D中值定理師大使用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D中值定理師大使用中值定理師大使用(1) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在區(qū)間在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .若若 M = m , 則則, ,)(baxMxf因此因此.0)(, ),(fba在在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfy 滿足滿足:如果如果第1頁/共24頁不妨設(shè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)

2、, ),(ba使使,)(Mf因此，因此， 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在區(qū)間在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b )(xfy 滿足滿足:如果如果,使使. 0)(f在在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)有有 , ,xa b ( )( ),f xf.0)(f從而由費(fèi)從而由費(fèi)引理知引理知第2頁/共24頁注意注意:1) 定理?xiàng)l件不全具備定理?xiàng)l件不全具備, 結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1

3、yo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共24頁510 xx 5( )1,f xxx(0)1,(1)1.ff , 0)(0 xf110,xxx4( )510,(,),fxxx 有且僅有一個(gè)正實(shí)根有且僅有一個(gè)正實(shí)根 .證證: 1) 存在性存在性 .則則)(xf在在 0 , 1 連續(xù)連續(xù) ,且且由介值定理知存在由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有一個(gè)正根。即方程有一個(gè)正根。.0 x2) 唯一性唯一性 .假設(shè)另有假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn),.0)(f使

4、但但矛盾矛盾,故假設(shè)不真故假設(shè)不真!設(shè)設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課后練習(xí)題課后練習(xí)題5第4頁/共24頁 )( (1) 在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在區(qū)間在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ),(ba使使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)顯然顯然 ,)(x在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù) ,在在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且證法證法2:問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()

5、(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢證畢證法證法1)(xfy 滿足滿足:如果如果第5頁/共24頁推論推論:若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足,0)( xf則則)(xf在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù).)(xf證證: 在在 I 上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式日中值公式 , 得得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由由 的任意性知的任意性知, 2

6、1,xx)(xf在在 I 上為常數(shù)上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy00, , ,xxxa b 設(shè)設(shè)則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理的幾點(diǎn)說明定理的幾點(diǎn)說明第6頁/共24頁. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè)設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0 , 得得.2C又又,2) 1(f故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn):欲證欲證Ix時(shí)時(shí),)(

7、0Cxf只需證在只需證在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共24頁證證: 設(shè)設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件中值定理?xiàng)l件,即即因?yàn)橐驗(yàn)楣使? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用幾何事實(shí)引出柯西中值定理利用幾何事實(shí)引出柯西中值定理第8頁/共24頁0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連

8、續(xù)上連續(xù)(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)內(nèi)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ),(ba使使.)()()()()()(FfaFbFafbf0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf及及滿足滿足 :)(xF如果如果第9頁/共24頁)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且且, ),(ba使使, 0)(即即由羅爾定

9、理知由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè)兩個(gè) 不不一定相同一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論上面兩式相比即得結(jié)論. 關(guān)于定理的幾點(diǎn)說明關(guān)于定理的幾點(diǎn)說明第10頁/共24頁)0() 1 (ff)0() 1 (FF).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一

10、點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),1,0(使使證證: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為設(shè)設(shè)則則)(, )(xFxf在在 0, 1 上滿足柯西中值上滿足柯西中值定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使使)(f )(F012即即)0() 1 (2)(fff證明證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共24頁11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F

11、(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共24頁), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共24頁1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理羅爾定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)

12、()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式證明恒等式(2) 證明不等式證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共24頁4412 34121. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值._2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4,3(, )2, 1 (, )3,2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程第15頁/共2

13、4頁,0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示:由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共24頁)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示:設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1

14、7頁/共24頁0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos當(dāng),0 0 x時(shí).0cos1問問是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因?yàn)?(x是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 . 0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共24頁法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,

15、2無整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.第19頁/共24頁法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第20頁/共24頁法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 第21頁/共24頁求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理