2，ai +2+口3 ；(C) 1 -畑色-3，(/3 -%(D ) % +(/2,22 +O3,% +33。注意：向量組8, 口2, 03與向量組8,口1 +2,1 +口2+口3等價(jià)。(I)無(wú)關(guān)=(II )無(wú)關(guān);%, 02, 03線性無(wú)關(guān)故秩為 3，故a仆 +a2,a1 +a2 +4秩也為3。(C)(D)(6)若向量組(II)無(wú)關(guān)=(I)無(wú)關(guān)；a, P, Y線性無(wú)關(guān)，sPp線性相關(guān)，則(C)(I)無(wú)關(guān)二 (II)無(wú)關(guān)。(A) a必可由P

31、, V 6線性表示;(B)必不可由a ,Y,6線性表示;(C) 6必可由a ,P,Y線性表示;(B) 6必不可由a ,P,Y線性表示。芻12 芻13、a21，a 2 =a22，Ct 3 =a23031丿a33 丿(5)設(shè)向量組(I): % =勺12 2i3 faj向量組(II ) : P1 =a21，P2 =a22，卩3 =a23,P 4 = a24a31a32a33a3441丿耳2丿&43丿Va44 丿(I)相關(guān)=(II)相關(guān);(A)(B)，則()注意：向量組a, P,Y線性無(wú)關(guān)，=a , P線性無(wú)關(guān)，又a,Pe線性相關(guān)=6必可由a,P線性表示；=6必可由a,P,Y線性表示;3向量組的秩1.

32、求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。1、irp14、1-13-22,口2 =1,口3 =3,口4 =51丿6（） =（提示：首先將向量作為列向量構(gòu)成矩陣，然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為最簡(jiǎn)階1-113-21-2-1-2k06-36丿411-200-13【-20%,是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。O(2)P1故 RJ, 5, 3,=2，解：作矩陣r-110pT廠21-1-1pTL30-22pT 4丿J0-1-12A =-22丿10-p-112-2-11丿1-210-2-1-1-1-200011000-10-1-n101(-100、011000-1-10-r110故 Rg, P2

33、,是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：法一，作矩陣a2123b231、31bxJab-h1J3)I1丿的秩為2.設(shè)向量組fa|3p4 = 3， p1, p2 , P4122,求 a,b。a2q0002 b331、31b2b-43-2a-11、11-a-1丿2-13-2ab-41、-11-a1丿f1001。2-1001-1a-25b故阡2=0即阡2時(shí)秩為2。n-b=0 lb=5(a法二：由向量組秩為 2可得3I、Qia 122,I31線性相關(guān)，故3 23丿u丿u丿1 1 1=0 = a = 2、2 1 2J2,I31線性相關(guān)，故b 23/b311=0 =(2由向量組秩為2可得|bI(33.設(shè)向量組, 2,

34、III, as能由向量組Pi, P2JII, Pt線性表出，證明:R （ S 業(yè)，川，）蘭 R （ Pl, p2,川，Pt）（注：該結(jié)論是線性代數(shù)重要結(jié)論之一。凡是與秩有關(guān)的命題，大多需用該結(jié)論證明，如第4題等）證明：令 R (Ct 1, 口2, HI，cts) = p ,不妨設(shè) A = a1, 口2, IH，a p為 a 1, 02,川，的極大無(wú)關(guān)組；令R ( Pi, P2,川，Pt) = q, B = Pi, P2, III, Pq為Pl, P2,川，Pt的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組 M =%, 2, IH, Op ,附，p2, III, Pq，際川，Pq為Pl, 6,川，Pt的極大無(wú)關(guān)組，則

35、Pl, P2, III，Pq線性無(wú)關(guān)且Pl, P2JII, Pt能被卩 1, 2, IH, Pq線性表出。又旳，a2,川，Cts能由向量組Pl, P2JII, Pt 線性表出，故 Pl, P2JII, Pt 也能表示 , 5, III,心從而 01, P2, 111，Pq 線性無(wú)關(guān)且表示M =%, 2, III，叭,杠，02, 111, Pq，即叫，2, IH，Pq是M =%, 2,出，叫，Pi, P2JI）, Pq的極大無(wú)關(guān)組,故 R(M ) =q。由W, 2, IH，a p線性無(wú)關(guān)及秩的定義有 R（M） p。(%, 2,川,叫)Re,e2,HI,en = n，又 R%, %,川，叫蘭n可得

36、二R%, 2,川，n = n= W, a2,川，叫線性無(wú)關(guān)5.證明：任意n +1個(gè)n維向量a 1, 2, III, n半必定線性相關(guān)。（提示：考慮它們與單位向量組e, e2, Hl，en的表示關(guān)系，再利用第3題給出a?, H|, otn專的秩的范圍，最后用秩法判定）證明：作矩陣 A =(%, 2, II), 5卡則由 R(A)=Ra1, 2, III, On又 R(A) n= Ra1, sill, ann= %, 5, HI, 5卡必定線性相關(guān)。6.設(shè)向量組, 2, III, s與向量組p1, P2JII, Pt的秩相等，且向量組%, 2,川，比能由向量組腎碼川，Pt線性表出，證明：a 1,

37、S,川，叫與01,卩2,川，Pt等價(jià)。1,證明：設(shè)它們的秩為r， a 1, 口2, HI, %為a 1, 口2, 111, Us的極大無(wú)關(guān)組；Pl, P2, III, Pr 為 Pl, P2JII, Pt 的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組 M =%, r,矛盾。故,叫，川，能線性表示, JH, Pr, 從而勺，III,比能線性表示匕，02,IH, R。故a 1, 2,川，叫與01,P2,川，片等價(jià)。開(kāi)=a2 +a3 +(|+anI p2 =8 +4 +111 Fnn nc7設(shè)m，證明：創(chuàng)，畑III, On與P1,P2,川，Pn等價(jià)。I III HIPn 1 +5 +ill +5/證明：由條件可得(提示：可利用克來(lái)姆法則反解出1, 2, III，Gn)W, S,川，叫能線性表示A, P2JII,卩n，(P1, P2, III, Pn) = (%, 02, III, Ctn )A，其中 A =011IIIIIIIII1、11III計(jì)算A =IIIIIIIII111： + rk,k =2,川 nn -111n -101n -110IHIIIIII=(n-1)IIIIIIIII11=( n-1)1-1011-1